Диссертация (792538), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Далее для определенности примем:IiX = max Xi0 ,Ii = max αi0 .В нормативных статических расчетах с заданной интенсивностью I формула (4.7)для полного вектора ускорений имеет видq i0 = Iν i .(4.9)Случай плоской задачи. Для плоской (двумерной) задачи формулы (4.1-4.9) изменятся. Движение i -той точки с координатой ( x1i , x2i ) будем описывать векторомлинейных перемещений, скоростей и ускорений ( i = 1, ..., p ) :205Xi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20i ) ,Xi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20i ) ,Xi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20i ) .TTTПоступательное и угловое движение грунта в окрестности точки ( x1i , x2i ) зададимтрехкомпонентными векторами абсолютных линейных и угловых перемещений,скоростей, ускорений:qi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20ii0 ) ,qi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20ii0 ) ,qi0 ( t , x1i , x2i ) = ( X 10iX 20ii0 ) .TTT(4.1’)33Интенсивность воздействия в i -той точке есть модуль вектора ускорения поступательного движения:IiX = Xi0 =(X ) +(X )0 21i0 22i(4.2’).Вектор ускорений в опорной точке есть произведение интенсивности воздействияна вектор направляющих косинусов:Xi0 ( t , x1i , x2i ) = Xi0 νiX ( t ) .(4.3’)Координаты вектора направляющих косинусов поступательного движенияν iX ( t ) = ( 1Xi 2Xi )T1Xi =33X 10iX 20iX,=,2iXi0Xi0( ) + ( )X1i2X 22i=1.Штрихом в номере формулы будем обозначать двумерные аналоги приведенных выше формул.206Интенсивность углового движения I i для плоской задачи Ii = i0 .Трехкомпо-нентный вектор ускорений грунта (4.1’) в i -той точке выражается через интенсивность поступательного движения:qi0 = I iX  ν i ( t ) ,(4.7’)где ν i ( t ) - вектор направления сейсмического воздействия ( w - относительнаяинтенсивность углового ускорения): ν iX νi (t ) =   ,ww=i0I iX.(4.8’)Если расчет проводится на нормативную интенсивность сейсмического воздействия I , то формула (4.7’) для вектора ускорений в i -той точке принимает видq i0 = Iν i .(4.9’)4.2.

Точка привязки полей перемещений и ускоренийНиже описан подход Ю.П. Назарова, предложенный им для задания полей перемещений и ускорений точек грунта [72], [75], [76]. Для описания кинематики всего поля грунтового движения выберем одну из опорных точек в качестве начальной (точка привязки). Пусть точкой привязки будет первая опорная точка с вектором перемещений q10 и ускорений q10 (4.1). Вектор ускорений (4.9) в первой точкеравенq10 ( t , x1, x2 , x3 ) = q10 ν1 ( t ) = Iν1 ( t ) ,(4.10)где ν1 = ν1 ( t ) - вектор направляющих косинусов сейсмического воздействия (4.8)в точке привязки.Для описания полей ускорений введем скалярные функции координат и времени,задающие пространственное изменение поля ускорений по отношению к точке207привязки [76].

Для i -той опорной точки, координаты которой заданы векторомri = ( x1i , x2i , x3i )1i = 1 ( t , ri ) = X 10i X 110 ,04i = 4 ( t , ri ) = 10i 11,02i = 2 ( t , ri ) = X 20i X 21,5i = 5 ( t , ri ) =  02i  021 , (4.11)3i = 3 ( t , ri ) = X 30i X 310 ,06i = 6 ( t , ri ) = 30i 31.Функции  зависят от типа, направления и длин сейсмических волн; из нихсформируем Τi66= Τi ( t , ri ) = diag ( 1i , 2i ...6i ) - матрицу функций изменения по-ля ускорений в i -той опоре. Матрица Τi применяется для задания 6 -мерного вектора ускорений в i -той опорной точкеqi0 ( t ) = Τi ( t , ri ) q10 ( t ) = IΤi ( t , ri ) ν1 ( t ) ,(4.12)где I - интенсивность сейсмического воздействия, ν1 - вектор направляющих косинусов в первой опорной точке.Полный 6 p -мерный вектор ускорений также выражается через нормативную интенсивность, матрицу пространственного изменения поля ускорений Τ6 p6и век-тор направляющих косинусов сейсмического воздействия в точке привязкиq 0 ( t ) = Τ ( t , r ) q10 ( t ) = IΤ ( t , r ) ν1 ( t ) .Матрица Τ6 p6составлена из блоков Τi66(4.13)и зависит от времени и координат всехопорных точекΤ ( t , r ) = ( Τ1 , Τ2 ,..., Τ p ) , r = ( r1, r2 ,..., rp ) .T(4.14)Формула (4.13) задает ускорение в любой опорной точке через характеристикисейсмического воздействия в точке привязки – интенсивность и направляющиекосинусы.2084.3.

