Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786428), страница 7

Файл №786428 Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству) 7 страницаДиссертация (786428) страница 72019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Поэтому для вычисленияих конечных значений используется квадратурные формулы, при этом кинтегралам с сингулярными особенностями применяется каноническаярегуляризация [148].46§ 2.3. Алгоритм решения задачи на сверхзвуковом этапевзаимодействияВ основе алгоритма решения разрешающей системы уравнений (2.11),(2.15), (1.22) лежит модифицированный метод Рунге-Кутта четвертогопорядка и принцип редукции.Согласно принципу редукции заменяем ряды (2.8) конечнымисуммами, ограничиваясь в разложениях первыми членами с номерамиn = 0,1,..., N :w ( θ, τ )=p (θ, τ)Nwn ( τ )∑ p ( τ ) P ( cos θ ) ,nn =0n(2.20)u ( θ, ττ) N un ( ) dPn ( cos θ )=∑.dθc ( θ, τ ) n=0 c n ( τ )Приведем систему уравнений (2.11), (2.15) к нормальной форме Коши,т.е. приведем к системе первого порядка. Затем, используя представления(2.20),получаемдифференциальныхсистему,содержащуюуравнений,которая6 ( N + 1) + 2обыкновенныхдополняетсяалгебраическимуравнением (1.22).

Первые 6 ( N + 1) уравнений можно представить вматричной форме, имеющей блочную структуру: MW + Q,=W(2.21)   ,W = W0 , W1 ,..., WN , , Wn = un , wn , χχn , un , wn , nTTun =un , w n =w n , χ n =χ n ,T=Q31Q=,Q,...,Q,Q0,0,0,0,pin ,0 ,∑01Nn 2hγγi =1T47M0M1.=M=, Mn.000=Mijn6× 6.MN1γ2−L11nL21nL31n−L12 nL22 nL32 n| γ2| 0|||−L13nL23n |L33n |00γ0−020−γ2−0К ним добавляется система уравнений движения оболочки какабсолютно твердого тела:uc = uc ,=ucp 3 N)I n (b( )),∑∑ pin (ττm0 =i 1 =n 0(2.22)уравнение для определения радиуса области контакта (1.22) и начальныеусловия: 0,0,0,0,0,0 T , n ≠ 1Wn ( 0 ) ==uc ( 0 ) V=, uc ( 0 ) 0,=0.0 , b ( 0)T 0,0,0,V0 ,V0 ,0 , n = 1(2.23)Пятое уравнение системы (2.21) в каждом блоке с номером n являетсяинтегро-дифференциальным, т.к.

его правая часть содержит слагаемые3∑pini =1, представленные в виде интегралов от неизвестных функций w n ( τ=) w n ( τ ) :N2n + 1p1n (τ) =−H (τττ)∑ w k ( ) I nk (b( ))2k =0tp2 n (t)p2n + 1 N∑ w k (t ) Pk [cos b(t )] dt ∫ υ[θ, b(t ), t − t ]Pn (cos θ)sin θd θ (2.24)2 k =0 ∫0048t2n + 1 Np3n (t) = −∑ w k (t )dt2 k =0 ∫0arcsin[b ( t )]∫0pdPk (cos θ* )d θ* ∫ υ(θ, θ* , t − t )Pn (cos θ)sin θd θ.d θ*0При этом в правую часть входят все N + 1 функции w 0n ( τ ) , n = 0, N , поэтомусистема решается совместно для всех 6 ( N + 1) + 3 уравнений.Отличие модифицированного метода Рунге-Кутты от классическогозаключается в том, что наряду с применением классической схемы [149]необходимо построение и использование квадратурных формул длявычисления интегралов в интегро-дифференциальных уравнениях системы(2.21).Построим дискретный аналог системы (2.21), (2.22), (1.22) с учетом(2.23), (2.24).

