Диссертация (786428), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

СВЕРХЗВУКОВОЙ ЭТАП КОНТАКТНОГОВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И УПРУГОГОПОЛУПРОСТРАНСТВАИзвестно [9], что при исследовании процессов нестационарногоконтактного взаимодействия ударников, ограниченных гладкими выпуклымиповерхностями, с упругим полупространством характерно наличие двухскоростных режимов движения границ области контакта: сверхзвукового идозвукового. На сверхзвуковом (начальном) режиме скорость расширенияобластиконтактапревышаетмаксимальновозможнуюскоростьраспространения возмущений равную скорости волн растяжения-сжатия.

Этоприводит к невозможности выхода возмущений за границы области контакта.В дальнейшем скорость расширения снижается и в определенный моментстановитьсяравноймаксимальнойскоростивозмущенийвполупространстве. С этого момента времени возмущения начинают выходитьзаграницыконтактнойобласти,арежимвзаимодействия,следуятерминологии в [9], называется дозвуковым. При этом вне области контактаперемещения неизвестны.

На сверхзвуковом режиме расширяющийсяноситель нормальных перемещений границы полупространства совпадает собластью контакта, а нормальные перемещения границ ударника иполупространства совпадают. Поэтому для сверхзвукового режима движенияграниц (в задачах удара как раз он наиболее опасный с точки зренияинтенсивности возникающих возмущений) можно построить сравнительноболее простой по отношению к случаю произвольного режима методрешения соответствующих контактных задач.37§ 2.1.

Система разрешающих уравненийРассмотрим начальный сверхзвуковой этап взаимодействия, прикотором скорость расширения области контакта превышает скорость звука вупругой среде, т.е. b ≥ 1 , поэтому перемещения граничных поверхностейударникаиполупространстваневыходятзаграницуобластивзаимодействия.Контактные напряжения σ zzz =0=σ zz (r , τ) связаны с нормальнымиперемещениями u z=u z (r , τ) второй из формул (1.35)z =0 (r , τ) ∗∗u (r , τ) = Γ (r , τ) ∗∗u (r , τ).σ zz (r , τ) = Γazaz(2.1)С использованием свойств однородности функции Γ a (r , τ) и того, чтоноситель нормальных перемещений совпадает с областью контакта,интегральное представление (2.1) приводится к виду [9]:σ zz (r , t) =−u z ( r , t ) H ( t ) H b ( t ) − r  +tb( t )00+ ∫ dt∫t∂u z ( r, t )u ( r , r, t − t ) d r − ∫ u z b ( t ) , t  u  r , b ( t ) , t − t  dt ,∂r0(2.2)гдеυ(r , r, τ)=2∑υq =1rq1(r , r, τ) + υs (r , r, τ).τ(2.3)При r > 0 функции υrq и υs таковы:38111 1υrq1 (r , r, τ) +υ (r , r, τ) +υrq 3 (r , r, τ), (2.4)3 rq 2(r − r)τ r −rr −rυrq (r , r=, τ)dqυrq1 (r=, r, τ)πη4bqυrq 2 (r=, r, τ)πη4{F (d , m) H ϕq1q{E (δ , m) H ϕq1q}(r , r, τ)  + K (m) H ϕ2 q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,}(r , r, τ)  + E (m) H ϕ2 q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,1cq H ϕ1q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,πη4υrq 3=(r , r, τ)υs (r , r, τ) = υs 0 (r , r, τ) H [ ϕs1 (r , r, τ)] H [ ϕs 2 (r , r, τ)] ,(η2 − 2) 2υs 0 (r , r, τ) = −πη4=c0r −r −τ=,mr +r+τ222r + r − ττ2 − (r − r) 2( r + r ) ( τ ηq )24 rr( r + r)c02, sin 2 δq =( r + r ) ( τ ηq )2sin 2 δq =22,− (r − r) 2 ,4rr ( τ ηq )2− (r − r) 2 ,4rr ( τ ηq )2ϕq (r , r, τ) = τ − ηq r − r , ϕ1q (r , r, τ) = ηq (r + r) − τ, ϕ2 q (r , r, τ) = τ − ηq (r + r) ,ϕs1 (r , r, τ) = r + r − τ, ϕs 2 (r , r, τ) = τ − r − r ,222  ττ2 22d11)  , d 2(r − r)η −,=− ( r − r ) ( 2η − =r + r r + rr +rr + r 22(r + r) 2 − ττ− (r − r) 2,c1 = −2r +r22η2 (r + r) 2 − ττ− η2 (r − r) 2,с2 =−2ηr +r 2  3(r − r) 2(r − r) 2b=2 τ −− 2  + (2η2 − 1)(r − r) 2  ,12(r + r)  r +r 2  3(r − r) 2(r − r) 222b=2τ−++2−η(r−r) ,22r+r(r+r) 39а при r = 0 имеют вид:υr1 (0,=r, τ)23τ2 − (2η2 − 1)r2  ,ηr4 3υr 2 (0, r, τ) = −2(3τ2 − η2r2  ,4 3 ηr(2.5)(η2 − 2) 2υρτ(0, , )δ(τ − ρ).s=η4В(2.4)F (δq , m), E (δq , m), K (m), E (m)–неполные,полныеэллиптические интегралы первого и второго рода.Исходя из первого и последнего граничных условий в (1.21) и учитывая(2.2), получаем следующее выражение для контактного давления p [25 – 28,35]:p=(r , τ)1[ p1 (r , τ) + p2 (r , τ) + p3 (r , τ)],γ(2.6) ( t ) H b ( t ) − r  ,p1 (r , t) =− wHt=p2 (r , t)∫ w b ( t ) , t  υ r , b ( t ) , t − t  dt ,0tb ( t)00p3 (r , t) = − ∫ dt∫∂wυ ( r , r, t − t ) d r.∂rВыражение (2.6) совместно с уравнениями движения оболочки (1.15),соотношениями (1.16), (1.17), уравнениями (1.22), (1.23) и начальнымиусловиями (1.18) образуют замкнутую систему разрешающих уравненийсверхзвукового этапа контактного взаимодействия сферической оболочки иупругого полупространства.40Как видно, с помощью принципа суперпозиции и функции влияния дляупругого полупространства задачу удалось свести к решению системыуравнений движения оболочки совместно с дополнительными уравнениямидля определения зоны контакта.

