Диссертация (786344), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Íà ïîêðûòèå îïöèîííîé ïîçèöèè õåäæåð òðàòèò ïðè ýòîì ñóì-(K + ζ)(1 + θ).ζ.Fζ (·)K + ζ , ãäå ζK + Kd.H,ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî îí áóäåò èñïîëíåí ïî öåíå, íå ïðåâûøàþ-Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòè âèäàP{ζ ≤ Kd}èP{νi = 1}ñâÿçàíû è äîëæíûîïðåäåëÿòüñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíûζáûëà ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ïîd ∈ [0; Kd]äåëåíèÿ. Îñòàåòñÿ íàïîìíèòü, ÷òî âñå ðåàëèçàöèèζè íåïðåðûâíîé íà âñåé îáëàñòè îïðå-äîëæíû ïðèíàäëåæàòü îòðåçêóÍà îñíîâàíèè ýòîãî, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû1,1 − e−λsFζ (s) =,1 − e−λKd0,Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû1M[ζ] =1 − e−λKdZçàäàäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:åñëès > Kd,åñëè0 ≤ s ≤ Kd,åñëès < 0.ζ(1.15)ñ ó÷åòîì (1.15) áóäåò ðàâíîKdse−λs ds =0ζ[0, Kd].1Kde−λKd−.λ 1 − e−λKd(1.16)1.2.2. Çàòðàòû íà õåäæèðîâàíèåÍàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ñóììàðíûõ çàòðàò ïðîäàâöà àìåðèêàíñêîãî êîëë-îïöèîíà, èñïîëüçóþùåãî ìîäèôèöèðîâàííóþ ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ.Ïîòåðè õåäæåðà ïðèlii-ìïåðåñå÷åíèè ïîëîñû îáîçíà÷èì êàê li .

Ïðè íå÷åòíûõiâåëè÷èíàñîîòâåòñòâóåò ïîòåðÿì ïðè ïåðåñå÷åíèè ñíèçó ââåðõ, à ïðè ÷åòíûõ ïîòåðÿì ïðè ïå-ðåñå÷åíèè ñâåðõó âíèç. Ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé çàòðàòû õåäæåðà ïðè ïåðâîìïåðåñå÷åíèè ñîñòàâÿò âåëè÷èíól1 , ν1 ((K + ζ)(1 + θ) − K) + (1 − ν1 )ρ+ , ζ ∈ [0, Kd].(1.17)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò çàòðàòàì â ñëó÷àå, êîãäà îïöèîí èñïîëíåí, âòîðîå ñëàãàåìîå çàòðàòàì íà ïîêðûòèå îïöèîííîé ïîçèöèè, åñëè îïöèîí èñïîëíåí íå áûë. Åñëèν1 = 1,ò.å. îïöèîí èñïîëíåí, òî ïðè âòîðîì ïåðåñå÷åíèè õåäæåð íå äîëæåí íåñòè íèêàêèõ ïîòåðü.Çàòðàòû ïðè âòîðîì ïåðåñå÷åíèè (ñâåðõó âíèç) ñîñòàâÿò ñîîòâåòñòâåííîl2 , (1 − ν1 )(ν2 ρ− + (1 − ν2 )ρ− )) = (1 − ν1 )ρ− .34Àíàëîãè÷íî, åñëè îïöèîí èñïîëíåí, òî è ïðè ïîñëåäóþùèõ ïåðåñå÷åíèÿõ õåäæåð íå íåñåòíèêàêèõ ïîòåðü.  îáùåì ñëó÷àå çàòðàòû ïðèli ,i-ìïåðåñå÷åíèè ïîëîñû áóäóò ðàâíûνi ((K + ζ)(1 + θ) − K) + (1 − νi )ρ+ ,i = 1,!i−1Q(1 − νj ) (νi ((K + ζ)(1 + θ) − K)+j=1+(1 − νi )ρ+ ),!i−1Q(1 − νj ) ρ− ,(1.18)i = 2m + 1,i = 2m,j=1ãäåm = 1, 2, .

. ..i−1Q(1 − νj ) íå ðàâåí 0 òîëüêî åñëè îïöèîíj=1íå áûë èñïîëíåí äî i-ãî ïåðåñå÷åíèÿ. Åñëè æå îïöèîí áûë èñïîëíåí äî òåêóùåãî ïåðåñå÷åÏîÿñíèì ïðèâåäåííîå ðàâåíñòâî. Ñîìíîæèòåëüíèÿ, òî õåäæåð íå íåñåò íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïîòåðü. Ïðè ïåðåñå÷åíèè ñíèçó ââåðõ,ò.å.