Расширенная матрица жесткости. Матрица жесткости системы опорныхэлементовДифференцированное сейсмическое воздействие задается перемещениями грунтав окрестностях опорных точек и представляет собой кинематические краевыеусловия для системы дифференциальных уравнений равновесия. Допустим, система имеет n степеней свободы плюс степени свободы её p опорных точек, вкоторых заданы в общем случае три поступательных и три угловых перемещения.Динамическое поведение такой системы будем описывать полным вектором абсолютных обобщенных координат q all n+6 pq q all =  abs,0 q(4.15)где qabs - вектор абсолютных обобщенных координат системы, qn0 6 p - вектор ки-нематических краевых условий (опорных перемещений). Опорные точки принадлежат опорным элементам и являются частью динамической системы.

В методеконечных элементов опорные точки являются узлами конечно-элементной сетки,а опорные перемещения имеют смысл заданных узловых перемещений. Вектору( n + 6 p )( n + 6 p ) q all соответствует общая глобальная матрица жесткости K all, построен-ная путем объединения матриц жесткости отдельных элементов без учета условийзакрепления. Произведение K all q all дает вектор всех активных и реактивных сил(то есть внешних сил и опорных реакций) в направлении узловых перемещений.Строки матрицы K all , соответствующие компонентам вектора q abs , формируют n( n + 6 p )расширенную матрицу жесткости K .

Если элементы вектора q all упоря-дочены в соответствии с (4.15), левый блок матрицы K размерности  n  n соответствует матрице жесткости K для системы с жесткими заделками в опорныхточках. Правый блок размерности  n  6 p  представляет собой K s - матрицужесткости системы опорных элементов, преобразующую кинематическое воз-209действие в сейсмические силы.

Таким образом, при выполнении (4.15) расширенная матрица жесткости K состоит из блоков K и K s :K = (K K s ) .(4.16)Произведение Kqall представляет собой вектор внешних сил, приложенных к системе, включая сейсмические силы. В силу (4.15) и (4.16)q  q abs 0K  abs=KK() 0  = Kq abs + K sq .s0q q (4.17)В (4.17) Kqabs - восстанавливающие силы, K sq0 - внешние сейсмические силы.Эти силы вместе с даламберовыми силами инерции входят в уравнения динамического равновесия. Таким образом, представление (4.17) отражает преобразование кинематического воздействия в силовое, действующее на систему черезопорные элементы.Случай плоской системы.

Для случая двумерной задачи в формулах (4.15-4.17)поменяются размерности векторов и матриц. Пусть плоская система имеет n степеней свободы и p опорных точек. В опорных точках, принадлежащих опорнымэлементам, заданы 3p перемещений (две поступательных и одна угловая). Полный вектор абсолютных обобщенных координат q all n +3 p q q all =  abs,0 qгде qabs - вектор абсолютных обобщенных координат системы, qn(4.15’)03 p - вектор из-вестных опорных перемещений.

Вектору q all соответствует общая глобальная( n +3 p )( n +3 p ) матрица жесткости K all; n строк матрицы K all , соответствующие ком n( n +3 p ) понентам вектора q abs , формируют расширенную матрицу жесткости K .Если элементы вектора q all упорядочены в соответствии с (4.15’), левый блок210матрицы K размерности  n  n соответствует обычной матрице жесткости K .Матрица жесткости системы опорных элементов K s - правый блок матрицыK размерности  n  3 p  .4.4.

Уравнения абсолютного и относительного движения при дифференцированном воздействии. Матрица влияния.Движение грунта передается на конструкцию через опорные элементы и являетсяпричиной её вынужденных колебаний. Обобщенные переменные, описывающиеколебательный процесс динамической системы, могут быть абсолютными, то естьзадавать движение в неподвижной (неинерциальной) системе координат, и относительными – если система координат подвижная (инерциальная).

Подвижная система координат сама совершает движение относительно неподвижных осей, этодвижение называется переносным.По принципу Даламбера для консервативных систем сумма всех инерционных иупругих восстанавливающих сил равна нулю, следовательно, уравнения движениясистемы в абсолютных координатах с учетом (4.17) имеют вид:Mqabs + Kqabs = −K sq0 ,где M nn (4.18)n6 pnnи K  - матрицы инерции и жесткости конструкции, K s  – матрицажесткости системы опорных элементов, q 0 - 6 p -мерный вектор опорных перемещений (для плоской системы q03 p и K sn3 p ).Важно заметить, что для проведения нормативных расчетов на сейсмостойкостьуравнения движения необходимо записать в относительных координатах.

В этомслучае в уравнениях движения появятся переносные инерционные сейсмическиесилы, зависящие от ускорений точек грунта, а параметры динамической реакциибудут выражаться через интенсивность.211Вывод уравнений относительного движения во многом повторяет подход, примененный в п.3.1 для случая интегрального сейсмического воздействия; исключениесоставляет только определение переносного движения.Введем неподвижную систему координат O123 , пусть она совпадает с основнымиосями РДМ. Центр тяжести тела массой m расположен в точке С с радиусвектором r = ( x1C , x2C , x3C ) , для простоты примем, что оси O123 являются дляэтого тела главными осями инерции, а параллельные им оси C123 - главными центральными.

Характеристики

Список файлов диссертации