Диссертация (786344), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïóñòü âñå èíâåñòîðû ñîãëàñíû ñ òåì, ÷òî ïðîöåññ êîòèðîâêè áàçîâîãî àêòèâà ïîä÷èíÿåòñÿ äèñêðåòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëèè (1.7). Òîãäà, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ òåîðåìû, îæèäàåìûå ïîòåðè õåäæåðà ïðè ïðîâåäåíèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿêîëë-îïöèîíà íà ýòîò àêòèâ íà ìîìåíònðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëå (1.8).Òåîðåìà 1 îñòàâëÿåò îòêðûòûì âîïðîñ î íàõîæäåíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿPn (s). Ñëå-äóþùàÿ òåîðåìà äàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ îöåíêó ýòîé ôóíêöèè.Ò å î ð å ì à 2.
Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(i) Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûþò ðàñïðåäåëåíèå(ii)Pn (s)F (ρ)Snïîä÷èíÿþòñÿ ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ (1.7), ãäåP̃n (s) =èìå-è íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè; ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûZsρn1−21√ex 2πnγln Sx0 +nγ2Sn , n = 1, 2, · · · , N2nγdx,ãäåγ , ln(1 + σ 2 ∆), s > 0;0Gn (y) è G̃n (y) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèZ∞ K + y − s η(K − s)K − y − s η(K − s)Gn (y) =f+fdPn (s),ssss(iii) ôóíêöèè0Z∞ K − y − s η(K − s)K + y − s η(K − s)+fG̃n (y) =fdP̃n (s),ssss0f (ρ) = F 0 (ρ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ρn , ïðè÷åì x·f (x) →x→∞ 0,η(x) ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà;ãäåÒîãäà∀y > 0|GN (y) − G̃N (y)| → 0,ïðèN → ∞.Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîòåðü õåäæåðà ïðè ïðîâåäåíèèñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ áàçîâîãî àêòèâà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî.1.2.
Ìîäèôèêàöèÿ ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ðàáîòå [10] áûëà ïîëó÷åíà âåëè÷èíà ñðåäíèõ ïîòåðü õåäæåðà, èñïîëüçóþùåãî ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ, äëÿ äèñêðåòíî-ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëè êîòè-29ðîâêè áàçîâîãî àêòèâà, â ñëó÷àå íóëåâûõ òðàíçàêöèîííûõ âûïëàò.
Âìåñòå ñ òåì, â ñëó÷àå,êîãäà òðàíçàêöèîííûå âûïëàòû íå ðàâíû íóëþ, ó ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê: ïîòåðè õåäæåðà ñòàíîâÿòñÿ íåîïðàâäàííî âûñîêè ïðè ÷àñòûõ êîëåáàíèÿõ êóðñà áàçîâîãî àêòèâà îòíîñèòåëüíî öåíû ïîñòàâêè.
 ïðåäåëå,åñëè ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíóþ ïî âðåìåíè ìîäåëü, ïîòåðè õåäæåðà áóäóò ñòðåìèòñÿ êáåñêîíå÷íîñòè. Ýòî ñâÿçàíî ñî ñâîéñòâîì áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé çàäàííîãî óðîâíÿ òðàåêòîðèåé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà èëè ãåîìåòðè÷åñêîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, åñëèýòîò óðîâåíü áûë äîñòèãíóò. Äëÿ èçáåæàíèÿ ïîäîáíîãî ÿâëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùàÿñÿ âî ââåäåíèè ïîëîñûíå÷óâñòâèòåëüíîñòè õåäæà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäèôèöèðîâàííîé ñòðàòåãèåé õåäæåð áóäåòïîëíîñòüþ ïîêðûâàòü îïöèîííóþ ïîçèöèþ (ïîêóïàòü íåîáõîäèìûé îáúåì áàçîâîãî àêòèâà)ïðè ïåðåñå÷åíèè êóðñîì áàçîâîãî àêòèâà íåêîòîðîé ïîëîñû, ñîäåðæàùåé óðîâåíü öåíû ïîñòàâêè, â íàïðàâëåíèè ñíèçó ââåðõ. Ñîîòâåòñòâåííî, õåäæåð ïîëíîñòüþ ïðîäàåò àêöèè ïðèïåðåñå÷åíèè ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè òðàåêòîðèåé öåíû àêòèâà â íàïðàâëåíèè ñâåðõó âíèç. Äàííàÿ ìîäèôèêàöèè âïåðâûå áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [10], îäíàêî ïîäðîáíûéàíàëèç ìîäèôèêàöèè ðàíåå íå ïðîâîäèëñÿ.1.2.1.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëüÏóñòü öåíà ïîñòàâêè áàçîâîãî àêòèâà ðàâíàK . Îïðåäåëèì ìîäèôèöèðîâàííóþ ñòðàòåãèþïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿ ïîëíîå ïîêðûòèå îïöèîííîé ïîçèöèè, êîãäà ðûíî÷íàÿ öåíà áàçîâîãî àêòèâà ïðåâûøàåò óðîâåíüãäådK(1 + d), íåêîòîðîå çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå øèðèíå ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèõåäæèðîâàíèè. Ïðîäàæà àêòèâà áóäåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ïðè ïàäåíèè öåíû àêòèâà íèæå óðîâíÿK , ò.å. öåíû ïîñòàâêè, ýòî äîëæíî óáåðå÷ü õåäæåðà îò ïîòåðü ïðè äàëüíåéøåì âîçìîæíîìïàäåíèè öåíû àêòèâà. Ââåäåì ïîëîñó íå÷óâñòâèòåëüíîñòè õåäæàH , {(y, t) : y ∈ [K, K(1 + d)], t ∈ [0, T ]},ãäåT(1.9)- ñðîê, â òå÷åíèå êîòîðîãî îïöèîí ìîæåò áûòü èñïîëíåí.Ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî îäíîñòîðîííÿÿ ïîëîñà, ðàñïîëîæåííàÿ âûøå óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêèK. òå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà öåíà àêòèâà íèæå öåíû ïîñòàâêè, îïöèîí íå ìîæåòáûòü èñïîëíåí, òàê êàê ýòî ïðèâîäèò ê ïîòåðÿì ñî ñòîðîíû ïîäïèñ÷èêà îïöèîíà, à çíà÷èòîïöèîííàÿ ïîçèöèÿ äîëæíà îñòàâàòüñÿ îòêðûòîé, ÷òîáû èçáåæàòü ïîòåðü, ñâÿçàííûõ ñ âîçìîæíûì äàëüíåéøèì ïàäåíèåì öåíû àêòèâà.Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ ïîòåðü õåäæåðà ïðèìåì ìîäåëü öåíîîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîé30âñå îòíîñèòåëüíûå ïðèðàùåíèÿ öåíû àêòèâà çà ìàëîå âðåìÿ∆tÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, èìåþùèìè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåíóëåâûììàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è íåêîòîðîé êîíå÷íîé (âåñüìà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîéêóðñà) äèñïåðñèåé, ïðîïîðöèîíàëüíîé∆t.Óêàçàííûì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ñëó÷àéíûéïðîöåññ, ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿt ∈ [0, T ],dS(t) = S(t) (µdt + σdW (t)) ,ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìS(0) = S, ãäå W (t) - ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, Söåíà àêòèâà, íå ïðåâûøàþùàÿσ(1.10)K(îïöèîí ñ ïðîèãðûøåì),- ñòàðòîâàÿµ - êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ñíîñà,- âîëàòèëüíîñòü.
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.10) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññS(t) = S(0)eµt+σW (t) ,t ∈ [0, T ].(1.11)Ýòà ìîäåëü öåíîîáðàçîâàíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà Ï. Ñàìþýëüñîíîì â [80] â 1965 ãîäó. Îíàÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ìîäåëè, ïðåäëîæåííîé Ë. Áàøåëüå [53] â 1900 ãîäó. Ñâîéñòâà ïðîöåññàS(t)áóäóò ðàññìîòðåíû ïîçäíåå.Ïóñòüη+η− ÷èñëî ïåðåñå÷åíèé ïîëîñû (1.9) ñíèçó ââåðõ , àòîðèÿìè ïðîöåññà (1.11) çà âðåìÿíàñêâîçü òðàåêòîðèåé ïðîöåññà ñâåðõó âíèç, òðàåê-T .
Ïîä ïåðåñå÷åíèåì áóäåì ïîíèìàòü ïðîõîæäåíèå ïîëîñûS(t).Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóùóþñÿ ìîìåíòîì ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ òðàåêòîðèåé ïðîöåññàS(t)óðîâíÿτ1- ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ óðîâíÿÿâëÿþ-K:τ , min{t : S(t) = K}.Äàëåå, ïóñòüτ,(1.12)K(1 + d)òðàåêòîðèåé ïðîöåññàS(t),åñëè îíî ïðîèçîøëî, ò.å.τ1 , min{t : S(t) = K(1 + d), τ ≤ t ≤ T }.Åñëè ïåðåñå÷åíèå íå ïðîèçîøëî èëè óêàçàííûé âðåìåííîé èíòåðâàë ïóñò, òî ïîëàãàåìτ1 = T + 1.Ïàðà(τ, τ1 )òðàåêòîðèåé ïðîöåññàçàäàåò êîîðäèíàòû ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñíèçó ââåðõ ïîëîñûS(t). îáùåì ñëó÷àå, ìîìåíòi-ãîïåðåñå÷åíèÿ ïîëîñûHäåëÿòüñÿ âåëè÷èíîéτi =min{t : S(t) = K(1 + d), t ≤ T },min{t : S(t) = K(1 + d), τi−1 < t ≤ T },min{t : S(t) = K, τi−1 < t ≤ T },T + 1,31åñëèi = 1,åñëèi = 2m + 1,åñëèi = 2m,åñëè ïåðåñå÷åíèÿ íåò,Háóäåò îïðå-ãäåm = 1, 2, . .
..Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãîïåðåñå÷åíèÿ ïîëîñûHmïàðà(τ2m−1 , τ2m )m-ãîçàäàåò êîîðäèíàòûñâåðõó âíèç. Ïåðåñå÷åíèÿ ñíèçó ââåðõ áóäóò èìåòü íå÷åòíûé ïî-ðÿäêîâûé íîìåð, à ñâåðõó âíèç ÷åòíûé.Âåëè÷èíûη+èη−ñëó÷àéíû è çàâèñèìû. Êàæäîìó ïåðåñå÷åíèþ ñâåðõó âíèç äîëæíîïðåäøåñòâîâàòü ïåðåñå÷åíèå ñíèçó ââåðõ. Äëÿ êàæäîé ðåàëèçàöèèïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ðàâíûåη−èη − + 1.η−âåëè÷èíàρ− .θρ+ ,à ïðèÒîãäàρ− = −K,ρ+ = K(1 + d)(1 + θ),ãäåìîæåòÇàòðàòû õåäæåðà ïðè îäíîì ïåðåñå÷åíèè ñíèçóââåðõ, â ñëó÷àå åñëè îïöèîí íå áûë èñïîëíåí ïðåæäåâðåìåííî, îáîçíà÷èì êàêïåðåñå÷åíèè ñâåðõó âíèç êàêη+ êîìèññèîííûå èçäåðæêè ïðè ïîêóïêå àêòèâà.Óñòàíàâëèâàÿ íåíóëåâóþ øèðèíó ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè, õåäæåð ïðèíèìàåò íà ñåáÿ ðèñê, ñâÿçàííûé ñ èñïîëíåíèåì îïöèîíà â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ó õåäæåðà íåò íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà åäèíèö áàçîâîãî àêòèâà.
Ïîäïèñ÷èê ìîæåò èñïîëíèòü îïöèîí êàê ïðèäâèæåíèè êóðñà áàçîâîãî àêòèâà ââåðõ, ò.å. ïðè ïåðåñå÷åíèè ïîëîñûHñíèçó ââåðõ, òàê èïðè ïàäåíèè ðûíî÷íîé ñòîèìîñòè áàçîâîãî àêòèâà, ò.å. ïðè ïåðåñå÷åíèè ñâåðõó âíèç.Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî èñïîëíåíèå îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì, òî åñòåñòâåííîïðåäïîëîæèòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü èñïîëíåíèÿ îïöèîíà ïðè îòêðûòîé ïîçèöèè áóäåò âîçðàñòàòüñ ðîñòîì âåëè÷èíûd, ò.å. ñ ðîñòîì ìàêñèìàëüíîé ïîòåíöèàëüíîé âûðó÷êè ïîäïèñ÷èêà. Çàìå-òèì, ÷òî ïðè íóëåâîé øèðèíå ïîëîñû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èñïîëüçîâàíèþ ïðîñòîé ñòðàòåãèèïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ, èñïîëíåíèå îïöèîíà ïðè îòêðûòîé ïîçèöèè íåâîçìîæíî,ò.å.