Численное решение задачи ищется в узлах равномерной сетки сшагом δm по временной координате τm =δm m . Искомые коэффициентырядов перемещений и их скоростей, контактного давления, радиус границыобласти взаимодействия, глубина погружения ударника как абсолютнотвердого тела и ее скорость заменяются их значениями в дискретныемоменты времени:=wn ( τm ) , χ nm =χτu0 n ( τm ) , w=u=un ( τm ) , w=w n ( τm ) ,nmn ( m), unmnmnm n ( m )=, pnmχ nm =χτ3∑ p ( τ ) , b = b ( τ ) , u=i =1inmmmcmuc ( τm ) .uc ( τm ) , u=cmОснованная на методе Кунге-Кутта разностная схема для системы(2.21), (2.22), (1.22) имеет следующий вид:Wm+1 = Wm +δm( R + 2K + 2Z + S ) ,6(2.25)49TWm+1 = W0,m+1 , W1,m+1 ,..., WN,m+1 ,T,Wn,m+1 =un ,m+1 , wn ,m+1 , χχn , m +1 , un ,m +1 , wn , m +1 , n , m +1Wm = W0m , W1m ,..., WNm ,T  ,Wnm =unm , wnm , χχnm , unm , wnm , nmTR=R=, Rn0 , R 1 ,..., R NTK=Z=Tr1n , r2 n , r3n , r4 n , r5 n , r6 n ,K=, Kn0 , K 1 ,..., K NTZ=, Zn0 , Z1 ,..., Z NT=STk1n , k2 n , k3n , k4 n , k5 n , k6 n ,Tz1n , z2 n , z3n , z4 n , z5 n , z6 n ,S=, Sn0 , S1 ,..., S NTTs1n , s2 n , s3n , s4 n , s5 n , s6 n ,где1 1 R MWm + Q(R) , K= M  Wm + R  + Q(K) , Z= M  Wm + K  + Q(Z) ,=2 2 (R)(R)(K)(K), Q(K) = Q(K),S M ( Wm + Z ) + Q(S) , Q(R) = Q(R)=0 , Q1 ,..., Q N0 , Q1 ,..., Q NTTTT(S)(S)(Z)(Z),, Q(S) = Q(S)Q(Z) = Q(Z)0 , Q1 ,..., Q N0 , Q1 ,..., Q NTQ(R)nT3311(R)(K) (K) ),0 ,,w=p0,0,0,0,(),00,0,0,0,pinm (wQ=∑∑inmn022hγγhγγi =1i =1TQ(Z)n31 (Z)0,0,0,0,=pinm (w∑0 ),0 ,2hγγi =1Q(S)n31 (S)=0,0,0,0, ∑ pinm (w0 ),0 ,2hγγi =1TU c,m+1 = U cm +δm ∗R + 2K ∗ + 2Z∗ + S∗ ) ,(6T(2.26)TU c,m+1 = uc ,m+1 , uc ,m+1 , U cm = uc ,m , uc ,m ,∗∗1∗ T2R = r ,r∗∗1K = k ,k∗ T2∗1=, r2∗, r = ucmN 31 (R)Rp()I+pw∑∑einmnm  ,m0 n 0=i 1=N 3r2∗ ∗ 1  (K) )I nm  ,R e + p∑∑ pinm (w, k2, k= ucm + =2m0 =n 0=i 1∗150∗∗1Z = z ,z∗∗1∗ T2∗ T2S = s ,s∗1z ucm +,=k2∗ ∗ p N 3 (Z) )I nm ,pinm (w, z2 =∑∑2m0 =n 0=i 1p N 3 (S) )I nm ,pinm (w,=s ucm + z , s =∑∑m0 =n 0=i 1∗1∗2∗2I nm = I n (bm ) (см.(2.19));=bm+1 (R) = ( w ij )Здесь w(S)=w( wij+ z5i )uc ,m+1 ( 2 − uc ,m+1 ) .(2.27)r k (K)(Z)==wij + 5i  , wwij + 5i  ,,wN ×m2  N ×m2  N ×mN ×m.Заметим, что на сверхзвуковом этапе взаимодействия справедливоусловие=bm+1(1 − uc ,m +1) uc ,m +1uc ,m+1 ( 2 − uc ,m+1 )≥ 1.Квадратурные формулы для интегралов, входящих в выражения для), p2 n ( ), p3n ( ) (см.(2.24)), строятся с использованиемопределения p1n (τττметода весовых коэффициентов и канонической регуляризации [148] дляполучения конечных значений сингулярных интегралов.Сеточные функции p1nm , p2nm , p3nm с учетом (2.24) запишутся так:p1nm2n + 1 N≈−∑ w km I nkm , I nkm = I nk (bm ) (см.(2.18)),2 k =051p2 nm ≈l2n + 1 N m−1(cos)wPb∑∑ ki ki ∑ Pn (cos θ j )sin θ j ×2 =k 0=i 0=j 1× δm {w1 j (bi ) f1 (θ j , bi , tm − ti ) + w3 j (bi ) f 2 (θ j , bi , tm − ti )} +(2.28) i {w1 j (bi ) f3 (θ j , bi , tm − ti ) + δl f 4 (θ j , bi , tm − ti )} ,+wp3nml2n + 1 N m−1 m1≈−Pn (cos θ j )sin θ j ×∑∑ w ∑[ Pk (cos θ*i1 ) − Pk (cos θ*i1−1 )]=∑2 =k 0=i 0 ki =i1 1j 1× δm {w1 j (θ*i1 ) f1 (θ j , θ*i1 , tm − ti ) + w3 j (θ*i1 ) f 2 (θ j , θ*i1 , tm − ti )} +} i {w1 j (θ*i1 ) f3 (θ j , θ*i1 , tm − ti ) + δl f 4 (θ j , θ*i1 , tm − ti ) )  ,+wπbгде δl = , δm1 = i , θ j = jδl , ti = iδm , θ*i1 = i1δ m1 ;lm1f1 (q j , x, tm − ti ) =f 2 (q j , x, tm − ti ) =f3 (q j , x, tm − ti ) =2∑ϑq =1rq1(q j , x, tm − ti ) ,2∑ϑq =1rq 2(q j , x, tm − ti ) ,rq 3(q j , x, tm − ti ) ,2∑ϑq =1f 4 (θ j , x, tm − ti ) =ϑs (θ j , x, tm − ti ) .Весовые коэффициенты имеют вид: tm − ti, t ≠tdt ln i ∫ =  tm − ti +1 i +1 m=ωtm − t tiln tm − tm−1 , ti +1 =tmti +1 F ( x, θ j ) − F ( x, θ j −1 ), x ≠ sin θ j , x ≠ sin θ j −1dθωlj ( x ) =∫= F ( x, θ j ), x =sin θ j −1( l =1,3) ,lsinxθ−) θ j −1 (− F ( x, θ j −1 ), x =sin θ jθj52где F ( x, z ) - первообразная подынтегральной функции.Значения полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го родавычисляются с помощью аппроксимации многочленами [150]:K (m ( x)) =  a0 + a1m 1 ( x) + ...

