Автореферат (786393), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Зависимость управляющих воздействий от заданной траектории (r c (t), Ωγ (t)) и переменных рассматриваемой системы (Q, ω) запишется в виде(si , γ × Qṙ c + R0 Ωγ γ − R0 ω)χ̇i = 1.Rw(si , ni )(5)При допущении, что при движении сфероробота центр масс платформывсегда находится в наинизшем положении, получим(QTm si , e3 × QTψ ṙ c + R0 (Ωγ − ωγ )e3 )χ̇i = 1,Rw(si , ni )(6)где Qm — матрица определяющая положение центра масс платформы сомниколесами в подвижной системе координат, через постоянные углы нутации и собственного вращения θ = θm , ϕ = ϕm , а Qψ - матрица, соответствующая вращению подвижной платформы вокруг вертикали на уголпрецессии ψ, причём Q = Qm Qψ .
Угловая скорость ωγ является свободным параметром, то есть в рамках кинематической модели можно реализовать движение вдоль заданной траектории с точностью до произвольноговращения платформы вокруг вертикали ωγ (t). На практике при движениисфероробота вращение сферической оболочки относительно вертикали отсутствует, поэтому в дальнейшем используется модель «резинового» тела,то есть Ωγ = 0.На основе разработанной кинематической модели доказывается следующее утверждение: при постоянных управляющих воздействиях χ˙ = constсфероробот равномерно движется по окружности, радиус которой rзадаётся выражением11(bω, rm )11ρ = R0 q 2b rm 2 − (bωω, rm )2(7)и зависит только от соотношения управляющих воздействий χi/χj .В соответствии с данным утверждением движение по прямой (ρ = ∞)возможно в случае ω = 0, то есть без изменения ориентации платформы.χ̇i =(QTm si × e3 , Qψ V ),Rw (si , ni )(8)где V = (v cos(δ), v sin(δ), 0), v — скорость сфероробота по прямой, направленная под углом δ к оси OX.Для вычисления управляющих воздействий (6), (8) необходимо знатьположение центра масс платформы.
Используя кинематическую модель,вычислениесмещенияцентрамассплатформысводитсякэкспериментальному определению радиусов кривизны траекториисфероробота при постоянных управляющих воздействиях. Радиусыокружностей, по которым движется сфероробот при постоянныхуправлениях связаны с радиус-вектором центра масс соотношением (7).Причём данные соотношения зависят только от направления смещения(углов ϕm, θ m), и не зависят от величины смещения. Следовательно,системы двух уравнений типа (7) для различных управляющих воздействийдостаточно для того, чтобы определить направление смещения центра массподвижной платформы.
Таким образом, проведя два эксперимента подвижению сфероробота с разными постоянными управляющимивоздействиями, и измерив радиусы окружностей, по которым при этомдвижется сфероробот, можно вычислить направления смещения центрамасс (углы ϕm, θ m). Для разработанного экспериментального образцаданные значения составилиϕm = 1.521 ± 0.018, θm = 0.0535 ± 0.0075.(9)Вторая глава посвящена исследованию динамики сфероробота свнутренней омниколесной платформой.
Динамические уравнения движения записываются в форме уравнений в квазискоростях с неопределеннымимножителями Лагранжаd ( ∂L ) = X ck w ∂L + ν i (L) + X λ ∂Fj , i = 1, .., s.jri rdt ∂wi∂wk∂wi(10)jr,kгде w = (ω1 , ω2 , ω3 , Ω1 , Ω2 , Ω3 , v1 , v2 , v3 ) - вектор квазискоростей,ν = (ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 , λ1 , λ2 , λ3 , µ1 , µ2 , µ3 ) - соответствующие им векторные12поля, а ckri структурные константы, λ - неопределенные множители, F связи наложенные на систему. Объединив данные уравнения с уравнениямидвижения колес, получим(I + Jss − Jns − Jsn )ω̇ + (Jns − Jss + mR0 ((γ, rm ) − γ ⊗ rm ))Ω̇ =−3Xki si Ki − ω × Iω + (Jns (Ω − ω)) × ω−i=1−mR0 rm × (γ × (Ω × ω)) − mg(rm × γ)(Jsn − Jss + mR0 ((rm , γ) − rm ⊗ γ))ω̇+2(11)2+(I0 + Jss + (m + m0 )R0 (γ − γ ⊗ γ))Ω̇ =−(m + m0 )R0 2 γ × (γ × (Ω × ω)) − mR0 (γ × (ω × (ω × rm )))−−I0 ω × Ω +3Xki si Kii=1P3P3где введены обозначения Jss = i=1 jki 2 (si ⊗ si ), Jsn = i=1 jki (si ⊗P3P3ni ), Jns = i=1 jki (ni ⊗si ), I = Ip + i=1 Ii - тензор инерции подвижнойплатформы с омниколесами относительно центра сферы, j — осевой моментинерции колес.
Вместе с уравнением Пуассонаγ̇ = γ × ω(12)уравнения (11) образуют замкнутую приведённую систему уравнений.Данная система допускает два первых интеграла движенияγ 2 = 1, (M , γ) = Mγ = const,(13)где вектор M имеет видM = (I − Jns + mR0 ((γ, rm ) − rm ⊗ γ))ω+(I0 + Jns + mR0 ((γ, rm ) − γ ⊗ rm ) + (m + m0 )R0 2 (1 − γ ⊗ γ))Ω.(14)В случае свободного движения (K = 0) к интегралам (13) добавляетсяинтеграл энергииE = 1 (m + m0 )R02 (Ω × γ)2 + 1 I0 Ω2 + 1 (ω, Iω) + mR0 (Ω × γ, ω × rm )+222+(Ω − ω, Jsn ω) + 1 (Ω − ω, Jss (Ω − ω)) + mg(rm , γ).2(15)Неподвижные точки рассматриваемой системы определяются условиями ˙Ω = 0, ω˙ = 0, K = 0.
В этом случае система (11), (12) имеетследующие решения.131. Два трёхпараметрических семейства неподвижных точек.ω = 0, Ω = Ω0 , γ = ±rm.|rm |(16)Данному решению соответствуют такие движения сфероробота, при которых центр масс платформы располагается в наинизшей (наивысшей) возможной точке, её ориентация не изменяется со временем, сферическая оболочка вращается с постоянной угловой скоростью Ω0 , а центр сферороботалибо остаётся на месте (при Ω0 k γ), либо движется прямолинейно (приΩ0 6 kγ).2. Двухпараметрическое семейство неподвижных точек, задаваемое соотношениямиω = ωγ, Ω = ωC1 γ − ωγ=−A−1 b + rm × (A−1 rm × A−1 b),1 − (rm , A−1 rm )гдеA=mR0rm ,J0J0J(I + (C1 − 1)Jns − C2 ) , b = 20 2m2 R02m R0mR0 C1 −(17)mgR− 0 Jns rm ,2J0ωJ0 = I0 + (m + m0 )R0 2 , а C1 , C2 и ω являются параметрами семейства, дваиз которых можно считать независимыми, а третий вычислять из условияγ 2 = 1.
При этом независимые параметры можно выразить через значенияинтегралов движения Mγ , E.Исследование устойчивости в линейном приближении проводится длянаиболее распространенного на практике движения по прямой с постоянной скоростью. Для этого система (11, 12) линеаризуется вблизи решения(16)Aż = Bz,(18)где z = (ω1 , ω2 , ω3 , Ω1 −Ω01 , Ω2 −Ω02 , Ω3 −Ω03 , γ1 −γ01 , γ2 −γ02 , γ3 −− γ03 ) - отклонение от рассматриваемого решения.
Корни характеристического уравнения системы (18)det(µA − B) = 0(19)получены в численном виде, по причине сложности рассматриваемой системы. Если решения (16) параметризованы какω0 = (0, 0, 0),Ω0 = (−Ω0sin(δ),Ω0cos(δ), 0),γ0 = (0, 0, 1),14(20)то характеристическое уравнение имеет видµ5 · (µ2 + 204.2205)(µ2 + 0.00829 · Ω20 + 204.2205) = 0.(21)Как видно из (21), собственные числа характеристического уравнения независят от угла δ, т.е. от направления движения.
Кроме того, они не имеют положительной вещественной части вне зависимости от величины Ω0 .Это позволяет говорить об отсутствии экспоненциальной неустойчивостиданного решения. Наличие нулевых собственных чисел говорит от том, чтодля решения вопроса об устойчивости в полной нелинейной постановкенеобходимо провести разложение системы (11) до более высоких порядков.a)b)c)Рис. 3. Зависимости a) γ(t) , b) ω(t) и c) K(t) при движении сфероробота потраектории (24).Управление сферороботом в рамках динамической модели заключаетсяв следующем. Представим угловую скорость Ω в видеΩ = Ωα (t)α + Ωβ (t)β + Ωγ (t)γ,(22)где Ωγ (t) известная функция времени, а Ωα (t), Ωβ (t) выражаются с помощью уравнения связи (3) и первого из кинематических уравнений (2)следующим образомΩα (t) =ẏ(t)ẋ(t)Ωβ (t) =.R0R0(23)Используя полученные зависимости в уравнениях (11), (12) можно получить численное решение данной системы относительно ω(t), γ(t), Ω(t), изкоторых вычисляются управляющие воздействия K(t).
Пример численногорешения для траектории заданной в виде (24) представлен на рисунке 3x(t) = 0, y(t) = −sin(2πt)+ t , Ωγ = 0, t ∈ [0, 1]20π1015(24)Как видно из представленных графиков в конечной точке угловая скорость подвижной платформы ω, а также компоненты вектора γ1 , γ2 не равны нулю. Следовательно, после того как сфероробот проедет по прямой всоответствии с управлениями, изображенными на рисунке 3c, он не остановится, а продолжит свободное движение (в общем случае хаотическое).В качестве одного из способов устранения данных недостатков предложен алгоритм управления при помощи гейтов. Данный способ заключается в вычислении управляющих воздействий, при которых сфероробот вначальный и конечный момент времени заведомо движется по какому либостационарному решению (в частном случае стоит). Однако, в этом случаетраектория движения сфероробота заранее не определена, а задача управления сводится к подбору маневра, при котором получающаяся траекториядвижения сфероробота удовлетворяет необходимым требованиям.В качестве примера рассмотрены управления сферороботом, реализующие разгон из состояния покоя и поворот во время движения по прямой.Вектор γ, задающий маневр (гейт), представим в видеγ(t) = (sin θ(t) cos ϕ(t) sin θ(t) sin ϕ(t) cos θ(t)) ,(25)где углы Эйлера ϕ(t), θ(t) определяют ориентацию подвижной платформыво время маневра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