âåðîÿòíîñòü äîñðî÷íîãî èñïîëíåíèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðèôèêñèðîâàííîì ïàðàìåòðådèñïîëíåíèå îïöèîíà äåðæàòåëåì ïðè êàæäîì ïåðåñå÷åíèè ïî-ëîñû, åñëè îïöèîí íå áûë èñïîëíåí ïðåæäå, ìîæåò ïðîèçîéòè ñ îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþp(d),ãäåp(·) : [0, ∞] → [0, 1],Ñëó÷àé, êîãäàd → ∞,ïðè ýòîìlim p(d) = 0, lim p(d) = 1, p(d)d→0d→∞ñòðîãî âîçðàñòàåò ïîd.ñîîòâåòñòâóåò îòñóòñòâèþ õåäæèðîâàíèÿ âîîáùå.Îïèñàííûì âûøå óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåìp(d) = 1 − e−λKd , λ > 0.(1.13)Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîp(0) = 0,lim p(d) = 1.d→∞Âûáîð ýêñïîíåíòû îáóñëîâëåí òåì, ÷òî îíà îáåñïå÷èâàåò äîñòàòî÷íî áûñòðûé ðîñò âåðîÿòíîñòè èñïîëíåíèÿ îïöèîíà ñ ðîñòîì ïîòåíöèàëüíîé âûðó÷êè ïîäïèñ÷èêà.
Ïàðàìåòð32λâðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ìîæåò áûòü îïðåäåëåí èç ýêîíîìè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Òàê, èñõîäÿ èç ðûíî÷íûõ îæèäàíèé, òåêóùåé îáñòàíîâêè è óñëîâèé îïöèîííîãî êîíòðàêòà, õåäæåðìîæåò îïðåäåëèòü öåíó àêòèâà, ïðè êîòîðîé îïöèîí áóäåò èñïîëíåí ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ(1 − α),ãäåα 1.Íà îñíîâàíèè ýòîãî ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå ðàçóìíîå çíà÷å-íèå øèðèíû ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè õåäæèðîâàíèÿdmax .Òîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðàλìîæåò áûòü íàéäåíî êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ1 − e−λKdmax = 1 − α,ò.å.λ=−ln α.Kdmax(1.14)Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíνi ,îïðåäåëåííóþ ñëåäó-þùèì îáðàçîì:νi1. ÑÂ2.3.ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 1,i = 1, 2, . .
.;P{ν(1 = 1} = p(d); )i−1PP νi = 1|νj = 0 = p(d), i > 1.Òî åñòü åñëè äëÿ ëþáîãîj = 1 :i−1ðåàëèçàöèèνjj=1ðàâíû 0, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî(4.Pνi = 0|i−1Pνi = 1,ðàâíàp(d);)νj = 1= 1, i > 1. Òî åñòü åñëè ñóùåñòâóåò jòàêîå, ÷òî1 ≤ j < i è νj = 1,j=1òîνi = 0ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.Òàêèì îáðàçîì, åñëè îïöèîí áûë èñïîëíåí íàáûë èñïîëíåí äîi-ãîïåðåñå÷åíèÿ, òîi-ìïåðåñå÷åíèè, òîνi = 1,åñëè æå îïöèîíνi = 0.Îïöèîí òàê æå ìîæåò èñïîëíåí â ñëó÷àå, êîãäà êóðñ áàçîâîãî àêòèâà íå ïåðåñåê ïîëîñóHçà âðåìÿT,à òîëüêî ïðåâûñèë óðîâåíü öåíû ïîñòàâêèK.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èñïîëíåíèåîïöèîíà â ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ âåðîÿòíîñòüþp(d). Áóäåì îïèñûâàòüèñïîëíåíèå îïöèîíà ïðè îòñòóòñòâèè ïåðåñå÷åíèé ïîëîñû íå÷óâñòâèòåëüíîñòè çà âðåìÿñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûóñïåõàν0 ,Tðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþp(d):P{ν0 = 1} = p(d).Çàäàâ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíîïöèîí íå áûë èñïîëíåí äîj -ãîνiìû ìîæåì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîïåðåñå÷åíèÿ âêëþ÷èòåëüíî.
Ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíàP{ν1 = 0, . . . , νj = 0} = (1 − p(d))j .Åñëè îïöèîí èñïîëíÿåòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ñíèçó ââåðõ, òî÷íûé ìîìåíò èñïîëíåíèÿ çàðàíåå íåèçâåñòåí è õåäæåð íå èìååò íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà åäèíèö áàçîâîãî àêòèâà, à33çíà÷èò öåíà áàçîâîãî àêòèâà â ìîìåíò èñïîëíåíèÿ ñëó÷àéíà è ðàâíàâåëè÷èíà, ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿâîçðàñòàåò íà îòðåçêåìó, ðàâíóþâåëè÷èíûèFζ (·)ñòðîãîÄëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ îïðåäåëèì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîéÎ÷åâèäíî, ÷òî ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî îïöèîí áóäåò èñïîëíåí ïðèïåðåñå÷åíèè ïîëîñûùåéFζ (0) = 0, Fζ (Kd) = 1,òàêîé, ÷òî- ñëó÷àéíàÿ[0, Kd].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
