Диссертация (792538), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Поэтому перейдем к уравнениям относительного движения. Вектор переносного движения q tr был определен в п.4.4 как вектор перемещений, возникающих в конструкции от статических опорных перемещений q 0 . Из условия равновесия в опорных точках следует, что опорные реакции K sq0 + Bsq0 уравновешены силами Kqtr + Bqtr , возникающими в опорныхэлементах конструкции ( q tr - вектор переносных скоростей):Kqtr + K sq0 + Bqtr + Bsq0 = 0 .(4.42)237При подстановке (4.18), (4.40) в уравнение (4.41) с учетом (4.42) получаютсяуравнения движения в относительных координатах:Mq + Bq + Kq = −Mqtr .(4.43)Полагая внутреннее демпфирование в конструкции малым, то естьKqtr + K sq0  Bqtr + Bsq0 ,(4.42) перепишем в виде (4.20)Kqtr + K sq0 = 0 ,откуда следует определение вектора переносного движения через матрицу податливости системы F = K −1qtr = −FK sq0 .С учетом вектора переносного движения уравнение (4.43) принимает видMq + Bq + Kq = MFK sq0 .Используя матрицу влияния Fs = −FK s (4.24), получим уравнение движения в видеMq + Bq + Kq = −MFsq0 .Введем матрицу переносных инерционных коэффициентов для дифференцированного воздействияMsn6 p = MFs = −MFK s .(4.44)Уравнение (4.43) принимает такой же вид, как в относительном движении при интегральном воздействии (3.12), (3.10):Mq + Bq + Kq = −Msq0 .(4.45)Уравнение (4.45) подходит для случая малого конструкционного демпфирования.Если в динамической системе установлены локальные демпферы, то в уравнение238следует добавить обобщенные силы вязкого сопротивления по соответствующимстепеням свободы.Уравнение относительного движения в виде (4.45) позволяет применить модальный анализ, линейно-спектральный метод и найти весь набор присущих системединамических параметров: модальные перемещения, усилия, опасные направления сейсмического воздействия, коэффициенты динамичности формы, эффективные модальные массы и т.д.4.10.

Модальные перемещения и усилия при дифференцированном воздействииЗапишем уравнение (4.45) в покомпонентном виде в главных координатах, процедура перехода к главным координатам ничем не отличается от описанной в п.3.4:uk + 2k uk + k2uk = Qk ,где Qk = −1M mod,kvTk Msq0 , здесь v k и M mod,k - вектор и модальная масса k-той соб-ственной формы, Msn6 p q0 6 p (4.46)- матрица переносных инерционных коэффициентов,- вектор дифференцированного сейсмического воздействия. Решение урав-нения (4.46) найдем с помощью интеграла Дюамеля для случая малого демпфирования:t1uk =Qk exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  . k 0Множитель в подынтегральном выражении, не зависящий от времени, вынесем зазнак интеграла:tvT Muk = − k s  q 0 (  ) exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  . k M mod,k 0Обозначим w k6 p(4.47)- вектор по k-той собственной форме, имеющий смысл ускоре-ния, приведенного к k-той форме колебаний.239tw k ( t , q 0 ) = − k  q 0 (  ) exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  ,0тогда решение в главных координатах принимает вид, по форме совпадающий с(3.41):uk =vTk M s w k.2k M mod,k(4.48)Решение в исходном базисе определяют, используя разложение перемещений qпо собственным формам v k :nq = Vu =  uk v k .k =1Перемещениям q соответствуют обобщенные внутренние усилия S = Kq .

Учитывая, что KV = MVΩ2 , получим вектор отклика системы на сейсмическое воздействиеS = Kq = KVu = MVΩ2u .(4.49)Вектор внутренних усилий S равен сумме векторов модальных откликов S k , соответствующих реакции конструкции по k -той форме колебаний:nnnS = Kq =  uk Kv k =  uk k2Mv k =  Sk ,k =1k =1(4.50)k =1здесь Sk = uk k2Mv k - вектор модальных усилий по k -той форме, uk - модальноеперемещение в главных координатах по этой форме.

Вектор S k в покомпонентнойформеSik = k2mi v k uk ,(4.51)здесь Sik - модальное внутреннее усилие по k -той собственной форме, действующее в направлении i -той обобщенной координаты, m i  - i -тая строка матрицыnинерции M , i = 1,..., n .240С учетом (4.48) получим формулу для расчета величины модального внутреннегоусилия, возникающего при относительном движенииmi v k vTk M sSik =wk .M mod,k(4.52)4.11. Статическое решениеПри статическом подходе интенсивность сейсмического воздействия задается постоянной величиной.

Все переменные во времени силы прикладываются к конструкции как статические, а для учета динамических эффектов перемещения отдействия статических сил умножаются на коэффициент динамичности.Напомним, что полный 6 p -мерный вектор ускорений q 0 в (4.13) выражается через интенсивность I , матрицу пространственного изменения поля ускоренийΤ6 p6= Τ ( t , r ) (4.14) и вектор направляющих косинусов сейсмического воздей-ствия в точке привязки ν1  = ν1 ( t ) (4.8):6q 0 ( t ) = IΤ ( t , r ) ν1 ( t ) .В статической постановке вектор q 0 не зависит от времени, поэтому вектор ν1будем считать соответствующим известному постоянному направлению, а элементы матрицы Τi определим как отношение постоянных ускорений в каждой изопорных точек и в точке привязки.

В i -той опорной точке с координатамиri = ( x1i , x2i , x3i )1i = 1 ( ri ) = X 10i X 110 ,04i = 4 ( ri ) = 10i 11,02i = 2 ( ri ) = X 20i X 21,5i = 5 ( ri ) =  02i  021 ,3i = 3 ( ri ) = X 30i X 310 ,06i = 6 ( ri ) = 30i 31.Из функций  сформируем Τi66(4.53)= diag ( 1i , 2i ...6i ) - матрицу функций про-странственного изменения ускорений в i -той опоре. Тогда вектор ускорений в i -241той опорной точке равен qi0 = Τi q10 = IΤi ν1 = const .

