Диссертация (781854), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Сказанное можнонаглядно пояснить следующей аналогией. Если на нагретую плиту с температурой T 0 > TS ( Ts – температура насыщения) плеснуть водой, то в момент попа-232дания жидкости на поверхность плиты температура последней изменится скачком от T 0 до TS .При kc  k  0 получим решение, приведенное в [91].5.6. Точное решение уравнений кинетикиПриведенное в п. 5.6 решение изложено в [75,84].В ряде работ, посвященных кинетике реактора, например [267,195,33],приближенно решена система уравнений кинетики с учетом одной средневзвешенной группы запаздывающих нейтронов при линейном во времени вводе реактивности(t )  0  t , γ=const,(5.108)где  – скорость линейного ввода реактивности, с 1 ; t – время, с.Система уравнений с отмеченным приближением, если пренебречь источником S, имеет видdn   n  C ,dtdC  n  C ,dt где n – безразмерная плотность нейтронов; – время жизни одного поколениянейтронов,с ;  – доля запаздывающих нейтронов;  – постоянная радиоактивного распада осколков деления, c 1 ; C – безразмерная концентрация ядерпредшественников запаздывающих нейтронов.После исключения С получим одно дифференциальное уравнение второго порядкаd 2 n   0  tdn 1( )  (0  (1  t ))n  0.2dtdt (5.109)Начальные условияn(0)  1 и n ( 0) '0(5.110)233В работе [267] Smets после ряда замен сводит уравнение (5.109) к уравнению первого порядка и для закона (5.108) получает громоздкое сложное решение, содержащее параболические цилиндрические и гипергеометрическиефункции.

Для практического решения они неприемлемы. Поэтому в работеприведены только предельные случаи: очень малые  <0,0006 и очень большие >0,06 при  0 =0.Развитие идей работы [267] содержится в монографии [195], в которойХетрик после преобразований уравнения (5.109) принимает допущение m , m  0,1,2,...(5.111)Данное допущение наряду с допущением  >0 общую задачу превращает в частную: решение справедливо только для дискретного положительного рядаскоростей ввода реактивности, определяемых равенством (5.111).Приближенное решение, найденное им, имеет видn ( t )  e  t2d[exp(2 )(C1  C 2  exp(' )d' ] ,d0где τ определяется из соотношения t   (5.112)2 l    0 ( ) .  Ниже приведены два громоздких решения, полученных из (5.112) при  0 ,   1 и 0  0 .n 1/ 22  t [1  ( ) (exp)( erf erf)]  exp( t 2  t ) при   0n02 2 2(2 )(2 )n 2    t(  ) 2  exp(  t ) exp( t 2  t )  [1  ( )1 / 2 expn0 22 2  (erf      t erf)]( 2 )( 2 )при   1 .234Решение для   0 соответствует бесконечной скорости ввода реактивности.

Так как решения выражаются через специальные функции, то выполнениерасчетов по ним затруднительно.В более поздней работе [33] практически повторяется решение работы[195] с дополнительным загрублением задачи 0  0 , (t ) << .(5.113)Насколько известно автору, указанными выше работами исчерпываютсявозможности поиска аналитического приближенного или точного решения задачи, необходимого для проведения быстрых оценочных расчетов. Отметим,что для получения приемлемой точности при численном решении уравненийтребуется временной шаг порядка 10 3 с, причем он тем меньше, чем больше  .Что касается приближенных численных методов решения, то они совершенствуются постоянно, о чем свидетельствует работа [31].Однако можно решить задачу (5.109),(5.110) без допущений (5.111) и(5.113) при любом постоянном  .

Ниже приводится это решение.Введем новые переменныеn(t )  () exp(t ) ,(5.114)(t )     (t  0).Тогда уравнение (5.109) примет видd 2d   d    0,2ddгде d  1 (5.115).Отметим, что здесь и далее следует брать верхний или нижний знак в зависимости от того, будет ли  >0 или  <0.Начальные условия в новых переменных( 0 )  1 ,(5.116)235' ( 0 ) 0  ,где  0  (0) .Решим уравнение (5.115) методом неопределенных коэффициентов.

Будем искать решение в виде степенного ряда()  a 0  a 1  a 2  2  a 3  3  a 4  4  a 5  5  ...(5.117)Считая ряд сходящимся (что будет показано ниже), вычислим первую ивторую производные по  ряда (5.117) ' ()  a 1  2a 2   3a 3  2  4a 4  3  5a 5  4  ... '' ()  2a 2  6a 3   12 a 4  2  20 a 5  3  ...(5.118)Подставим (5.117), (5.118) в (5.115) и приравняем коэффициенты приодинаковых степенях слева и справа2a 2  6a 3  12a 4  20a 53  ...  a1  2a 22  3a 33  4a 44  5a 55  a 0d  a1d    a 2d  2  a 3d  3  a 4d  4  ...

 0 0 : 2a 2  a 0 d  0 1 : 6a 3  a1  a1d  0 2 : 12 a 4  2a 2  a 2d  0 3 : 20 a 5  3a 3  a 3d  0Учитывая рекуррентность, для коэффициентов a k получимa2  a4 a6  dd 1a0 , a3  a1 ,2!3!d ( d  2)(d  1)(d  3)a0 , a5 a1 ,4!5!(d  1)(d  3)(d  5)d (d  2)(d  4)a0 , a 7  a16!7!С учетом (5.119) ряд (5.117) примет вид(5.119)236d 2 d ( d  2) 4 d ( d  2)(d  4) 6    ...) 2!4!6!d  1 3 ( d  1)(d  3) 5 ( d  1)(d  3)(d  5) 7 a1 (      ...)3!5!7!( )  a 0 (1 или, обобщая и суммируя по всем k, решение уравнения (5.115) получим в видесуммы двух рядов по четным и нечетным степеням d (d  2)...(d  2k  2) 2 k )(2k )!k 1,k (d  1)(d  3)...(d  2k  1) 2 k 1 C 2 (   (1) )(2k  1)!k 1()  С1 (1   (1) kгде обозначено: C1  a 0 , C2  a1 .n(t) определяется первой формулой (5.114).Используя признак Даламбера, легко показать, что область сходимостирядов   R .Постоянные интегрирования C1 и C 2 находим с использованием начальных условий (5.116).C1 A1  C2 A2  1 ;C1B1  C2 B2  ' ( 0 ) .(5.120)Решая систему (5.120) относительно C1 и C 2 , получимB2  A2' (0 )C1 ,A1B2  A2 B1C2 A1' ( 0 )  B1,A1 B2  A2 B1гдеA1  1   ( 1)kk 1B1   ( 1)kk 1d (d  2)...( d  2k  2) 2 k0 , A2   0   (1) k (d  1)(d  3)...(d  2k  1) 02k 1 ,(2k )!(2k  1)!k 1d (d  2)...( d  2k  2) 2 k 1(d  1)( d  3)...( d  2k  1) 2 k0 , B2  1   ( 1)k0 .(2k  1)!(2k )!k 1Степенные ряды можно легко вычислить с любой степенью точности.237Следует отметить, что в монографии [195] с помощью преобразованияЛапласаполученоинтегральноепредставлениедлярешениязадачи(5.109),(5.110) без ограничений:n(t )  C1  (s   )  exp[ s 2 / 2   ( C2  ( s   ) exp[ s 2 / 2   (  0 t ) s ]ds   0 t ) s ]ds.Но оно имеет только теоретическое значение: практически воспользоваться имневозможно, так как аналитически интегралы не берутся.5.7.

Стационарное температурное поле в круглой пластинес эксцентрическим отверстиемРешение рассматриваемой в п. 5.7 задачи дано в работе [107].Как уже упоминалось, в практике эксперимента при определении температуры в пластине (оболочке твэла) термопары заделывают в отверстиях малого диаметра. Наличие таких отверстий искажает температурное поле в окрестностях отверстий и показания термопары отличаются от истинных значений.При проведении экспериментов на стенде «Плутон» (Ю.И. Загорулько и др.)предполагалось оценить погрешности показаний термопар. Поэтому становитсяактуальной задача определения стационарного распределения температуры вкруглой пластине радиусом r1 с эксцентрическим отверстием радиусом r2 (рис.5.1).

При этом принимаем, что радиальные размеры существенно больше толщины пластины.Для решения задачи использован метод конформного преобразования[137,150,178,177,142]. В соответствии с теорией конформного отображения,аналитическая функция (см. также рис. 5.2)238уr1r2х0Рис 5.1. Пластина с отверстиемf z   w z a,az  1(5.121)гдеa1  x 1  x 1  x1 x2 2 2122x1  x21  x1 x2 1  x 1  x 2122x1  x2;,a  1,  2 >1, если -1< x2 < x1 <1),преобразует эксцентричное кольцо на комплексной плоскости z=x+iy в концентричное кольцо на комплексной плоскости w=u+iv. На рис. 5.2 показано соответствие границ и характерных точек при конформном отображении, задаваемом формулой (5.121).В [186] показано, что при конформном отображении справедливо равенство~~U xx  U y y  U uu  U vv f z или~ u,vU 1 x,yU .2f z 2v239y1BPGC-1GEх2PF Ax1 1 xFBCA1-1E2 uDDРис 5.2.

Характеристики

Список файлов диссертации