Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786428), страница 5

Файл №786428 Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству) 5 страницаДиссертация (786428) страница 52019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Постановка контактной задачи для сферической оболочки иупругого полупространстваРассмотрим процесс вертикального удара сферической оболочки поупругому полупространству [24, 25]. В начальный момент оболочка,двигаясь с начальной скоростью V0 , входит в контакт с упругимполупространством.Векторыначальнойскоростиивнешнейсилынаправлены нормально к невозмущенной поверхности полупространства.Первоначальнооболочкаиполупространствонаходятсявнедеформированном состоянии (рис. 1.1).Рис. 1.126Все переменные и параметры приводятся к безразмерному виду (штрихсоответствует безразмерным величинам; параметры с индексом k = 1относятся к полупространству, а с k = 0 - к оболочке):ψϕzuruzc tcϕ′ = 2 , ψ′ = 2 , ηi = 11 ( i = 1,2 ), z′ = , t = 11=, u′z, ur′ =,RRRRRRci1σuwuλ=, w′, σ′ξζ = ξζ, uс′ = с ,(ξ, z = r , ϑ, z ) , α k = kRRRλ1 + 2µ1λ k + 2µ k=u′rhbµVβk = k, r ′ = , h′ = , V0′ = 0 , b′ = ,RRRλ k + 2µ kC11p′=Rpc112 2 λ k + 2µ k 2 µ kh22′,γ,=c1k,=c2 k,a==,h(λ 0 + 2µ 0 )c10 212 R 2ρρkkm0′ =′ =M αα(1.11)Rah λ 0 + 2µ 0hm0′,,,R==γ=aR λ1 + 2µ1 γ 2 Rρ1c112 R 2ρ1R 3TααM ααTααQ′ =′ =, Tαα, Tαα, Q′ =,h(λ 0 + 2µ 0 )Rh(λ 0 + 2µ 0 )h(λ 0 + 2µ 0 )h(λ 0 + 2µ 0 )κ′αα =καα R (α = θ, ϑ) .Здесь с1k и с2k – скорости распространения волн растяжения-сжатия исдвига, τ – безразмерное время, uс – глубина проникания оболочки какабсолютно твердого тела, b= b(τ) – радиус области контакта, m0 – массаоболочки, Ra – результирующая контактная сила.

Далее везде штрихиопущены.В безразмерной форме система уравнений, описывающих движениеполупространства, включает в себя (точками здесь и далее обозначеныпроизводные по безразмерному времени τ )– уравнения движения (1.5)27∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂ϕ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ ψ ;+ 2 +=ϕ, 2 + 2 +− 2 =η22ψ2r ∂rr ∂r r∂r∂z∂z∂r(1.12)– связь перемещений с потенциалами (1.6)u=r–связь∂ϕ ∂ψ∂ϕ 1 ∂ψ −+ ψ + r, u=z;∂r ∂z∂z r ∂r компонентовтензоранапряжений(1.13)сперемещениями,вытекающая из (1.6), (1.7)∂u ∂u ∂u  ∂u u σrz = β1  z + r  , σrr = r + α1  z + r  ,∂z ∂rr  ∂r ∂z∂u zu ∂u u  ∂u ∂uσ zz=+ α1  r + r  , σϑϑ= r + α1  z + r∂zr r∂r ∂r ∂z.(1.14)В безразмерном виде уравнения движения оболочки (1.8) запишутсятак:2g=u∂Tθθ+ (Tθθ − Tϑϑ ) ctgθ + Q,∂θ0 = −Tθθ − Tϑϑ +g2wg 2c=∂Q+ Qctgθ + p,∂θ(1.15)1  ∂M θθ⋅− ctgθ ( M ϑϑ − M θθ ) − Q  .a  ∂θБезразмерные аналоги геометрических и физических соотношений дляоболочки (1.9), (1.10) имеют вид:28– геометрические соотношенияεθθ =∂u∂w+ w, εϑϑ = uctgθ + w, β = c - ξ, - ξ =- u,∂θ∂θ∂c ∂uκθθ=-- w, κϑϑ= ctgθ ( c - u ) - w.∂θ ∂θ(1.16)– физические соотношенияTϑϑ = εϑϑ + α 0εθθ , Tθθ = εθθ + α 0εϑϑ ,M θθ= a ( κθθ + a 0 κϑϑ ) , M ϑϑ= a ( κϑϑ + a 0 κθθ ) ,(1.17)Tθθ =Tθθ − M θθ , Tϑϑ =Tϑϑ − M ϑϑ , Q =β0 k 2β.Начальные условия имеют следующий вид:u= 0, u=V , u= 0, w= 0, cc τ 0 =c τ 0 =0τ 0 =τ 0 =τ 0== 0,(1.18)c =−V0 sin=θ, w τ 0 =0, u =V0 cos θ;=τ 0 =τ 0ϕ= 0, ϕ= 0, ψ= 0, ψ=τ 0 =τ 0 =τ 0 =τ 0Вбесконечноудаленнойточке= 0.(1.19)полупространствавозмущенияотсутствуют=ϕ O(1),=ψ O(1), r → ∞.(1.20)Заметим, что при учете деформируемости граничных поверхностейоболочкииполупространствавобластиконтактазадачаявляетсянелинейной.