При этом вся информация о воздействии состороны полупространства содержится в интегральном представлении (2.6)для контактного давления p . Граничными условиями при этом выступаютусловия ограниченности перемещений оболочки в полюсах. Условиепериодичности по окружной координате выполняется автоматически в силуосевой симметрии задачи [24 – 30].41§ 2.2. Метод решения задачи на сверхзвуковом этапевзаимодействияДля решения системы разрешающих уравнений используем методФурье разделения переменных. Все заданные и искомые функции, зависящиеот радиальной τ и временной переменной θ , представим в виде разложенийв ряды по полиномам Лежандра Pn (cos θ) и их производнымdPn ( cos θ ),dθкоторые являются собственными функциями системы уравнений движениясферической оболочки [146, 27, 28, 35].Принимая во внимание малость угла θ , полагаем, что=r sin θ ≈ θ, r= sin θ* ≈ θ* , θ* ∈ [ 0, θ].(2.7)Указанные разложения имеют видw ( θ, τ )=p (θ, τ)∞wn ( τ )∑ p ( τ ) P ( cos θ ) ,n =0nn(2.8)u ( θ, ττ) ∞ un ( ) dPn ( cos θ )=∑.dθc ( θ, τ ) n=0 c n ( τ )Полиномы Лежандра Pn ( x) являются решением дифференциальногоуравнения (штрих обозначает производную по x ) [56, 146]:(1 − x 2 ) P ′ ( x) ′ + n(n + 1) P ( x) =0.nn42Следовательно,функцияPn ( cos θ )удовлетворяетследующемууравнению:dP (cos θ) 1 d −n(n + 1) Pn (cos θ).sin θ n =dθsin θ d θ (2.9)После раскрытия скобок в (2.9) и некоторых преобразований придем кdP (cos θ)d 2 Pn (cos θ)связи, Pn (cos θ) и n:2dθdθd 2 Pn (cos θ)dP (cos θ)=−  ctg θ n+ n(n + 1) Pn (cos θ) 2dθdθ(2.10)Принимая во внимание формулу (2.10), подставляем (2.8) в (1.16),(1.17), а затем в (1.15) и получаем бесконечную систему интегродифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов,зависящих от времени: = L U + P ,γ 2Unn nn(2.11)TLn=Lijn3× 3, U n=31), wn ( ), n ( ) , Pn=0, ∑ pin (τ),0 ,un (ττχτhγi =1Tгде коэффициенты Lijn определяются так:L11n=(1 + a ) (1 − a 0 ) − n ( n + 1) − β0k 2 ,L12=(1 + a0 ) (1 + a ) + β0k 2 ,L13n= a a 0 − 1 + n ( n + 1)  + β0 k 2 ,L=n ( n + 1) (1 + a ) (1 + a 0 ) + β0 k 2  ,21n43L22 n = −  2 (1 + a 0 ) (1 + a ) + β0 k 2 n ( n + 1) (2.12)L23n = −n ( n + 1) ( a 0 + 1) a + β0 k 2  ,L31=n ( n + 1) − 1 + a 0 +nL33nβ k2 β0 k 2, L32 =− 2 + 0  ,a aβ0 k 2 =− a 0 + n ( n + 1) +− 1 .aС учетом свойства ортогональности и нормы полиномов Лежандракоэффициенты разложения в ряд составляющих контактного давления pin (i = 1, 2,3 ) принимают вид [146]:2n + 1pin =pi Pn ( x)dx (i 1,2,3).=2 −∫11(2.13)Проводя замену переменной =x cos θ в интеграле (2.13) и используяпредставление (2.6), получаем следующие выражения для pin (τ) :p1n (τ) =−∞2n + 1H (τττ)∑ w k ( ) I nk [b( )],2k =0tp2 n (t)p2n + 1 ∞∑ w k (t ) Pk [cos b(t )] dt ∫ υ[θ, b(t ), t − t ]Pn (cos θ)sin θd θ, (2.14)2 k =0 ∫00t2n + 1 ∞p3n (t) = −∑ w k (t )dt2 k =0 ∫0arcsin[b ( t )]∫0pdPk (cos θ* )d θ* ∫ υ(θ, θ* , t − t )Pn (cos θ)sin θd θ,d θ*0arcsin( x )где=I nk ( x)∫Pk (cos θ)Pn (cos θ)sin θd θ .044С использованием разложения (2.8) для p (θ, τ) , выражений (2.14) иподстановки =r sin θ в уравнение движения оболочки как абсолютнотвердого тела (1.23) запишется так:3∞pττm0uc =∑∑ pin ( )I n ( b( ) )(2.15)=i 1 =n 0здесь=I n ( x)arcsin x∫Pn ( cos θ ) sin(2θ)d θ .0Разрешающая система уравнений в коэффициентах рядов включает всебя систему уравнений (2.11) с учетом (2.14), уравнение (2.15) игеометрическое соотношение (1.22) для определения радиуса областиконтакта.