íà ïåðåñå÷åíèè ñ íå÷åòíûì íîìåðîì, âîçìîæíû äâà âàðèàíòà. Ïîäïèñ÷èê ìîæåò èñïîëíèòü îïöèîí, òîãäàνi = 1 ,êîìèññèîííûõ èçäåðæåêè õåäæåð ïîêóïàåò àêòèâ ïî ñëó÷àéíîé öåíå, çàòðàòèâ ñ ó÷åòîì(K + ζ)(1 + θ),åòñÿ íå èñïîëíåííûì, òîãäàè ïðîäàåò ïîäïèñ÷èêó ïî öåíå(1 − νi ) = 1,K.Ëèáî îïöèîí îñòà-à õåäæåð çàêðûâàåò ïîçèöèþ, çàòðàòèâ ñóììóρ+ .Ïðè ïåðåñå÷åíèè ñâåðõó âíèç ïîçèöèÿ ÿâëÿåòñÿ çàêðûòîé, ò.å. ó õåäæåðà åñòü íåîáõîäèìîåêîëè÷åñòâî àêöèé, è íåçàâèñèìî îò òîãî, áûë ëè îïöèîí èñïîëíåí ïðè ïåðåñå÷åíèè, õåäæåðïðîäàåò àêòèâû ïî öåíå ïîñòàâêèKëèáî äåðæàòåëþ îïöèîíà, ëèáî äðóãèì ó÷àñòíèêàì ðûí-êà. Çàòðàòû õåäæåðà â ñëó÷àå, êîãäà êóðñ áàçîâîãî àêòèâà íå ïåðåñåê ïîëîñóïðåâûñèë óðîâåíü öåíû ïîñòàâêèK,H,à òîëüêîñîñòàâÿòl0 , ν0 ((K + ζ)(1 + θ) − K).Ñóììàðíûå ïîòåðè õåäæåðà çà âðåìÿ æèçíè îïöèîíà â çàâèñèìîñòè îò øèðèíû ïîëîñûíå÷óâñòâèòåëüíîñòè îáîçíà÷èì êàêL(d).ñÿò îò îáùåãî ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûÎ÷åâèäíî, ÷òî ñóììàðíûå ïîòåðè õåäæåðà çàâè-H,ðàâíîãîη+ + η−. ÷àñòíîñòè, åñëè ïðîèçîøëîíå÷åòíîå ÷èñëî ïåðåñå÷åíèé, ò.å.

ïîñëåäíåå ïåðåñå÷åíèå áûëî ñíèçó ââåðõ è îïöèîí äî îêîí÷àíèÿ ñâîåé æèçíè íå áûë èñïîëíåí, òî îí áóäåò èñïîëíåí â ìîìåíò âðåìåíèT,ïîñêîëüêóðûíî÷íàÿ öåíà àêòèâà â ýòîò ìîìåíò áóäåò âûøå öåíû ïîñòàâêè. Åñëè æå êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé ÷åòíîå, ò.å. ïîñëåäíåå ïåðåñå÷åíèå áûëî â íàïðàâëåíèè ñâåðõó âíèç, òî êîíòðàêò âìîìåíò âðåìåíè÷åíèé ïîëîñûHTèñïîëíåí íå áóäåò, åñëè îí íå áûë èñïîëíåí ðàíåå.

Îáùåå ÷èñëî ïåðåñå-áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âåëè÷èíîé35η+ + η−.Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíûå ïîòåðèõåäæåðà çà âðåìÿ æèçíè îïöèîíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû è ðàâíûL(d) ,P2m i=0 li ,P2m+1 i=0 li −η + + η − = 2m,!2m+1Q(1.19)−+(1 − νj ) K, η + η = 2m + 1,j=1m = 0, 1, 2, . . . .ãäå1.3. Ñâîéñòâà ïðîöåññà öåíîîáðàçîâàíèÿ1.3.1.

Ñâîéñòâà äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâÐàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñâîéñòâà ïðîöåññà (1.11). Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûåñâåäåíèÿ èç òåîðèè äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ.Ò å î ð å ì à 3.[31, ãëàâà III,§11]Ïóñòü ïðîöåññξ(t)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñòîõàñòè÷å-ñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäàdξ(t) = f (ξ(t))dt + σ(ξ(t))dW (t),ïðèt ∈ [0, T ],ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìξ(0) = ξ0 .W (t)ãäå- ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξ0íå çàâèñèò îòW (t)è èìååò êîíå÷íûé âòîðîé íà÷àëüíûé ìîìåíò.