+ a4 m 14 ( x)  ++ b0 + b1m 1 ( x) + ... + b4 m 14 ( x)  ln(1 m 1 ( x)) + ε(m ( x)),ε(m ( x)) ≤ 2 ⋅ 10−8 ,a0 1.38629436112,a1 0.09666344259,a2 0.03590092383,===a3 0.03742563713,a4 0.01451196212,==b0 0.5,b1 0.12498593597,b2 0.06880248576,===b3 0.03328355346,b4 0.00441787012;==E (m ( x)) = 1 + a1m 1 ( x) + ... + a4 m 14 ( x)  ++ b1m 1 ( x) + ... + b4 m 14 ( x)  ln(1 m 1 ( x)) + ε(m ( x)),ε(m ( x)) ≤ 2 ⋅ 10−8 ,=a1 0.44325141463,=a2 0.06260601220,=a3 0.04757383546,=a4 0.01736506451,=b1 0.24998368310,=b2 0.09200180037,=b3 0.04069697526,=b4 0.00526449639,где m ( x) =4θ j x(θj+ x)20 ≤ m ( x) < 1, m 1 ( x) =1 − m ( x) .Неполные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода вычисляются спомощью метода Симпсона [149] ( δ эл. , n – шаг в эллиптическом интеграле ичисло шагов соответственно):531 δα=Fxmxy(),(),где()q 1 − m ( x)sin 2 α ,I = E δ ( x), m ( x)  , где y(α)= 1 − m ( x)sin 2 α  qnn −1δ эл.

I≈y0 + yn + 4∑ y2i −1 + 2∑ y2i  ,3  =i 1 =i 1 δ q ( x)δ эл. =, y0 = y (0), yn = y δ q ( x)  , y2i −1 = y [ (2i − 1)δ эл. ] ,2n (q + x )η t 2 − (q − x ) 2 qkj , q =1,2.αrcsin  j=y2i y (2iδ эл. ), δq ( x) = 2(tm − ti )qjxК системе уравнений (2.25) – (2.28) добавляются начальные условия:T 0,0,0,0,0,0 , n ≠ 1Wn 0 ==uc ,0 V=, uc ,0 0,=0.0 , b0T=VVn0,0,0,,,0,100(2.29)Предложенный алгоритм расчета реализован в среде Delphi [151].54§ 2.4. Примеры расчетовВ качестве первого примера рассмотрим вертикальный удар стальнойсферическойоболочкипополупространству,заполненномусталью.Соответствующие безразмерные параметры имеют следующие значения:R 1, =h 0.05,=V 0.1.=γ 1, =На рис.

2.1. и 2.2. представлены зависимости положения границыобласти контакта и ее скорости расширения в зависимости от времени.Рис. 2.1.55Рис. 2.2.Зависимости контактного давления от времени в разных точкахобласти контакта представлены на рис. 2.3. Сплошная кривая соответствуетлобовой точке оболочки, штриховая – точке с координатой θ =0.04 ,штриховая пунктирная –θ =0.08 .

Положения скачков на графикахсоответствуют моментам времени, при которых радиус расширяющейсяобласти контакта b ( τ ) достигает соответствующей точки.56Рис. 2.3.На рис. 2.4. представлены распределения контактного давления поугловой координате θ в различные моменты времени. Сплошная криваясоответствует моменту времени τ =0.01 , штриховая – τ =0.03 , штриховаяпунктирная – τ =0.06 . Скачки на графиках соответствуют положениюграницы области контакта в соответствующий момент времени. Как видно,на подвижной границе области взаимодействия контактное давление имеетразрыв первого рода.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,84 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее