Диссертация (786344), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïîñëåäîâàòåëüíîå õåäæèðîâàíèåÑòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëíîì ïîêðûòèè îïöèîííîé ïîçèöèè (ò.å. ïðèîáðåòåíèè áàçîâîãî àêòèâà â ïîëíîì îáúåìå) ïðè ïåðåõîäå ñîñòîÿíèÿîïöèîíà îò ïðîèãðûøà ê âûèãðûøó, ò.å. ïðè ïðåâûøåíèè öåíîé áàçîâîãî àêòèâà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, ïðè îáðàòíîì ïåðåõîäå õåäæåð ïîëíîñòüþ ïðîäàåò âñå àêòèâû â õåäæèðóþùåìïîðòôåëå (îòêðûâàåò îïöèîííóþ ïîçèöèþ), ÷òîáû èçáåæàòü ïîòåðü ñâÿçàííûõ ñ äàëüíåéøèìâîçìîæíûì ïàäåíèåì ñòîèìîñòè. Äëÿ ïîêóïêè àêòèâîâ õåäæåðîì èñïîëüçóþòñÿ çàèìñòâîâàííûå ôîíäû.Ñòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì è ýôôåêòèâíûì ïðàâèëîì óïðàâëåíèÿ õåäæèðóþùèì ïîðòôåëåì ïðîäàâöîì êîëë-îïöèîíà.
Âïåðâûå ñòðàòåãèÿ áûëà îïèñàíà â [82], ãäå ïîëó÷èëà íàçâàíèå stop-loss start-gain strategy (ñòðàòåãèÿ îñòàíîâêèïîòåðü è íà÷àëà âûèãðûøåé).  Ðîññèè äàííàÿ ñòðàòåãèÿ âïåðâûå èññëåäîâàëàñü Áóðåíèíûìâ [6] è [7], ãäå ïîëó÷èëà íàçâàíèå ñòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ.  [10] äëÿäèñêðåòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷åíî çíà÷åíèå ñðåäíèõ ïîòåðüïðîäàâöà àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà òèïà êîëë, èñïîëüçóþùåãî ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãîõåäæèðîâàíèÿ.23Ïðè èñïîëüçîâàíèè õåäæåðîì ìîäåëåé, îïèñàííûõ ðàíåå, õåäæåð ìîæåò ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ôîðìóëó öåíû îïöèîíà, âûáðàííóþ â çàâèñèìîñòè îò ïðèíÿòîé öåíîâîé ìîäåëè, ïîèíòåðåñóùåìó åãî ïàðàìåòðó (íàïðèìåð âîëàòèëüíîñòè) è ïðèðàâíÿòü ïðîèçâîäíóþ ê íóëþ,ïîäîáðàâ ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû õåäæà.
Òåì ñàìûì õåäæåð áóäåò ñòðàõîâàòü ñâîéïîðòôåëü îò êîëåáàíèé âûáðàííîãî ïàðàìåòðà ìîäåëè. Òàêîé ïîäõîä íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûìïîêðûòèåì.Ïðåèìóùåñòâî ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ïåðåä ÷àñòè÷íûì ïîêðûòèåì çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðàòåãèè ÷àñòè÷íîãî ïîêðûòèÿ ñòðàõóþò ïîðòôåëü õåäæåðà îòêîëåáàíèé òîëüêî îäíîãî ïàðàìåòðà, êðîìå òîãî, äëÿ ðåàëèçàöèè ýòèõ ñòðàòåãèé òðåáóåòñÿïîñòîÿííàÿ ïåðåáàëàíñèðîâêà ïîðòôåëÿ, â òî âðåìÿ êàê ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ïåðåáàëàíñèðîâêà ïðîèñõîäèò òîëüêî â ìîìåíòû ïåðåñå÷åíèÿêóðñîì àêòèâà óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè áàçîâîãî àêòèâà, è äëÿ åå îñóùåñòâëåíèÿ íå òðåáóåòñÿòðóäîåìêèõ âû÷èñëåíèé îáúåìà âëîæåíèé â ðèñêîâûé àêòèâ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè.1.1.1.
Äîêàçàòåëüñòâî íåñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ñòðàòåãèè ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ìîäåëè öåíû àêöèè áàçîâîãî àêòèâà ñòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãîõåäæèðîâàíèÿ ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé, ò.å. íå òðåáóþùåé äîïîëíèòåëüíûõ èíâåñòèöèé, îäíàêî Ï. Êàðð [56] äîêàçàë íåñàìîôèíàíñèðóåìîñòü ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãîõåäæèðîâàíèÿ è âûâåë ñ ïîìîùüþ ýòîé ñòðàòåãèè íîâóþ ôîðìóëó äëÿ îöåíêè åâðîïåéñêîãî êîëë-îïöèîíà, ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëå Áëýêà-Øîóëñà. Ïóñòü èçìåíåíèå öåíû áàçîâîãîàêòèâà îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì, îïðåäåëÿåìûì ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:dS(t) = [µdt + σdW (t)]S(t),S(0) = S.À ñòîèìîñòü áåçðèñêîâîãî àêòèâà â ìîìåíò âðåìåíètðàâíàB(t) = e−r(T −t) ,ãäår áåçðèñêîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà.Êàê è ðàíåå, õåäæèðóþùèé ïîðòôåëü â ìîìåíò âðåìåíèáàçîâîãî àêòèâà èìîìåíò âðåìåíètm(t)táóäåò ñîñòîÿòü èçn(t)àêöèéáåçðèñêîâûõ öåííûõ áóìàã. Ñòîèìîñòü õåäæèðóþùåãî ïîðòôåëÿ âðàâíàV (t) = n(t)S(t) + m(t)B(t),24(1.1)ãäå, ñîãëàñíî ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ,m(t) = −I{S(t) > KB(t)}K,n(t) = I{S(t) > KB(t)},t ∈ [0, T ].äëÿ âñåõÄëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèì, ÷òî äëÿ îïöèîíà áåç âûèãðûøà ïîçèöèÿ ïîäïèñ÷èêà îïöèîíàîñòàåòñÿ îòêðûòîé.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿïîðòôåëÿ â ìîìåíò âðåìåíèíåíèÿKè ñðîêîì ïîñòàâêèm(t)èn(t)â (1.1) è ïîëó÷èì, ÷òî ñòîèìîñòüt ðàâíà íèæíåé ãðàíèöå ñòîèìîñòè êîëë-îïöèîíà ñ öåíîé èñïîëT:V (t) = −I{S(t) > KB(t)}KB(t) + I{S(t) > KB(t)}S(t) = max{0, S(t) − KB(t)}, .äëÿ âñåõt ∈ [0, T ].ÏîñêîëüêóB(T ) = 1íà ìîìåíò âðåìåíèTõåäæèðóþùèé ïîðòôåëüêîïèðóåò âûïëàòû êîëë-îïöèîíà:V (T ) = max{0, S(T ) − K}.Ñòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ áûëà áû ñàìîôèíàíñèðóåìîé, åñëè áû âûïîëíÿëîñü óñëîâèåZtV (t) = V (0) +Ztm(v) dB(v) +0èëèV (t)V (0)=+B(t)B(0)n(v) dS(v)0Ztn(v)dS(v)B(v),0äëÿ âñåõÏóñòüt ∈ [0, T ].F (t) =S(t)B(t)= S(t)ert ôîðâàðäíàÿ öåíà àêòèâà. Èñïîëüçóÿ ýòî îáîçíà÷åíèå, óñëî-âèå ñàìîôèíàíñèðîâàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü êàêZtmax{0, F (t) − K} = max{0, F (0) − K} +I{F (v) > K}dF (v).0Àðáèòðàæíàÿ âîçìîæíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, íå òðåáóþùàÿíà÷àëüíûõ èíâåñòèöèé, íå äîïóñêàþùàÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ èîáåñïå÷èâàþùàÿ íåêîòîðóþ íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ âûïëàò:1)V (0) = 0;2)P{V (T ) ≥ 0} = 1;3)P{V (T ) > 0} > 0.Åñëè ðàññìîòðåòü ñòîèìîñòü õåäæèðóþùåãî ïîðòôåëÿ ïðè ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãîõåäæèðîâàíèÿ äëÿ îïöèîíà, ñòàðòóþùèé ñ ïðîèãðûøåì èëè áåç âûèãðûøà, òî îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåì óñëîâèÿì àðáèòðàæíîé âîçìîæíîñòè è êàæåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé.
Îäíàêî,25â ðàìêàõ ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà àðáèòðàæíîé âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàòü íå äîëæíî. Ðàçðåøåíèå ýòîãî ïàðàäîêñà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äàííàÿ ñòðàòåãèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé. Äåéñòâèòåëüíî, ôîðâàðäíàÿ öåíà àêòèâà èìååò ðàçðûâíóþ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ.Îäíàêî îáîáùåííàÿ ôîðìà ëåììû Èòî [71] èìååò ìåñòî äëÿ âûïóêëûõ ôóíêöèé, êîòîðûå íåîáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûìè:Ztg(F (t)) = g(F (0)) +Z∞−D g(F (v))dF (v) +Λt (y)µ(dy),(1.2)−∞0ãäåg(y) − g(y − ε)ε→0+εD− g(y) = limÿâëÿåòñÿ ëåâîé ïðîèçâîäíîéïîëó÷èìg , µ(a, b) = D− g(b) − D− g(a).D− g(y) = I{y > K}.Ïîëàãàÿg(y) = max{0, y − K},Ïîäñòàâíîâêà ýòîé ôóíêöèè â (1.2) äàåò ôîðìóëó Òàíàêà-Ìåéåðà [71]:Ztmax{0, F (t) − K} = max{0, F (0) − K} +I{F (v) > K}dF (t) + Λt (K).(1.3)0Áåç ó÷åòà ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî, óðàâíåíèå (1.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðîâàíèÿ.