Ïóñòü òàêæå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:1à) íàéäåòñÿ òàêîå K < ∞, ÷òî ïðè âñåõ t ∈ [0, T ], x ∈ R :|f (x)|2 + |σ(x)|2 ≤ K(1 + x2 );á) íàéäåòñÿ òàêîåC < ∞,÷òî ïðè âñåõt ∈ [0, T ], x, y ∈ R1 :|f (x) − f (y)|2 + |σ(x) − σ(y)|2 ≤ C|x − y|2 .Òîãäàñíîñàξ(t) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ìàðêîâñêèì äèôôóçèîííûìa(x) = f (x) è êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè b(x) = σ 2 (x).Ïðîöåññïðîöåññîì ñ êîýôôèöèåíòîìS(t), îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì (1.11), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû, à çíà÷èòÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì äèôôóçèîííûì ïðîöåññîì ñ êîýôôèöèåíòîì ñíîñàåíòîì äèôôóçèèσ 2 S 2 (t)µS(t)è êîýôôèöè-.Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîöåññà (1.11). Äëÿ ýòîãî ââåäåì ïåðåõîäíóþ âåðîÿòíîñòüïðîöåññàS(t):P (x, t, B) = P{S(t) ∈ B|S(0) = x},ïðèt > 0, x ∈ R1 , è B ∈ B(R1 ), ãäå B(R1 ) σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ R1 , à òàêæåïåðåõîäíóþ ïëîòíîñòü, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ZP (x, t, B) =p(x, t, s) ds.B36Ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòüëè÷èíûS(t)â òî÷êåp(x, t, s)s,ÿâëÿåòñÿ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå-S(0) = x.ïðè óñëîâèèÈç îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (1.11)ñëåäóåò, ÷òî ëîãàðèôì îòíîñèòåëüíîãî èçìåíåíèÿ öåíûS(t) áàçîâîãî àêòèâà èìååò íîðìàëü-íîå ðàñïðåäåëåíèå:lnS(t)xÏîýòîìó óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ∼ N(µt, σ 2 t),S(t)èìååò âèä−1ep(x, t, s) = √2πtσ ñèëó òîãî, ÷òî ïðîöåññ3, 4, · · · ,S(t)(ln xs − µt)22σ 2 t.(1.20)ÿâëÿåòñÿ äèôôóçèîííûì, äëÿ ëþáûõε > 0, x ∈ R1 , n =ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ [31, 35]:Z1limt→0 tp(x, t, s) ds = 0,(1.21)(s − x)p(x, t, s) ds = a(x) = xµ,(1.22)(s − x)2 p(x, t, s) ds = b(x) = x2 σ 2 ,(1.23)|s−x|>ε1limt→0 tZ|s−x|≤ε1limt→0 tZ|s−x|≤ε1limt→0 tZ(s − x)n p(x, t, s) ds = 0,(1.24)|s−x|≤εÏåðâîå óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò íåïðåðûâíîñòü (P-ï.í) òðàåêòîðèé ïðîöåññà.

Ôóíêöèÿõàðàêòåðèçóåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü ñìåùåíèÿ çà ìàëîå âðåìÿ èç ñîñòîÿíèÿb(x)S(0) = x.a(x)Ôóíêöèÿõàðàêòåðèçóåò îòêëîíåíèå îò óñðåäíåííîãî äâèæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî êîýôôèöèåíòîìñíîñà.1.3.2. Ðàñïðåäåëåíèå ìîìåíòà ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ çàäàííîãî óðîâíÿÏîòåðè õåäæåðà íàïðÿìóþ çàâèñÿò îò òîãî, êîãäà ðûíî÷íàÿ öåíà áàçîâîãî àêòèâà äîñòèãíåò óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, ò.å. îò ìîìåíòàτ .  ÷àñòíîñòè, åñëè ïåðåñå÷åíèÿ íå ïðîèñõîäèò âòå÷åíèå ñðîêà äåéñòâèÿ îïöèîíà, õåäæåð âîâñå íå ïðîèçâîäèò çàòðàò íà ïîêðûòèå ïîçèöèè,ïîëó÷èâ ïðè ýòîì ïðåìèþ çà îïöèîí.Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûτ , ñ÷èòàÿ, ÷òî S(0) = x, ãäå x ∈ [0, K].

