Диссертация (786344), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Åñëèi < 2k ∗ (ϕ),òî åñòü ïðîèçîøëî ñëèøêîì ìàëî ïåðåñå÷åíèé, òîPϕ (d, i, t0 ) = 1.2. Åñëèi = 2k ∗ (ϕ),(2.18)òîPϕ (d, i, t0 ) = 1 − (1 − p(d))2k∗ (ϕ)+ (1 − p(d))2k∗ (ϕ)P{S(T ) ≤ ϕ∗ |S(t0 ) = K}.P{S(T ) ≤ K(1 + d)|S(t0 ) = K}(2.19)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îïöèîí áûë èñïîëíåí äî ïåðåñå÷åíèÿñ íîìåðîì2k ∗ (ϕ)âêëþ÷èòåëüíî. Âòîðîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îï-öèîí íå áûë èñïîëíåí ïðåæäåâðåìåííî, à ðûíî÷íàÿ öåíà àêòèâà â ìîìåíò âðåìåíèϕ∗ ,ëèáî âûøå óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè, íî íèæåTáûëàè îïöèîí áûë èñïîëíåí, ëèáî öåíà àêòèâàîêàçàëàñü íèæå óðîâíÿ öåíû ïîñòàâêè è îïöèîí èñïîëíåí íå áûë. Âåðîÿòíîñòü â çíàìåíàòåëå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî íå ïðîèçîøëî åùå îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñíèçó ââåðõ, ò.å.
îáùåå÷èñëî ïåðåñå÷åíèé îñòàëîñü ÷åòíûì.3. Åñëèi ≥ 2k ∗ (ϕ) + 1,òîPϕ (d, i, t0 ) = 1 − (1 − p(d))2k∗ (ϕ)+ (1 − p(d))2k∗ (ϕ)p(d)Fζ (ϕ∗ − K).(2.20)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îïöèîí áûë èñïîëíåí äî ïåðåñå÷åíèÿ ñíîìåðîì2k ∗ (ϕ) âêëþ÷èòåëüíî. Âòîðîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îïöèîíáûë èñïîëíåí íà ïåðåñå÷åíèè ñ íîìåðîìñóììàðíûå ïîòåðè íå ïðåâûñèëè2k ∗ (ϕ) + 1,è öåíà èñïîëíåíèÿ áûëà òàêîâà, ÷òîϕ.Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèèPϕ (d, i, t0 )ÿâëÿþòñÿ ðàçðûâíûìè ïîϕâ òî÷êàõϕj =j(ρ+ + ρ− ), äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k , à çíà÷èò è ôóíêöèÿ Pϕ (d) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðàçðûâíîéâ òî÷êàõϕj , j = 1, 2, ...,â ñèëó ñîîòíîøåíèé (2.12) è (2.13). Òåì íå ìåíåå, ìîæíî íåïîñðåä-ñòâåííî âû÷èñëèòü ëåâûå è ïðàâûå ïðåäåëû ôóíêöèéPϕ+j (d, i, t0 ) ,Pϕ−j (d, i, t0 ) ,Pϕ (d, i, t0 )â ýòèõ òî÷êàõ.
Îáîçíà÷èìlim Pϕ (d, i, t0 ),ϕ→ϕj +0lim Pϕ (d, i, t0 ).ϕ→ϕj −0ϕ = ϕj + 0, òî ïî ôîðìóëå (2.17) ïîëó÷àåì k ∗ (ϕ) = j , à çíà÷èò1,Pϕ+j (d, i, t0 ) = 1 − (1 − p(d))2i + (1 − p(d))2i P{S(T )≤K|S(t0 )=K} ,P{S(T )≤K(1+d)|S(t0 )=K}1 − (1 − p(d))2i ,Åñëè56ïðàâûå ïðåäåëû ðàâíû:ïðèi < 2j;ïðèi = 2j;ïðèi ≥ 2j + 1.(2.21)Àíàëîãè÷íî, ïðèϕ = ϕj − 0ïîëó÷àåìPϕ−j (d, i, t0 ) =Pϕ (d, i, t0 )Ôóíêöèèk ∗ (ϕ) = j − 1,è ëåâûå ïðåäåëû ðàâíû:1,ïðè1 − (1 − p(d))2i−1 ,ïðèi ≤ 2j − 2;(2.22)i ≥ 2j − 1.íåïðåðûâíû ñïðàâà è íåóáûâàþò ïîϕ. ñèëó (2.17)-(2.20) è òîãî,÷òî ôóíêöèÿFζ (·)âîçðàñòàåò ïîϕ ïðè ϕ ∈ (j(ρ+ +ρ− ), (j +1)(ρ+ +ρ− )], ãäå j ïðèíèìàåò öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿîò0äî[ 2i ].ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, äëÿ ëþáîãîÔóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, ðàâíîåρ− ); j(ρ+ + ρ− ) + Kθ),ãäåj = 0, 1, · · · , [ 2i ].À òàêæåÈç ñîîòíîøåíèÿ (2.16) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿâàþùåé ïîi > 0ϕôóíêöèåé.
Ðàçðûâû ôóíêöèèPϕ−j (d, i)ïðèPϕ (d, i, t0 )ïðèñòðîãîϕ ∈ [j(ρ+ +ϕ > ([ 2i ] + 1)(ρ+ + ρ− ).Pϕ (d, i) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ñïðàâà íåóáûáóäóò ïðîèñõîäèòü òàêæå â òî÷êàõPϕ (d, i)ZT,Pϕ+j (d, i, t0 ),Pϕ (d, i, t0 ) = 1Pϕ (d, i)Îáîçíà÷èì ëåâûå è ïðàâûå ïðåäåëû ôóíêöèèôóíêöèÿlim Pϕ (d, i) =ϕ→ϕj −0ϕj .â ýòèõ òî÷êàõ êàêPϕ−j (d, i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 ,(2.23)Pϕ+j (d, i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 .(2.24)0Pϕ+j (d, i) ,ZTlim Pϕ (d, i) =ϕ→ϕj +00Àíàëîãè÷íî, èç ñîîòíîøåíèé (2.12) è (2.13) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ áåçóñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿPϕ (d)ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ñïðàâà íåóáûâàþùåé ïîPϕ (d)áóäóò ïðîèñõîäèòü òàêæå â òî÷êàõPϕ (d)â ýòèõ òî÷êàõ êàêϕj .ϕôóíêöèåé.
Ðàçðûâû ôóíêöèèÎáîçíà÷èì ëåâûå è ïðàâûå ïðåäåëû ôóíêöèèTPϕ−j (d),lim Pϕ (d) = 1 − Fτ (T, S, K) +ϕ→ϕj −0∞ ZXPϕ−j (d, i, t0 )P (i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 ,(2.25)Pϕ+j (d, i, t0 )P (i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 .(2.26)i=0 0TPϕ+j (d),lim Pϕ (d) = 1 − Fτ (T, S, K) +ϕ→ϕj +0∞ ZXi=0 02.2.2. Êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðàÏîñêîëüêó íàì èçâåñòíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ïîòåðü õåäæåðà, ìû ìîæåìíàéòè êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû (2.9):ϕα (d) , min{ϕ : Pϕ (d) ≥ α}, α ∈ (0; 1).Êâàíòèëüϕα (d)õàðàêòåðèçóåò ïîðîã, êîòîðûé ñóììàðíûå çàòðàòû íà õåäæèðîâàíèå íå ïðå-âûñÿò ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþα.57ÔóíêöèÿPϕ (d)ðàçðûâíà â òî÷êàõϕj = j(ρ+ + ρ− ),à çíà÷åíèÿ ïðåäåëîâ ñïðàâà è ñëåâàâû÷èñëÿþòñÿ ñîãëàñíî (2.25) è (2.26). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñóùåñòâóåò öåëîå÷òî ïðè çàäàííîìm(ρ+ + ρ− ).αâûïîëíÿåòñÿPϕ−m (d) < α ≤ Pϕ+m (d), ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåòm > 0èñêîìàÿ êâàíòèëü áóäåò ïðèíàäëåæàòü èíòåðâàëóêîòîðîì ôóíêöèÿm>0òàêîå,ϕα (d)ðàâíàòî èñêîìàÿ êâàíòèëüòàêîå, ÷òîPϕ+m (d) < α ≤ Pϕ−m+1 (d)(m(ρ+ + ρ− ) + Kθ; (m + 1)(ρ+ + ρ− )),èíàPϕ (d) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé.