Для перехода к линейной задаче необходима линеаризацияграничныхусловий,котораязаключаетсявснесенииихнанедеформированную граничную поверхность полупространства.29Полагая,чтоконтактпроисходитвусловияхсвободногопроскальзывания, а также учитывая, что вне зоны взаимодействияповерхности полупространства и оболочки свободны от напряжений,приходим к следующим граничным условиям:=γ p  r ≤ b ( τ )  , s=0  r > b ( τ )  ,s zϑ =u z w cos θ ≈ w  r ≤ b ( τ )  .0 [ r ∈ (−∞, ∞) ] ,=z =0szz z 0=zz z 0=(1.21)При этом область контакта представляет собой круг, принадлежащийнедеформированной поверхности полупространства с радиусомb ( τ) ,зависящим от времени.

Последнее условие в (1.21) записано с учетомпредположения о малости углового размера области контакта по отношениюк радиусу оболочки.Радиус области контакта связан с глубиной проникания uc ( τ )условием пересечения недеформированных поверхностей оболочки иполупространства:b=( τ)uc ( 2 − uc ) .(1.22)Для определения глубины проникания привлекается уравнениедвижения оболочки как абсолютно твердого телаm0uc = Ra , Ra ( τ )= 2pγb( τ )∫ p ( r , τ ) rdr.(1.23)0Соотношения (1.12) – (1.23) образуют замкнутую начально-краевуюзадачу об ударе сферической оболочки по упругому полупространству.30§ 1.5.

Функции влияния для полупространстваПри исследовании линейных динамических задач имеют большоезначениетакназываемыефункциивлияния,соответствующиесосредоточенным силовым и кинематическим воздействиям. Они являютсярезультатом решения начально-краевых задач для деформируемой среды призадании на границе одной из компонент перемещения или напряжения в видепроизведения дельта-функций Дирака по пространственным координатам ивремени.С помощью функций влияния можно представить в интегральном видерешение задач с заданными граничными условиями несмешаного характераили построить интегральные уравнения для условий смешанного типа иконтактных задач.Дляполучениязамкнутыхсистемуравненийнестационарныхконтактных задач с подвижными границами, рассматриваемых в даннойработе,используютсяповерхностныефункциивлиянияупругогоизотропного полупространства Γ ( r , τ ) и G ( r , τ ) , которые представляютсобой нормальные напряжения и нормальные перемещения поверхностиполупространстваΓ ( r , τ ) =σ zzz =0, G ( r , τ ) =u z,r=z =0x2 + y 2 .Они являются решениями осесимметричных задач (1.12) – (1.14), (1.20)в цилиндрической системе координат при нулевых начальных условиях.

Награнице z = 0 в этих задачах имеют место следующие граничные условия(рис. 1.2):– для Γ ( r , τ ) :σ= 0, urz z 0=z z 0==δ(τ)δ( x, y );(1.24)31– для G ( r , τ ) :σ= 0, σrz z 0=zz z 0=Дельта-функцииДирака=δ(τ)δ( x, y ).δ( x , y )иδ( r )(1.25)связаныследующимсоотношением [141, 142]:δ( x , y ) =(πr ) −1 δ(r ).Рис. 1.2Для решения задачи (1.12) – (1.14), (1.20), (1.24) применяютсяинтегральные преобразования Лапласа по времени τ и Ханкеля по радиусу r32[142 – 144] (значки L и H ν указывает на изображения Лапласа и Ханкелясоответственно, s и q – параметры преобразований):∞f1 ( s ) =∫ f1 ( ττ)e d , f− sτL∞Hν0(q ) =∫ f (r )rJ ν (rq )dr ,(1.26)0где J ν ( x) – функция Бесселя индекса ν .При этом для функции ϕ используется преобразование H 0 , а для ψ –преобразование H1 .