Îäíàêî, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïîëîæèòåëüíî ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ äëÿ ëþáîãît.Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðîâàíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ.Ñòðàòåãèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé èç-çà äî-ïîëíèòåëüíîãî ÷ëåíà â îáîáùåííîé ôîðìå ëåììû Èòî. Ýòîò äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí îòëè÷åíîò íóëÿ áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ïåðåñåêàåò óðîâåíü öåíûïîñòàâêè (â ñëó÷àå åãî äîñòèæåíèÿ) áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç.
Êàê òîëüêî öåíà àêòèâà äîñòèãàåòöåíû ïîñòàâêè, îíà áåñêîíå÷íî ÷àñòî âîçâðàùàåòñÿ ê äàííîìó óðîâíþ íà ëþáîì ïîñëåäóþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè, íåçàâèñèìî îò åãî ïðîäîëæèòåëüíîñòè. Êàæäûé ðàç ïðè âîçâðàùåíèè öåíû àêòèâà èíâåñòîð äîëæåí ïðèíÿòü ðåøåíèå: äåðæàòü ëè ïîçèöèþ îòêðûòîé èëè íåò.Åñëè îí ðåøàåò äåðæàòü ïîçèöèþ îòêðûòîé, òî òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ôèíàíñèðîâàíèå âñëó÷àå ïîñëåäóþùåãî ðîñòà öåíû, åñëè ðåøàåò äåðæàòü çàêðûòîé òî èíâåñòîð íåñåò ïîòåðèâ ñëó÷àå ïàäåíèÿ öåíû. Âåëè÷èíà äîïîëíèòåëüíûõ çàòðàò íà ìîìåíò âðåìåíèÂåëè÷èíàΛt (x)tðàâíàΛt (x).ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîìó âðåìåíè ïðîöåññà öåíîîáðàçîâàíèÿ íà óðîâíåìîìåíòó âðåìåíèxêt.Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ëîêàëüíîãî âðåìåíè, Ï.
Êàðð ïîëó÷èë íîâîå ïðåäñòàâëåíèå ñòîèìîñòèåâðîïåéñêîãî êîëë-îïöèîíà â ðàìêàõ ìîäåëè Áëýêà-Øîóëñà:C(0) = max(0, S − KB(0)) + B(0)M[Λt (K)],26(1.4)ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ âíóòðåííåé ñòîèìîñòüþ îïöèîíà, òî åñòü âûïëàòîé ïî îïöèîíó åñëè ñðîê èñïîëíåíèÿ áûë áû ðàâåí íóëþ. Âòîðîå ñëàãàåìîå íàçûâàåòñÿâðåìåííîé ñòîèìîñòüþ îïöèîíà, ò.å äîïîëíèòåëüíîé ïëàòîé çà âðåìåííîé ðèñê ïîäïèñ÷èêà.Èç ôîðìóëû (1.4) ñëåäóåò, ÷òî âðåìåííàÿ öåíà îïöèîíà åñòü òåêóùåå çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ åãî ëîêàëüíîãî âðåìåíè. Îíà òàêæå ÿâëÿåòñÿ îæèäàåìîé âåëè÷èíîé âíåøíåãî ôèíàíñèðîâàíèÿ ñòðàòåãèè. ñâîåé ðàáîòå Ï.
Êàðð ïîêàçàë, ÷òî îæèäàåìîå ëîêàëüíîå âðåìÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàêσ2K 2M[Λt (K)] =2ZT1√ Φ0σK tln(F (0)/K) − σ 2 t/2√dt,σ t0ãäåΦ0 (x) =2e−x /2√.2πÏîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â (1.4) äàåò íîâóþ îöåíêó ïðåìèè çà îïöèîíσKC(0) = max(0, S − Ke−rT ) + erT2ZT1√ Φ0tln(S/Ke−rT ) − σ 2 t/2√σ tdt(1.5)0Ýòî ðàçëîæåíèå ýêâèâàëåíòíî ôîðìóëå Áëýêà-Øîóëñà (4).
×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, âûïèøåìôîðìóëó Áëýêà-Øîóëñà êàê ÿâíóþ ôóíêöèþ âîëàòèëüíîñòèσ:C(σ) = S0 Φ(d1 (σ)) − Ke−rT Φ(d2 (σ)),ãäåd1 (σ) , lnS0Ke−rT+σ2 T2. √√σ T , d2 (σ) , d1 (σ) − σ( T ).Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âîëàòèëüíîñòè äàåò√C 0 (σ) = Ke−rT Φ0 (d2 (σ)) T .Îáðàòíî, èíòåãðèðóÿ ïî âîëòàëüíîñòè, ïîëó÷èìC(σ) = Ke−rTZσ√Φ0 (d2 (η)) T dη + max(0, S − Ke−rT ).(1.6)0Èñïîëüçóÿ çàìåíót = (T /σ 2 )η 2 ,ïîëó÷èì âûðàæåíèå (1.5).Ýòà ñòðàòåãèÿ ìîæåò òàêæå ïðèìåíÿòüñÿ ê äðóãèì ñòîõàñòè÷åñêèì ïðîöåññàì. Äëÿ íåïðåðûâíûõ ïðîöåññîâ, îòëè÷íûõ ãåîìåòðè÷åñêîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîùå ðàáîòàòü ñ ñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïî âðåìåíè, àíàëîãè÷íûì (1.5), ÷åì ñ íåñîáñòâåííûìïðîñòðàíñòâåííûì èíòåãðàëîì, àíàëîãè÷íûì (1.6).271.1.2. Ñðåäíèå ïîòåðè ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ ðàáîòå Â.
È. Ãóáåðíèåâà è À. È. Êèáçóíà [10] áûë ïðîèçâåäåí ðàñ÷åò ñðåäíèõ ïîòåðüõåäæåðà, èñïîëüçóþùåãî ñòðàòåãèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ àêöèé áàçîâîãî àêòèâà.Ïðèìåì ìîäåëü öåíîîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîé îòíîñèòåëüíûå ïðèðàùåíèÿ öåíû àêöèéρnÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíìè âåëè÷èíàìè, èìåþùèìè íåêîòîðîåàáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è íåêîòîðîéêîíå÷íîé (âåñüìà ìàëîé ïî ñðàâíåíèèþ ñ âåëè÷èíîé êóðñà) äèñïåðñèåéTnêðàéíèé ñðîê ïîñòàâêè, ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåðâàëà[0, T ], ∆σ 2 ∆,ãäå∆ = T /N , øàã äèñêðåòèçàöèè.Òàêèì îáðàçîìρn ∼ F (ρ),n = 1, 2, · · · , N,ïðè ýòîì ìîäåëü êîòèðîâêè áàçîâîãî àêòèâà áóäåò ñëåäóþùåé:Sn = Sn−1 (1 + ρn ) = S0 ·nY(1 + ρk ),n = 1, 2, · · · , N.(1.7)k=1 ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðàòåãèåé ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ, â ìîìåíò âðåìåíèSn1 −1 ≤ K < Sn1ïîð, ïîêàýìèòåíò ïîêóïàåòSn > K .àêöèé ïî öåíå ìîìåíòn2 ,Mêîãäààêöèé áàçîâîãî àêòèâà ïî öåíåSn2 −1 > K ≥ Sn2 ,Sn1n1 ,êîãäàè äåðæèò èõ äî òåõõåäæåð ïðîäàåò êóïëåííûå ðàíååMSn2 . ñòàòüå áûë ðåøåí ñëåäóþùèé âîïðîñ: êàêîâû áóäóò îæèäàåìûå çàòðàòû õåäæåðà ïðèïðîâåäåíèè ñòðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíîãî õåäæèðîâàíèÿ äëÿ âûáðàííîé ìîäåëè êîòèðîâêèáàçîâîãî àêòèâà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Ò å î ð å ì à 1 ( [10]).Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(i) Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûþò ðàñïðåäåëåíèå(ii)Pn (s)F (ρ)Snïîä÷èíÿþòñÿ ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ (1.7), ãäå(iii) Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàLN =LNNXn=1Gn (y)èìå-è íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè; ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû(iv) Ôóíêöèÿρnln ,Sn , n = 1, 2, · · · , N ;îïðåäåëÿåò ïîòåðè õåäæåðà è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìãäå ln=Sn ,−Sn ,0,åñëèSn−1 ≤ K < SnåñëèSn−1 > K ≥ Snâ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõîïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìZ∞ K − y − s η(K − s)K + y − s η(K − s)+fdPn (s),Gn (y) =fssss028f (ρ) = F 0 (ρ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ρn , ïðè÷åì x·f (x) →x→∞ 0,η(x) ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà;òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû LN âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåN Z∞XM[LN ] =Gn−1 (y)ydy.(1.8)ãäån=1 0Çàìå÷àíèå 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
