Диссертация (786428), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Постановка контактной задачи для сферической оболочки иупругого полупространстваРассмотрим процесс вертикального удара сферической оболочки поупругому полупространству [24, 25]. В начальный момент оболочка,двигаясь с начальной скоростью V0 , входит в контакт с упругимполупространством.Векторыначальнойскоростиивнешнейсилынаправлены нормально к невозмущенной поверхности полупространства.Первоначальнооболочкаиполупространствонаходятсявнедеформированном состоянии (рис. 1.1).Рис. 1.126Все переменные и параметры приводятся к безразмерному виду (штрихсоответствует безразмерным величинам; параметры с индексом k = 1относятся к полупространству, а с k = 0 - к оболочке):ψϕzuruzc tcϕ′ = 2 , ψ′ = 2 , ηi = 11 ( i = 1,2 ), z′ = , t = 11=, u′z, ur′ =,RRRRRRci1σuwuλ=, w′, σ′ξζ = ξζ, uс′ = с ,(ξ, z = r , ϑ, z ) , α k = kRRRλ1 + 2µ1λ k + 2µ k=u′rhbµVβk = k, r ′ = , h′ = , V0′ = 0 , b′ = ,RRRλ k + 2µ kC11p′=Rpc112 2 λ k + 2µ k 2 µ kh22′,γ,=c1k,=c2 k,a==,h(λ 0 + 2µ 0 )c10 212 R 2ρρkkm0′ =′ =M αα(1.11)Rah λ 0 + 2µ 0hm0′,,,R==γ=aR λ1 + 2µ1 γ 2 Rρ1c112 R 2ρ1R 3TααM ααTααQ′ =′ =, Tαα, Tαα, Q′ =,h(λ 0 + 2µ 0 )Rh(λ 0 + 2µ 0 )h(λ 0 + 2µ 0 )h(λ 0 + 2µ 0 )κ′αα =καα R (α = θ, ϑ) .Здесь с1k и с2k – скорости распространения волн растяжения-сжатия исдвига, τ – безразмерное время, uс – глубина проникания оболочки какабсолютно твердого тела, b= b(τ) – радиус области контакта, m0 – массаоболочки, Ra – результирующая контактная сила.

Далее везде штрихиопущены.В безразмерной форме система уравнений, описывающих движениеполупространства, включает в себя (точками здесь и далее обозначеныпроизводные по безразмерному времени τ )– уравнения движения (1.5)27∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂ϕ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ ψ ;+ 2 +=ϕ, 2 + 2 +− 2 =η22ψ2r ∂rr ∂r r∂r∂z∂z∂r(1.12)– связь перемещений с потенциалами (1.6)u=r–связь∂ϕ ∂ψ∂ϕ 1 ∂ψ −+ ψ + r, u=z;∂r ∂z∂z r ∂r компонентовтензоранапряжений(1.13)сперемещениями,вытекающая из (1.6), (1.7)∂u ∂u ∂u  ∂u u σrz = β1  z + r  , σrr = r + α1  z + r  ,∂z ∂rr  ∂r ∂z∂u zu ∂u u  ∂u ∂uσ zz=+ α1  r + r  , σϑϑ= r + α1  z + r∂zr r∂r ∂r ∂z.(1.14)В безразмерном виде уравнения движения оболочки (1.8) запишутсятак:2g=u∂Tθθ+ (Tθθ − Tϑϑ ) ctgθ + Q,∂θ0 = −Tθθ − Tϑϑ +g2wg 2c=∂Q+ Qctgθ + p,∂θ(1.15)1  ∂M θθ⋅− ctgθ ( M ϑϑ − M θθ ) − Q  .a  ∂θБезразмерные аналоги геометрических и физических соотношений дляоболочки (1.9), (1.10) имеют вид:28– геометрические соотношенияεθθ =∂u∂w+ w, εϑϑ = uctgθ + w, β = c - ξ, - ξ =- u,∂θ∂θ∂c ∂uκθθ=-- w, κϑϑ= ctgθ ( c - u ) - w.∂θ ∂θ(1.16)– физические соотношенияTϑϑ = εϑϑ + α 0εθθ , Tθθ = εθθ + α 0εϑϑ ,M θθ= a ( κθθ + a 0 κϑϑ ) , M ϑϑ= a ( κϑϑ + a 0 κθθ ) ,(1.17)Tθθ =Tθθ − M θθ , Tϑϑ =Tϑϑ − M ϑϑ , Q =β0 k 2β.Начальные условия имеют следующий вид:u= 0, u=V , u= 0, w= 0, cc τ 0 =c τ 0 =0τ 0 =τ 0 =τ 0== 0,(1.18)c =−V0 sin=θ, w τ 0 =0, u =V0 cos θ;=τ 0 =τ 0ϕ= 0, ϕ= 0, ψ= 0, ψ=τ 0 =τ 0 =τ 0 =τ 0Вбесконечноудаленнойточке= 0.(1.19)полупространствавозмущенияотсутствуют=ϕ O(1),=ψ O(1), r → ∞.(1.20)Заметим, что при учете деформируемости граничных поверхностейоболочкииполупространствавобластиконтактазадачаявляетсянелинейной.

Для перехода к линейной задаче необходима линеаризацияграничныхусловий,котораязаключаетсявснесенииихнанедеформированную граничную поверхность полупространства.29Полагая,чтоконтактпроисходитвусловияхсвободногопроскальзывания, а также учитывая, что вне зоны взаимодействияповерхности полупространства и оболочки свободны от напряжений,приходим к следующим граничным условиям:=γ p  r ≤ b ( τ )  , s=0  r > b ( τ )  ,s zϑ =u z w cos θ ≈ w  r ≤ b ( τ )  .0 [ r ∈ (−∞, ∞) ] ,=z =0szz z 0=zz z 0=(1.21)При этом область контакта представляет собой круг, принадлежащийнедеформированной поверхности полупространства с радиусомb ( τ) ,зависящим от времени.

Последнее условие в (1.21) записано с учетомпредположения о малости углового размера области контакта по отношениюк радиусу оболочки.Радиус области контакта связан с глубиной проникания uc ( τ )условием пересечения недеформированных поверхностей оболочки иполупространства:b=( τ)uc ( 2 − uc ) .(1.22)Для определения глубины проникания привлекается уравнениедвижения оболочки как абсолютно твердого телаm0uc = Ra , Ra ( τ )= 2pγb( τ )∫ p ( r , τ ) rdr.(1.23)0Соотношения (1.12) – (1.23) образуют замкнутую начально-краевуюзадачу об ударе сферической оболочки по упругому полупространству.30§ 1.5.

Функции влияния для полупространстваПри исследовании линейных динамических задач имеют большоезначениетакназываемыефункциивлияния,соответствующиесосредоточенным силовым и кинематическим воздействиям. Они являютсярезультатом решения начально-краевых задач для деформируемой среды призадании на границе одной из компонент перемещения или напряжения в видепроизведения дельта-функций Дирака по пространственным координатам ивремени.С помощью функций влияния можно представить в интегральном видерешение задач с заданными граничными условиями несмешаного характераили построить интегральные уравнения для условий смешанного типа иконтактных задач.Дляполучениязамкнутыхсистемуравненийнестационарныхконтактных задач с подвижными границами, рассматриваемых в даннойработе,используютсяповерхностныефункциивлиянияупругогоизотропного полупространства Γ ( r , τ ) и G ( r , τ ) , которые представляютсобой нормальные напряжения и нормальные перемещения поверхностиполупространстваΓ ( r , τ ) =σ zzz =0, G ( r , τ ) =u z,r=z =0x2 + y 2 .Они являются решениями осесимметричных задач (1.12) – (1.14), (1.20)в цилиндрической системе координат при нулевых начальных условиях.

Награнице z = 0 в этих задачах имеют место следующие граничные условия(рис. 1.2):– для Γ ( r , τ ) :σ= 0, urz z 0=z z 0==δ(τ)δ( x, y );(1.24)31– для G ( r , τ ) :σ= 0, σrz z 0=zz z 0=Дельта-функцииДирака=δ(τ)δ( x, y ).δ( x , y )иδ( r )(1.25)связаныследующимсоотношением [141, 142]:δ( x , y ) =(πr ) −1 δ(r ).Рис. 1.2Для решения задачи (1.12) – (1.14), (1.20), (1.24) применяютсяинтегральные преобразования Лапласа по времени τ и Ханкеля по радиусу r32[142 – 144] (значки L и H ν указывает на изображения Лапласа и Ханкелясоответственно, s и q – параметры преобразований):∞f1 ( s ) =∫ f1 ( ττ)e d , f− sτL∞Hν0(q ) =∫ f (r )rJ ν (rq )dr ,(1.26)0где J ν ( x) – функция Бесселя индекса ν .При этом для функции ϕ используется преобразование H 0 , а для ψ –преобразование H1 .