Полный 6 p -мерный векторускорений q 0 не будет зависеть ни от времени, ни от координат:q0 = Τq10 = IΤν1 = const , Τ6 p6 = ( Τ1, Τ2 ,..., Τ p ) .TМатрица Τ не только задает пространственное изменение интенсивности, но иформирует ориентацию статического пространственного сейсмического воздействия в различных точках. Проиллюстрируем это на примере: пусть конструкцияимеет 4 опорные точки, движение грунта поступательное горизонтальное. В каждой опорной точке зададим свой вектор сейсмического ускорения (Рисунок4.10а):1 −1 −11q10 =   , q 02 =   , q30 =   , q 04 =   . −1 −111X012X 2302X 220 2X013X021X11023X 230X1203X130211X 220X41 X024X 210024X0141X1104X140б)а)Рисунок 4.10. Направления дифференцированного сейсмического воздействияНайдем элементы матрицы Τ :точка 1:0011 = X110 X110 = 1, 21 = X 21X 21= 1,точка 2:0012 = X 120 X 110 = ( −1) 1 = −1, 22 = X 22X 21= ( −1) ( −1) = 1 ,точка 3:0013 = X 130 X 110 = ( −1) 1 = −1, 23 = X 23X 21= 1 ( −1) = −1 ,242точка 4:0014 = X 140 X 110 = 1 1 = 1, 24 = X 24X 21= 1 ( −1) = −1 ,матрица Τ и вектор направляющих косинусов в первой точке равны:82Τ  1 0   −1 0   −1 0 =     0 1   0 1   0 −11 2 1 0 ,ν=. 0 −1 1 −1 2 TИнтенсивность воздействия в первой точке (и во всех остальных) I = 2 м/с2,полный вектор ускорений в опорных точкахq0 = Τq10 = IΤν1 , q0 = (1 −1 −1 −1 −1 1 1 1) .TЕсли волна имеет плоский фронт, направления воздействия в каждой опоре будуттакими же, как в точке привязки, и матрица Τ будет состоять из единичных блоков (Рисунок 4.10б).Рассмотрим теперь более общий подход, связанный с представлением компонентвектора сейсмического воздействия в виде произведения модуля (интенсивности)на направляющие косинусы.

В статической постановке вектор q i0 не зависит отвремени и определяется интенсивностью воздействия и постоянным во временивектором направлений (в этом случае интенсивность и вектор направлений необходимо задавать каждой опорной точке). В статической постановке векторы сейсмического воздействия в точке привязке и в i -той опорной точке имеют видq10 = I  ν1 , qi0 = IiX  νi ,а функции (4.11) принимают постоянные значения:1i = IiX 1Xi2i = IiX 2Xi3i = IiX 3Xi(I(I(IX111X ) ,4i = IiX wi 1iX1X21),5i = IiX wi 2iX1X31),6i = IiX wi 3i(I(I(IX1wi 11),X1wi 21 ) ,X1wi 31).Из функций  формируется Τi = diag ( 1i , 2i ...6i ) .

С учетом того, что q10 = I  ν1 ,получимqi0 = Τi  q10 = IΤi  νi ,243()где Τi66 = IiX I E - матрицa пространственного изменения ускорений в i -тойопоре, I = I1X , E66- единичная матрица.Тогда полный 6 p -мерный вектор ускорений q 0 равен:q0 = IΤν = const ,Τ6 p6 p(4.54)= diag ( Τ1, Τ2 ,..., Τ p ) , ν[6 p ] = ( ν1ν 2 ... ν p ) .TТаким образом, при статическом подходе необходимо определить интенсивностии направления сейсмических воздействий во всех опорных точках, в то время какв формуле (4.13), при задании воздействия во временной области, достаточнонаправлений в точке привязки.Модальные сейсмические силы в уравнении (4.46) выражаются через матрицу Τ(4.54) и вектор направляющих косинусов в точке привязки:−1TQk = − IM mod,k v k M s Tν ,или в виде вектора статической модальной нагрузки1TQ = − IM −mod,k V M s Tν .Модальное перемещение от статической нагрузки (статическое перемещение) втех же обозначениях равноukст = −IM mod ,k 2kvTk M sTν .Минус показывает, что перемещение направлено против направления движениягрунта.

Динамические перемещения получим, умножив статические ukст на модальный коэффициент динамичности 34uk = k ukст = −34k IM mod ,k 2kvTk M sTν .О коэффициентах динамичности для дифференцированного воздействия см. п.4.12(4.55)244Перемещения в исходных обобщенных координатах определяются по формулеq = Vu , где вектор-столбец u состоит из элементов uk .4.12. Модальные коэффициенты динамичностиКоэффициенты динамичности для дифференцированной модели определяются вкаждой опорной точке по акселерограммам поступательного и углового движения, то есть по компонентам вектора q i0 ( t ) (4.1). Так, движению i -той опорнойточки соответствует шестикомпонентный вектор спектральных коэффициентовдинамичностиβi (  ) = (1i2 i3i4 i5i6 i ) .T(4.56)В первой опорной точке (в точке привязки) вектор спектральных коэффициентовдинамичности равенβ1 (  ) = (1 2 3 4 5 6 ) .T(4.57)Для описания пространственного изменения спектрального состава воздействияотносительно точки привязки введем функции  ji ( j = 1,2,...,6 - номер компоненты вектора ускорений q i0 , i = 1, ..., p ) [76].

Характеристики

Список файлов диссертации