При этом неизвестными являются коэффициенты un ( τ ) , wn ( τ ) ,χτn ( ) рядов (2.8) для перемещений оболочки и угла поворота нормальных додеформации к срединной поверхности сечений за счет сдвига, глубинапроникания оболочки в полупространство uc ( τ ) и радиус границы областиконтакта b ( τ ) .Начальные условия для разрешающей системы уравнений (2.11), (2.15),(1.22) имеют следующий вид:b τ=0 =uc ==un τ 0 =wn τ 0 ==cn τ 0 ==c n τ 0 =0,=τ=0u= w= 0n τ 0 =n τ 0=(n ≠ 1),(2.16)u=u=w=V0,c τ=011 τ=0τ=0Учитывая явное представление для полиномов Лежандра [147]:=Pn ( x ) 2−n[ n 2]∑ ( −1)m =0m( 2 n − 2 m )!x n−2 mm!( n − m )!( n − 2m )!(2.17)45функции I nk ( x) в (2.14) и I n ( x) в (2.15) находятся так:k   n  2  2(2k − 2m3 )!(2n − 2m2 )!×I nk ( x) =2(−1) m2 + m3∑∑m3 !(k − m3 )!(k − 2m3 )!m2 !(n − m2 )!=m3 0=m2 0− n−k×=I n ( x) 2k + n − 2( m2 + m3 ) +12(2.18)1 − (1 − x ),(n − 2m2 )!(k + n − 2(m2 + m3 ) + 1)2− n +1n  2n−2 m + 22n − 2m1 )!(22( −1)1 − (1 − x ).∑m1 !( n − m1 )!( n − 2m1 )! m =0m11(2.19)1Здесь и далее символ [⋅] обозначает целую часть числа.Структура формул (2.3) – (2.5) с учетом (2.7) показывает, что p2 n (τ) иp3n (τ) содержат интегралы с сингулярными особенностями порядка ( −1) и( −3)при τ= 0, sinθ= sinθ* (m= 1) , а также с интегрируемыми особенностямипорядка ( −1 2 ) при τ= sinθ + sinθ* , τ= sinθ − sinθ* .

Характеристики

Список файлов диссертации