Ââåäåìâ ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûïîëîæåíèÿxè óðîâíÿK:Fτ (t, x, K) , P{τ ≤ t}.37τâ çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãîÂâåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëó÷àéíûé ïðîöåññòåëüíûõ ïðèðàùåíèé öåíûX(t),ñîîòâåòñòâóþùèé ëîãàðèôìó îòíîñè-S(t).S(0)(1.25)S(t):X(t) , lnÏî ôîðìóëå Èòî ïîëó÷àåì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññX(t) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíå-íèþ:X(t) = (µ −σ2)t + σW (t),2ò.å. ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì ñ ëèíåéíûì ñíîñîì. Ïîñêîëüêó ëîãàðèôì ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, ðàñïðåäåëåíèå ìîìåíòàòîðèåé ïðîöåññàS(t)ïðè óñëîâèè, ÷òîïåðâîãî äîñòèæåíèÿ óðîâíÿln KxS(0) = x,τïåðâîãî äîñòèæåíèÿ óðîâíÿln Kxòðàåêòîðèåé ïðîöåññàX(t)íå ïîçäíåå ìîìåíòà âðåìåíèòîãî, ÷òî ìàêñèìóì ïðîöåññàX(t)äî ìîìåíòàtt,ïðè óñëîâèè, ÷òîX(0) = 0.X(t) äîñòèã-áóäåò ñîâïàäàòü ñ âåðîÿòíîñòüþîêàæåòñÿ íå ìåíüøå(Fτ (t, x, K) = Pòðàåê-áóäåò ñîâïàäàòü ñ ðàñïðåäåëåíèåì ìîìåíòàÎ÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âèíåðîâñêèé ïðîöåññ ñ ëèíåéíûì ñíîñîìíåò çàäàííûé óðîâåíüKKsup X(t) > lnxt∈[0;T ]ln Kx .Ñëåäîâàòåëüíî,).(1.26)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè â ïðàâîé ÷àñòè äàííîãî ðàâåíñòâà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíàèçâåñòíàÿ ôîðìóëà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñ ëèíåéíûì ñíîñîì íà êîíå÷íîì îòðåçêå âðåìåíè [5], íî ñ ó÷åòîì îòëè÷íîé îò 1 äèñïåðñèèÏîëó÷àåì Kσ2ln−µ−tx2K+√sup X(t) > ln=1−Φxσ tt∈[0;T ]ln Kx (2µ − σ 2 ) ln Kx + µ −1 − Φ σ2√+eσ t(Fτ (t, x, K) = Pσ.)σ22 t .(1.27)Äàííûé ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â [35, ãëàâà 2, Ÿ6], â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé ìàðêîâñêèé äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, à âìåñòî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿFτ (t, x, K) ìîìåíòà ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ Kôèãóðèðóåò ôóíêöèÿϕ(t, x), çíà-÷åíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà â òå÷åíèå âðåìåíètäîñòèãíåò âåðõíåé ãðàíèöû çàäàííîãî èíòåðâàëà ïðè óñëîâèè, ÷òî òðàåêòîðèÿ ñòàðòóåò èçòî÷êèx, ïðèíàäëåæàùåé ýòîìó èíòåðâàëó.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà ïåðâîãîäîñòèæåíèÿ çàäàííîãî óðîâíÿ òðàåêòîðèåé ïðîèçâîëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà â [35]ðåøàëàñü ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà.Îáîçíà÷èì êàêfτ (t, x, K)ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû38τ.Âû÷èñëèìïðîèçâîäíóþ ïîtîòFτ (t, x, K):  2σln − µ −tµ− 2 tln K∂  ∂ √x − ∂−√√Fτ (t, x, K) = −f ∂t∂t σ t ∂tσ tσ t ln Kx (2µ − σ 2 )  ln K + µ − σ2 t  σ2Kµ− 2 tlnx2  ∂ √x + ∂,σ2√√−ef∂t σ t ∂tσ tσ tKxσ222ãäåf (z) =z√1 e− 22π ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Íåòðóäíî óáå-äèòüñÿ, ÷òîln Kx (2µ − σ 2 )  ln K + µ −xσ2√efσ tσ22 tln Kx − µ −=f√σ tσ22 tÑ ó÷åòîì ýòîãî, ïîëó÷àåìln∂Fτ (t, x, K) = −2f ∂tKx− µ−√σ tσ22 KKKln x − µ −t ∂ lnln√x = √ x exp −∂t σ t2σ 2 t2πσ 2 t3σ22 2 t Òàêèì îáðàçîì KKln−µ−lnx∂Fτ (t, x, K)fτ (t, x, K) ,= √ x exp −∂t2σ 2 t2πσ 2 t3σ22 2 t .(1.28)1.3.3. Ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûÇàòðàòûõåäæåðà,èñïîëüçóþùåãîìîäèôèöèðîâàííóþñòðàòåãèþïîñëåäîâàòåëüíîãîõåäæèðîâàíèÿ, çàâèñÿò îò êîëè÷åñòâà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòèòîðèåé öåíûS(t)÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûHòðàåêòîðèåéL(d)S(t)íåîáõîäèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå îáùåãîçà âðåìÿÍàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ïîëîñûHT.òðàåêòîðèåé ïðîöåññàS(t)çà âðåìÿâ íàïðàâëåíèÿõ ñíèçó ââåðõ è ñâåðõó âíèç, òî åñòü íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõâåëè÷èíη+èη−.Ïîñêîëüêó ëîãàðèôì ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, ëþáîé òðà-åêòîðèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàS(t),âåòñòâîâàòü òðàåêòîðèÿ ïðîöåññàH̃òðàåê-áàçîâîãî àêòèâà çà âðåìÿ æèçíè îïöèîíà.

Характеристики

Список файлов диссертации