 ýòîì ñëó÷àå êâàíòèëü ìîæåò áûòüîïðåäåëåíà êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿPϕ (d) = αïî(2.27)ϕ íà èíòåðâàëå (m(ρ+ +ρ− )+Kθ; (m+1)(ρ+ +ρ− )). Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Pϕ (d) íå ìîæåò áûòüâû÷èñëåíà òî÷íî â ñèëó íåîáõîäèìîñòè ñóììèðîâàíèÿ áåñêîíå÷íîãî ðÿäà, äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.27) íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííûå àëãîðèòìû, óñòîé÷èâûå ê ïîãðåøíîñòÿì âîâõîäíûõ äàííûõ. Ê òàêèì ìåòîäàì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ìåòîä äèõîòîìèè ( [40], [1]). Îäíàêî,åñëè íåò íåîáõîäèìîñòè â ïîëó÷åíèè òî÷íîãî çíà÷åíèÿ êâàíòèëè, òî ìîæåò áûòü ïðåäëîæåíïðîñòîé ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ àëãîðèòì îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîé êâàíòèëè.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êâàíòèëè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðà ïðè èçâåñòíîì÷èñëå ïåðåñå÷åíèé. Îïðåäåëèì êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëîñóììàðíîiïåðåñå÷åíèé, ñëåäóþùèì îáðàçîì:ϕα (d, i) , min{ϕ : Pϕ (d, i) ≥ α}. ñèëó òîãî, ÷òî ôóíêöèèϕα (d, i)íå óáûâàþò ïîPϕ (d, i)íå âîçðàñòàþò ïîi(2.28)ϕïðè ôèêñèðîâàííûõèd,âåëè÷èíûi.Êâàíòèëè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü ìîãóò âû÷èñëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Êàêáûëî ïîêàçàíî ðàíåå, ôóíêöèè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿj(ρ+ + ρ− ),Pϕ (d, i)ðàçðûâíû â òî÷êàõϕj =à çíà÷åíèÿ ïðåäåëîâ ñïðàâà è ñëåâà âû÷èñëÿþòñÿ ñîãëàñíî (2.23) è (2.24).Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñóùåñòâóåò öåëîåPϕ−m (d, i) < α ≤ Pϕ+m (d, i),m > 0òàêîå, ÷òî ïðè çàäàííîìòî èñêîìàÿ óñëîâíàÿ êâàíòèëü ðàâíàïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåòm>0òàêîå, ÷òîíàÿ êâàíòèëü ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëóαâûïîëíÿåòñÿϕα (d, i) = m(ρ+ + ρ− ).Pϕ+m (d, i) < α ≤ Pϕ−m+1 (d, i)Âè èñêîìàÿ óñëîâ-(m(ρ+ + ρ− ) + Kθ; (m + 1)(ρ+ + ρ− )). ýòîì ñëó÷àå,ñîãëàñíî (2.17), ïîëó÷àåìk ∗ (ϕα (d, i)) = m, ϕ∗ =Åñëèϕα (d, i) + K − m(ρ+ + ρ− ).1+θi = 2m, òî ñ ó÷åòîì (2.16) è (2.19) èñêîìàÿ óñëîâíàÿ êâàíòèëü îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèåóðàâíåíèÿ1 − (1 − p(d))2m + (1 − p(d))2m58P{S(T ) ≤ ϕ∗ }= α.P{S(T ) ≤ K(1 + d)}Åñëèi > 2m,òî ñ ó÷åòîì (2.16) è (2.20) èñêîìàÿ óñëîâíàÿ êâàíòèëü ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ1 − (1 − p(d))2m + (1 − p(d))2m p(d)Fζ (ϕ∗ − K) = α.Òàêèì îáðàçîì, óñëîâíàÿ êâàíòèëü (2.28) ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà.
Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ñîîòíîøåíèé (2.18)(2.20), ôóíêöèè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåðü õåäæåðà íå âîçðàñòàþò ïîi,åñëèp(d)Fζ (ϕ∗ − K) ≤P{S(T ) ≤ ϕ∗ }.P{S(T ) ≤ K(1 + d)}(2.29)Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.29), âåëè÷èíû óñëîâíûõ êâàíòèëåéóáûâàþò ïîi.ϕα (d, i)íåÏðè ýòîìTPϕα (d,0) (d) = 1 − Fτ (T, S, K) +∞ ZXPϕα (d,0) (d, i, t0 )P (i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 ≤ 1 − Fτ (T, S, K)+i=0 0T∞ ZXZTPϕα (d,0) (d, i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0i=0 0P (i, t0 )fτ (t0 , S, K)dt0 =01 − Fτ (T, S, K) +∞XPϕα (d,0) (d, i)P (i) + (P (0) − Fτ (T, S, K)) Pϕα (d,0) (d, 0) ≤i=11 − Fτ (T, S, K) +∞XPϕα (d,0) (d, i)P (i) ≤ 1 − Fτ (T, S, K) +i=0∞XαP (i) = 1 − Fτ (T, S, K) + α.i=0Èç ïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé è ôîðìóëû (2.13) ñëåäóåò, ÷òî áåçóñëîâíàÿ êâàíòèëüðàâíà íóëþ ïðèα ≤ 1 − Fτ (T, S, K).ϕα (d)Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþβ , α + Fτ (T, S, K) − 1.(2.30) ñèëó ïðèâåäåííîé âûøå öåïî÷êè íåðàâåíñòâ ñ ó÷åòîì (2.30) ïîëó÷àåì, ÷òîPϕβ (d,0) (d) ≤ α.Ïîñêîëüêó âåëè÷èíûϕα (d, i)íåîãðàíè÷åíû ñâåðõó, òî ñóùåñòâóåòm>0òàêîå, ÷òîPϕβ (d,m) (d) ≥ αPϕβ (d,m−1) (d) ≤ α.Âåëè÷èíûϕβ (d, m − 1)áåçóñëîâíîé êâàíòèëèèϕβ (d, m)ϕα (d).ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êàê íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ îöåíêèÎáîçíà÷èì èõ êàêϕ−α = ϕβ (d, m − 1),ϕ+α = ϕβ (d, m).59Îòðåçîê[ϕβ (d, m−1), ϕβ (d, m)] âñåãäà áóäåò ñîäåðæàòü îäíó èëè äâå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèèPϕ (d), ÷òî ìîæåò âûçâàòü äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè ïðè äàëüíåéøåì îöåíèâàíèè êâàíòèëè.Åñëè îòðåçîê ñîäåðæèò äâå òî÷êè ðàçðûâà, ò.å.
åñëè ñóùåñòâóåòj>0òàêîå, ÷òîϕβ (d, m − 1) = j(ρ+ + ρ− ),ϕβ (d, m) = (j + 1)(ρ+ + ρ− ),òî âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:1. ÅñëèPϕ−j+1 (d) < α,òîãäà ïîëîæèì+−ϕ−α = j(ρ + ρ ) + Kθ,2. ÅñëèPϕ−j+1 (d) > α,è+−ϕ+α = (j + 1)(ρ + ρ ).(2.31)òîãäà ïîëîæèìϕα (d) = j(ρ+ + ρ− ). ïåðâîì ñëó÷àå èñêîìàÿ êâàíòèëü áóäåò ïðèíàäëåæàòü èíòåðâàëó(2.32)+(ϕ−α ; ϕα ), âî âòîðîì ñëó÷àåçíà÷åíèå êâàíòèëè îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íî.Åñëè æå îòðåçîêj > 0òàêîå, ÷òî[ϕβ (d, m − 1), ϕβ (d, m)]ϕβ (d, m − 1) ≤ ϕj ≤ ϕβ (d, m),îïðåäåëÿþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