В дальнейшем, там, где это не вызывает разночтений,индекс ν опустим и будем обозначать преобразование Ханкеля простозначком H .Тогда в пространстве изображений уравнения (1.12) при однородныхначальных условиях принимают вид:∂ 2ϕHL∂ 2ψ HL222HL− k1 ( q , s ) ϕ = 0,− k22 ( q 2 , s 2 ) ψ HL = 0,22∂z∂z(1.27)k1 ( q, s ) = s + q , k2 ( q, s ) = η2 s + q ,а изображения перемещений и напряжений (1.13), (1.14) связаны междусобой так:∂ψ H∂ϕ HHu =−qϕ −, uz =+ qψ H ,∂z∂z ∂u H∂u Hσ Hzz = z + α1qurH , σrzH =β1  r − qu zH  .∂z ∂zHrH(1.28)С учетом (1.20) решения уравнений (1.27) принимают вид:=ϕ HL C0 ( q, s ) =e − k1z , ψ HL C1 ( q, s ) e − k2 z .(1.29)33Учитывая связь преобразование Фурье по двум переменным спреобразованием Ханкеля [143, 144] ( p1 , p2 – параметры преобразованияФурье по переменным x и y ))((22 f ( r )  =∫∫ f x + y eFR∞2i p1 x + p2 y ))(dxdy ==2p∫ rf ( r ) J 0 r p12 + p22 dr =2p  f ( r )  ,0Hизображение дельта-функции δ( x, y ) имеет вид:11[δ( x, y )]H = [δ( x, y )]F = .2π2π(1.30)Подставляя (1.29) в формулы (1.28), затем в изображения граничныхусловий (1.24) и принимая во внимание (1.30), получим систему линейныхалгебраических уравнений относительно C0 и C1 .

Из (1.28) и (1.29) с учетомнайденных констант C0 и C1 определим изображение функции влиянияΓ ( r, τ) :Γ HL ( q, s ) =s HL=s 2Γ aHL (q, s ),zzz =0(1.31)HLHL(q, s ) + Γ 02(q, s ),Γ aHL ( q, s ) = Γ 01где(η2 s 2 + 2q 2 ) 22q 2HLΓ ( q, s ) =−η2 s 2 + q 2 ., Γ 02 ( q, s ) =44πη s2πη4 s 4 s 2 + q 2HL01Применяя обратное преобразование Ханкеля и Лапласа к (1.31), найдеморигинал Γ ( r , τ ) [143, 145]:34 ( r , τ ) , гдеΓ ( r , τ ) =Γa2Γ a ( r , τ ) = Γ a 0 ( r , τ ) δ(τ − r ) + ∑ Γ ak ( r , ττ) H ( − ηk r ),(1.32)k =1τ(η2 − 2) 2Γ a 0 ( r , τ ) =−, Γ a1 ( r , τ ) =− 4 5 3τ2 − (2η2 − 1)r 2  ,4πη r2πη rτ3τ2 − η2 r 2  .Γ a=2 ( r, τ)4 5 πη rДля получения изображения функции G (r , τ) константы C0 и C1 в(1.29) определяются из граничных условий (1.25). Выполняя аналогичныеописанным выше действия, находим изображение функции влияния G ( r , τ ) :GОригиналHL=2πη4 s 2 k1 ( q 2 , s 2 )4k1 ( q 2 , s 2 ) k2 ( q 2 , s 2 ) q 2 − (η2 s 2 + 2q 2 ) 2функциистроитсяG (r , τ)с.использованием(1.33)связипространственной и плоской задач и имеет вид [9]:=G (r , τ)2) H ( − η r ),∑ G ( r , ττk =1kkτ =Gk ( r , τ )a 1 − cR2 ηk2 (r 2 − cR2 τ2 ) −3 2 H (r − cR τ) + c k (r 2 , τ2 )  ,4  k2πη=c k (r , τ)(1.34)1Q1k (r , τ) 2(brc)S(r,)(r)+ττ+τ−ηkkkk,)2Sk (r , ) P23 2 (r , ττ(b αQ1k (r , τ)=2S=k ( r , τ)k2+ ck ) r − ( bk b2 + ck α 2 ) τ ,1P2 (r , τ) P2 (1, η2k ) + P1k (r , τ)  ,2P1k (r 2 , τ2 )=(1 − α η ) r + (β η22k222k− α 2 ) τ2 ,35(2 − η2cR2 ) 21 − cR2, a2 =−b2 =4,b1 =η − a1 , a1 =P2 (cR2 ,1)P2 (cR2 ,1)4 cR2 2 8 (1 + k )β2 ak − 4222 22) x − 2a yx + β y , a= 2 − , β=, c=,P2 ( x, y=k2ηη6cR2cR24где cR – безразмерная скорость волны Рэлея, η1 =1, η2 =η , H ( x) - функцияХевисайда.Из (1.34) видно, что функция влияния G (r , τ) обладает сингулярнойособенностью порядка − 3 2 , носитель которой расположен за фронтомволны Рэлея.На основании принципа суперпозиции выражения для перемещений u zи напряжения σ zz на границе полупространства z = 0 принимают вид [9,140]:u z=u z (r=, τ) G (r , τ) ∗∗σ zz (r , τ),z =0σ zzz =0 (r , ) ∗∗u (r , τ).= σ zz (r , τ) = Gτaz(1.35)∂ 2Γ a (r , τ)понимается в обобщенном смысле,Здесь производная Γ a (r , τ) =∂τ2значком « ∗ ∗ » обозначена операция свертки по двум переменным r и τ .36Глава 2.

Характеристики

Список файлов диссертации