В дальнейшем, там, где это не вызывает разночтений,индекс ν опустим и будем обозначать преобразование Ханкеля простозначком H .Тогда в пространстве изображений уравнения (1.12) при однородныхначальных условиях принимают вид:∂ 2ϕHL∂ 2ψ HL222HL− k1 ( q , s ) ϕ = 0,− k22 ( q 2 , s 2 ) ψ HL = 0,22∂z∂z(1.27)k1 ( q, s ) = s + q , k2 ( q, s ) = η2 s + q ,а изображения перемещений и напряжений (1.13), (1.14) связаны междусобой так:∂ψ H∂ϕ HHu =−qϕ −, uz =+ qψ H ,∂z∂z ∂u H∂u Hσ Hzz = z + α1qurH , σrzH =β1  r − qu zH  .∂z ∂zHrH(1.28)С учетом (1.20) решения уравнений (1.27) принимают вид:=ϕ HL C0 ( q, s ) =e − k1z , ψ HL C1 ( q, s ) e − k2 z .(1.29)33Учитывая связь преобразование Фурье по двум переменным спреобразованием Ханкеля [143, 144] ( p1 , p2 – параметры преобразованияФурье по переменным x и y ))((22 f ( r )  =∫∫ f x + y eFR∞2i p1 x + p2 y ))(dxdy ==2p∫ rf ( r ) J 0 r p12 + p22 dr =2p  f ( r )  ,0Hизображение дельта-функции δ( x, y ) имеет вид:11[δ( x, y )]H = [δ( x, y )]F = .2π2π(1.30)Подставляя (1.29) в формулы (1.28), затем в изображения граничныхусловий (1.24) и принимая во внимание (1.30), получим систему линейныхалгебраических уравнений относительно C0 и C1 .

Из (1.28) и (1.29) с учетомнайденных констант C0 и C1 определим изображение функции влиянияΓ ( r, τ) :Γ HL ( q, s ) =s HL=s 2Γ aHL (q, s ),zzz =0(1.31)HLHL(q, s ) + Γ 02(q, s ),Γ aHL ( q, s ) = Γ 01где(η2 s 2 + 2q 2 ) 22q 2HLΓ ( q, s ) =−η2 s 2 + q 2 ., Γ 02 ( q, s ) =44πη s2πη4 s 4 s 2 + q 2HL01Применяя обратное преобразование Ханкеля и Лапласа к (1.31), найдеморигинал Γ ( r , τ ) [143, 145]:34 ( r , τ ) , гдеΓ ( r , τ ) =Γa2Γ a ( r , τ ) = Γ a 0 ( r , τ ) δ(τ − r ) + ∑ Γ ak ( r , ττ) H ( − ηk r ),(1.32)k =1τ(η2 − 2) 2Γ a 0 ( r , τ ) =−, Γ a1 ( r , τ ) =− 4 5 3τ2 − (2η2 − 1)r 2  ,4πη r2πη rτ3τ2 − η2 r 2  .Γ a=2 ( r, τ)4 5 πη rДля получения изображения функции G (r , τ) константы C0 и C1 в(1.29) определяются из граничных условий (1.25). Выполняя аналогичныеописанным выше действия, находим изображение функции влияния G ( r , τ ) :GОригиналHL=2πη4 s 2 k1 ( q 2 , s 2 )4k1 ( q 2 , s 2 ) k2 ( q 2 , s 2 ) q 2 − (η2 s 2 + 2q 2 ) 2функциистроитсяG (r , τ)с.использованием(1.33)связипространственной и плоской задач и имеет вид [9]:=G (r , τ)2) H ( − η r ),∑ G ( r , ττk =1kkτ =Gk ( r , τ )a 1 − cR2 ηk2 (r 2 − cR2 τ2 ) −3 2 H (r − cR τ) + c k (r 2 , τ2 )  ,4  k2πη=c k (r , τ)(1.34)1Q1k (r , τ) 2(brc)S(r,)(r)+ττ+τ−ηkkkk,)2Sk (r , ) P23 2 (r , ττ(b αQ1k (r , τ)=2S=k ( r , τ)k2+ ck ) r − ( bk b2 + ck α 2 ) τ ,1P2 (r , τ) P2 (1, η2k ) + P1k (r , τ)  ,2P1k (r 2 , τ2 )=(1 − α η ) r + (β η22k222k− α 2 ) τ2 ,35(2 − η2cR2 ) 21 − cR2, a2 =−b2 =4,b1 =η − a1 , a1 =P2 (cR2 ,1)P2 (cR2 ,1)4 cR2 2 8 (1 + k )β2 ak − 4222 22) x − 2a yx + β y , a= 2 − , β=, c=,P2 ( x, y=k2ηη6cR2cR24где cR – безразмерная скорость волны Рэлея, η1 =1, η2 =η , H ( x) - функцияХевисайда.Из (1.34) видно, что функция влияния G (r , τ) обладает сингулярнойособенностью порядка − 3 2 , носитель которой расположен за фронтомволны Рэлея.На основании принципа суперпозиции выражения для перемещений u zи напряжения σ zz на границе полупространства z = 0 принимают вид [9,140]:u z=u z (r=, τ) G (r , τ) ∗∗σ zz (r , τ),z =0σ zzz =0 (r , ) ∗∗u (r , τ).= σ zz (r , τ) = Gτaz(1.35)∂ 2Γ a (r , τ)понимается в обобщенном смысле,Здесь производная Γ a (r , τ) =∂τ2значком « ∗ ∗ » обозначена операция свертки по двум переменным r и τ .36Глава 2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,84 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее