Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786428), страница 6

Файл №786428 Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству) 6 страницаДиссертация (786428) страница 62019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

СВЕРХЗВУКОВОЙ ЭТАП КОНТАКТНОГОВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И УПРУГОГОПОЛУПРОСТРАНСТВАИзвестно [9], что при исследовании процессов нестационарногоконтактного взаимодействия ударников, ограниченных гладкими выпуклымиповерхностями, с упругим полупространством характерно наличие двухскоростных режимов движения границ области контакта: сверхзвукового идозвукового. На сверхзвуковом (начальном) режиме скорость расширенияобластиконтактапревышаетмаксимальновозможнуюскоростьраспространения возмущений равную скорости волн растяжения-сжатия.

Этоприводит к невозможности выхода возмущений за границы области контакта.В дальнейшем скорость расширения снижается и в определенный моментстановитьсяравноймаксимальнойскоростивозмущенийвполупространстве. С этого момента времени возмущения начинают выходитьзаграницыконтактнойобласти,арежимвзаимодействия,следуятерминологии в [9], называется дозвуковым. При этом вне области контактаперемещения неизвестны.

На сверхзвуковом режиме расширяющийсяноситель нормальных перемещений границы полупространства совпадает собластью контакта, а нормальные перемещения границ ударника иполупространства совпадают. Поэтому для сверхзвукового режима движенияграниц (в задачах удара как раз он наиболее опасный с точки зренияинтенсивности возникающих возмущений) можно построить сравнительноболее простой по отношению к случаю произвольного режима методрешения соответствующих контактных задач.37§ 2.1.

Система разрешающих уравненийРассмотрим начальный сверхзвуковой этап взаимодействия, прикотором скорость расширения области контакта превышает скорость звука вупругой среде, т.е. b ≥ 1 , поэтому перемещения граничных поверхностейударникаиполупространстваневыходятзаграницуобластивзаимодействия.Контактные напряжения σ zzz =0=σ zz (r , τ) связаны с нормальнымиперемещениями u z=u z (r , τ) второй из формул (1.35)z =0 (r , τ) ∗∗u (r , τ) = Γ (r , τ) ∗∗u (r , τ).σ zz (r , τ) = Γazaz(2.1)С использованием свойств однородности функции Γ a (r , τ) и того, чтоноситель нормальных перемещений совпадает с областью контакта,интегральное представление (2.1) приводится к виду [9]:σ zz (r , t) =−u z ( r , t ) H ( t ) H b ( t ) − r  +tb( t )00+ ∫ dt∫t∂u z ( r, t )u ( r , r, t − t ) d r − ∫ u z b ( t ) , t  u  r , b ( t ) , t − t  dt ,∂r0(2.2)гдеυ(r , r, τ)=2∑υq =1rq1(r , r, τ) + υs (r , r, τ).τ(2.3)При r > 0 функции υrq и υs таковы:38111 1υrq1 (r , r, τ) +υ (r , r, τ) +υrq 3 (r , r, τ), (2.4)3 rq 2(r − r)τ r −rr −rυrq (r , r=, τ)dqυrq1 (r=, r, τ)πη4bqυrq 2 (r=, r, τ)πη4{F (d , m) H ϕq1q{E (δ , m) H ϕq1q}(r , r, τ)  + K (m) H ϕ2 q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,}(r , r, τ)  + E (m) H ϕ2 q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,1cq H ϕ1q (r , r, τ)  H ϕq (r , r, τ)  ,πη4υrq 3=(r , r, τ)υs (r , r, τ) = υs 0 (r , r, τ) H [ ϕs1 (r , r, τ)] H [ ϕs 2 (r , r, τ)] ,(η2 − 2) 2υs 0 (r , r, τ) = −πη4=c0r −r −τ=,mr +r+τ222r + r − ττ2 − (r − r) 2( r + r ) ( τ ηq )24 rr( r + r)c02, sin 2 δq =( r + r ) ( τ ηq )2sin 2 δq =22,− (r − r) 2 ,4rr ( τ ηq )2− (r − r) 2 ,4rr ( τ ηq )2ϕq (r , r, τ) = τ − ηq r − r , ϕ1q (r , r, τ) = ηq (r + r) − τ, ϕ2 q (r , r, τ) = τ − ηq (r + r) ,ϕs1 (r , r, τ) = r + r − τ, ϕs 2 (r , r, τ) = τ − r − r ,222  ττ2 22d11)  , d 2(r − r)η −,=− ( r − r ) ( 2η − =r + r r + rr +rr + r 22(r + r) 2 − ττ− (r − r) 2,c1 = −2r +r22η2 (r + r) 2 − ττ− η2 (r − r) 2,с2 =−2ηr +r 2  3(r − r) 2(r − r) 2b=2 τ −− 2  + (2η2 − 1)(r − r) 2  ,12(r + r)  r +r 2  3(r − r) 2(r − r) 222b=2τ−++2−η(r−r) ,22r+r(r+r) 39а при r = 0 имеют вид:υr1 (0,=r, τ)23τ2 − (2η2 − 1)r2  ,ηr4 3υr 2 (0, r, τ) = −2(3τ2 − η2r2  ,4 3 ηr(2.5)(η2 − 2) 2υρτ(0, , )δ(τ − ρ).s=η4В(2.4)F (δq , m), E (δq , m), K (m), E (m)–неполные,полныеэллиптические интегралы первого и второго рода.Исходя из первого и последнего граничных условий в (1.21) и учитывая(2.2), получаем следующее выражение для контактного давления p [25 – 28,35]:p=(r , τ)1[ p1 (r , τ) + p2 (r , τ) + p3 (r , τ)],γ(2.6) ( t ) H b ( t ) − r  ,p1 (r , t) =− wHt=p2 (r , t)∫ w b ( t ) , t  υ r , b ( t ) , t − t  dt ,0tb ( t)00p3 (r , t) = − ∫ dt∫∂wυ ( r , r, t − t ) d r.∂rВыражение (2.6) совместно с уравнениями движения оболочки (1.15),соотношениями (1.16), (1.17), уравнениями (1.22), (1.23) и начальнымиусловиями (1.18) образуют замкнутую систему разрешающих уравненийсверхзвукового этапа контактного взаимодействия сферической оболочки иупругого полупространства.40Как видно, с помощью принципа суперпозиции и функции влияния дляупругого полупространства задачу удалось свести к решению системыуравнений движения оболочки совместно с дополнительными уравнениямидля определения зоны контакта.

При этом вся информация о воздействии состороны полупространства содержится в интегральном представлении (2.6)для контактного давления p . Граничными условиями при этом выступаютусловия ограниченности перемещений оболочки в полюсах. Условиепериодичности по окружной координате выполняется автоматически в силуосевой симметрии задачи [24 – 30].41§ 2.2. Метод решения задачи на сверхзвуковом этапевзаимодействияДля решения системы разрешающих уравнений используем методФурье разделения переменных. Все заданные и искомые функции, зависящиеот радиальной τ и временной переменной θ , представим в виде разложенийв ряды по полиномам Лежандра Pn (cos θ) и их производнымdPn ( cos θ ),dθкоторые являются собственными функциями системы уравнений движениясферической оболочки [146, 27, 28, 35].Принимая во внимание малость угла θ , полагаем, что=r sin θ ≈ θ, r= sin θ* ≈ θ* , θ* ∈ [ 0, θ].(2.7)Указанные разложения имеют видw ( θ, τ )=p (θ, τ)∞wn ( τ )∑ p ( τ ) P ( cos θ ) ,n =0nn(2.8)u ( θ, ττ) ∞ un ( ) dPn ( cos θ )=∑.dθc ( θ, τ ) n=0 c n ( τ )Полиномы Лежандра Pn ( x) являются решением дифференциальногоуравнения (штрих обозначает производную по x ) [56, 146]:(1 − x 2 ) P ′ ( x) ′ + n(n + 1) P ( x) =0.nn42Следовательно,функцияPn ( cos θ )удовлетворяетследующемууравнению:dP (cos θ) 1 d −n(n + 1) Pn (cos θ).sin θ n =dθsin θ d θ (2.9)После раскрытия скобок в (2.9) и некоторых преобразований придем кdP (cos θ)d 2 Pn (cos θ)связи, Pn (cos θ) и n:2dθdθd 2 Pn (cos θ)dP (cos θ)=−  ctg θ n+ n(n + 1) Pn (cos θ) 2dθdθ(2.10)Принимая во внимание формулу (2.10), подставляем (2.8) в (1.16),(1.17), а затем в (1.15) и получаем бесконечную систему интегродифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов,зависящих от времени: = L U + P ,γ 2Unn nn(2.11)TLn=Lijn3× 3, U n=31), wn ( ), n ( ) , Pn=0, ∑ pin (τ),0 ,un (ττχτhγi =1Tгде коэффициенты Lijn определяются так:L11n=(1 + a ) (1 − a 0 ) − n ( n + 1) − β0k 2 ,L12=(1 + a0 ) (1 + a ) + β0k 2 ,L13n= a a 0 − 1 + n ( n + 1)  + β0 k 2 ,L=n ( n + 1) (1 + a ) (1 + a 0 ) + β0 k 2  ,21n43L22 n = −  2 (1 + a 0 ) (1 + a ) + β0 k 2 n ( n + 1) (2.12)L23n = −n ( n + 1) ( a 0 + 1) a + β0 k 2  ,L31=n ( n + 1) − 1 + a 0 +nL33nβ k2 β0 k 2, L32 =− 2 + 0  ,a aβ0 k 2 =− a 0 + n ( n + 1) +− 1 .aС учетом свойства ортогональности и нормы полиномов Лежандракоэффициенты разложения в ряд составляющих контактного давления pin (i = 1, 2,3 ) принимают вид [146]:2n + 1pin =pi Pn ( x)dx (i 1,2,3).=2 −∫11(2.13)Проводя замену переменной =x cos θ в интеграле (2.13) и используяпредставление (2.6), получаем следующие выражения для pin (τ) :p1n (τ) =−∞2n + 1H (τττ)∑ w k ( ) I nk [b( )],2k =0tp2 n (t)p2n + 1 ∞∑ w k (t ) Pk [cos b(t )] dt ∫ υ[θ, b(t ), t − t ]Pn (cos θ)sin θd θ, (2.14)2 k =0 ∫00t2n + 1 ∞p3n (t) = −∑ w k (t )dt2 k =0 ∫0arcsin[b ( t )]∫0pdPk (cos θ* )d θ* ∫ υ(θ, θ* , t − t )Pn (cos θ)sin θd θ,d θ*0arcsin( x )где=I nk ( x)∫Pk (cos θ)Pn (cos θ)sin θd θ .044С использованием разложения (2.8) для p (θ, τ) , выражений (2.14) иподстановки =r sin θ в уравнение движения оболочки как абсолютнотвердого тела (1.23) запишется так:3∞pττm0uc =∑∑ pin ( )I n ( b( ) )(2.15)=i 1 =n 0здесь=I n ( x)arcsin x∫Pn ( cos θ ) sin(2θ)d θ .0Разрешающая система уравнений в коэффициентах рядов включает всебя систему уравнений (2.11) с учетом (2.14), уравнение (2.15) игеометрическое соотношение (1.22) для определения радиуса областиконтакта.

При этом неизвестными являются коэффициенты un ( τ ) , wn ( τ ) ,χτn ( ) рядов (2.8) для перемещений оболочки и угла поворота нормальных додеформации к срединной поверхности сечений за счет сдвига, глубинапроникания оболочки в полупространство uc ( τ ) и радиус границы областиконтакта b ( τ ) .Начальные условия для разрешающей системы уравнений (2.11), (2.15),(1.22) имеют следующий вид:b τ=0 =uc ==un τ 0 =wn τ 0 ==cn τ 0 ==c n τ 0 =0,=τ=0u= w= 0n τ 0 =n τ 0=(n ≠ 1),(2.16)u=u=w=V0,c τ=011 τ=0τ=0Учитывая явное представление для полиномов Лежандра [147]:=Pn ( x ) 2−n[ n 2]∑ ( −1)m =0m( 2 n − 2 m )!x n−2 mm!( n − m )!( n − 2m )!(2.17)45функции I nk ( x) в (2.14) и I n ( x) в (2.15) находятся так:k   n  2  2(2k − 2m3 )!(2n − 2m2 )!×I nk ( x) =2(−1) m2 + m3∑∑m3 !(k − m3 )!(k − 2m3 )!m2 !(n − m2 )!=m3 0=m2 0− n−k×=I n ( x) 2k + n − 2( m2 + m3 ) +12(2.18)1 − (1 − x ),(n − 2m2 )!(k + n − 2(m2 + m3 ) + 1)2− n +1n  2n−2 m + 22n − 2m1 )!(22( −1)1 − (1 − x ).∑m1 !( n − m1 )!( n − 2m1 )! m =0m11(2.19)1Здесь и далее символ [⋅] обозначает целую часть числа.Структура формул (2.3) – (2.5) с учетом (2.7) показывает, что p2 n (τ) иp3n (τ) содержат интегралы с сингулярными особенностями порядка ( −1) и( −3)при τ= 0, sinθ= sinθ* (m= 1) , а также с интегрируемыми особенностямипорядка ( −1 2 ) при τ= sinθ + sinθ* , τ= sinθ − sinθ* .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,84 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее