Диссертация (781854), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Ядро прямого преобразования в этом случае имеет видКk ( R) RJ 0 ( k R) ,Сk(5.66)где нормирующий делитель равен1Сk   J 02 (  k R ) RdR 01 2[ J 0 (  k )  J 12 (  k )] ,22собственные числа  k (k=1,2,3,…) – положительные корни характеристическо-го уравненияJ 0 ( ).J 1 ( ) Nu 1(5.67)Осуществляя прямое преобразование задачи (5.60) – (5.65) с ядром (5.66)в интервале 0  R  1, получим обыкновенное неоднородное дифференциальноеуравнение первого порядка~dd~~ ( )  N~ ( ) ( 2n   2k ),1где~ 1Ck1  ( R, ) J0(  k R ) RdR;0~(0)  1Сk1 ( R,0) J0( k R) RdR;(5.68)0~ ( )  А  ( );kAk 2 Nu 1;J 0 (  k )(  2k  Nu 12 )~N1   Аk  2k w ( ) ,решение которого с учетом (5.68), полученное, как и ранее, методом вариациипроизвольной постоянной, имеет вид223~ ' (2n 2k ) ' ' ~~( )  e (2n 2k )  ( (~ ( ' )  Nd  (0)).1 (  ))e0~N 1 ( ) учитывает неоднородность граничного условия (5.62).Осуществляя обратное преобразование, находим решение для задачи(5.60) − (5.65)~(0)).( R, Z , )   Ak sin n ZJ 0 ( k R)e ( n  k )   (  (  ( ' )  2k w ( ' ))e( n  k )  d'  Ak12n 1 k 1222'0С учетом (5.44) и (5.51) решение исходной задачи2PePe Z(  n2   2k BZ4( R, Z , )  (1 )(0 ( )  Ф( ))e 2   Ak sin  n ZJ 0 (  k R )e2  BLn 1 k 1 (  (  ( ' )   2k w ( ' ))e(  2n   2k ) ') PeZ2(5.69)~(0)).d'  Ak10Первая краевая задача.

Решение первой краевой задачи ((1, Z, )  0) можно получить из решения (5.69) предельным переходом при Nu 1  . Оно имеетвид2PePe Z(  n2  2k BZ4( R, Z , )  (1 )(0 ( )  Ф( ))e 2   Ak sin  n ZJ 0 ( k R )e2  BLn 1 k 1 (  (  ( ' )  2k w ( ' ))e(  2n   2k ) ') PeZ2(5.70)~(0)),d'  Ak10где Ak 2, собственные числа  k – положительные корни характеристичеk J1 (k )ского уравненияJ 0 ( )  0 .Для решения трансцендентных характеристических уравнений (5.59),(5.67) целесообразно использовать итерационный метод Вегстейна.В заключение отметим, что при Pe=0 выражения (5.69),(5.70) являютсярешениями задач о температурном поле в стержне конечных размеров (при замене Nu i на Bi i , i=1,2).2245.4.

Решение задачи об определении температуры теплоносителяпо длине трубки теплообменникаВ данном параграфе решена задача определения температуры теплоносителя по длине трубки теплообменника с переменной температурой среды.Определим распределение температуры теплоносителя по длине трубкитеплообменника с внутренним радиусом R и длиной , в которой течет тепло-носитель с постоянной скоростью w, а боковая поверхность омывается жидкостью с температурой Tc (t ) . Начальная температура теплоносителя (t=0) – известная функция координаты z.

На входе в трубку задается температура –функция времени, а на выходе – условие третьего рода.Если отсчет температуры вести от Tc (t ) , т.е. Tˆ  Т  Т с (t ) , то в системекоординат ( z , ) математическую постановку задачи можно записать в видедифференциальное уравнениеT (t )TˆTˆ 2Tˆw a 2  bTˆ  c , t>0, 0<z<  ;tzzt(5.71)начальное условиеTˆ ( z,0)  T 0  f ( z)  Tc (0) , 0<z<  ;(5.72)граничные условияЗдесь b 2прRc pTˆ (0, t )  T0  (t )  Tc (t ) , t>0;(5.73)Tˆz' ( , t )  2 Tˆ (l, t )  0 , t>0,k(5.74)– коэффициент, c-1;  пр – приведенный коэффициент теплообме-на, учитывающий термическое сопротивление стенки, Вт/( м 2  К) ; T0 – температура на входе в трубку, K; Tс – температура окружающей среды, K; t – время, с;w – скорость теплоносителя, м/с; a k– коэффициент температуропроводc pности, м 2 с 1 ; k – коэффициент теплопроводности, Вт/ (м  К ) .225Если ввести масштабы: T м T0 – для температуры, – для линейных раз-2меров,– для времени, то задача (5.71) – (5.74) примет видa  2 2  Pe Nu 1  c ,  >0, 0<  < 1; (5.75)( ,0)  0 (0)  F ( ) , 0<  < 1;(5.76)(0, )  0 ()  Ф() , >0;' (1, )  Nu 2 (1, )  0 ,  >0.Здесь  Nu1 (5.77)(5.78)T  Tc ( t )   Т c (t )wat; c;   Fo  2 ; Pe (Pe – критерий Пекле);T0T0a2пр ; Nu2  2 (Nu – критерий Нуссельта);   .RkkВведем замену переменнойePe  2u,(5.79)Pe 2где   Nu 1 .4Тогда задача (5.75) – (5.78) примет видPeu  2 u u c  2 e,  >0, 0< 2 u( ,0)  ( (0)  F ( )) e0Pe2, < 1;0<  < 1;(5.80)u(0, )  (0 ( )  Ф( )) e ,  >0;(5.81)2u' (1, )  Bu(1, )  0 ,  >0,(5.82)где B  Pe  2 Nu 2 .Решение этой задачи будем искать в виде суммы двух функцийu(, )  w(, )  (, ) .(5.83)226Функция w(, ) удовлетворяет граничным условиям (5.81),(5.82)w(, )  (1 B)(0 ( )  Ф())e .B2(5.84)Для определения функции (, ) с учетом (5.83),(5.80) имеем задачу  2  ( , ); 2(,0)  ( (0)  F ())e0Pe2(B 1)(0 (0)  Ф(0));2 B(0, )  0;2' (1, )  Pe1(1, )  0 ,uc eгде ( , )  (Pe2((5.85)(5.86)(5.87)(5.88)B 1)( (0 ( )  Ф( ))  '0  ( )  Ф' ( ))) e  .2BРешая вспомогательную задачу  2 ;  2(0, )  0 ;2' (1, )  B(1, )  0,находим собственные функцииZ n  sin  n и собственные числа  n (n=1,2,…), которые являются положительными корнями характеристического уравненияtg  2.BБудем искать решение задачи (5.85) – (5.88) в виде ряда( , )   n ( ) sin  n  .n 1Граничные условия при этом удовлетворяются сами собой.Разложим функцию ( , ) в ряд Фурье(5.89)227( , )    n ( ) sin  n  .n 1(5.90)Коэффициенты ряда Фурье n ( )  e42 u( 2 n 2 c  (0 ( )  Ф( ))  '0 ( )  Ф' ( )) ,nCn B  4n Cn 1B 2.2 B  4 2nПодставляя ряд (5.89) в уравнение (5.85) и принимая во внимание (5.90),получим[( n 1'n( )   2n n ( )   n ( )] sin  n   0 .Отсюда имеем уравнение для определения  n ()'n ( )   2n n ( )   n ( ) .(5.91)Разлагая начальное условие (5.86) в ряд Фурье( ,0)   n (0) sin  n , ,n 1получаем начальное условие для уравнения (5.91)n (0) 1где интеграл I   F ()ePe214 2( 2 n 2 0 (0)  (0 (0)  Ф(0))   n I ) , nC n B  4 n(5.92)sin n d .0Решение уравнения (5.91) с начальным условием (5.92) n ( )  e2n[  en  n ( ' )d'  n (0)] .2'0Подставляя  n () в (5.89), находим решение для (, )(, )   en 1 2n [  en  n ( ' )d'  n (0)]sin  n  .2 '(5.93)0Принимая во внимание (5.83),(5.84),(5.93) и (5.79), получим решение исходной задачи228Pe ( 2  )  Pe2 'Bn22(, )  (1 )(0 ( )  Ф( ))e   e[  en  n ( ' )d'  n (0)]sin n  .2 Bn 10(5.94)В заключение отметим, что решения задач в справочниках [166,19], полученные формальным интегральным методом с использованием функции Грина,определение которой является самостоятельной непростой задачей, представлены в виде двойных интегралов по времени и координате и менее пригодныдля практического применения по сравнению с решением (5.94).

Кроме того,как уже упоминалось, температура среды в этих задачах принимается постоянной.5.5. Распределение температуры теплоносителя по длине трубкитеплообменника с изменяющимися температурами на входев трубку и окружающей средыЗадача поставлена и решена в работе [95].Математическая постановка задачи.Дифференциальное уравнениеTTw b(Tc ( z )  T ) ;zначальное условиеT ( z,0)  T 0 , 0  z   ;граничное условиеT (0, )  T0  k   ;изменение температуры окружающей средыTc ( z )  Tc 0  kc z ,Здесь b 2прRc p– коэффициент, c-1;  пр – приведенный коэффициент теплообме-на, учитывающий термическое сопротивление стенки, Вт/( м 2  К) ; R – внутренний радиус трубки, м; k c – коэффициент, K/м; k  – коэффициент, K/c; T0 – тем-229пература на входе в трубку, K; Tс – температура окружающей среды, K;w–скорость теплоносителя, м/с.Если ввести новую переменную   T  Tc 0 , то получимw bkc z  b ;z(5.95)( z,0)  T 0  Tc 0  0 ;(5.96)(0, )  T0  Tc 0  k    0  k   .(5.97)Для решения задачи (5.95) – (5.97) используем интегральное преобразование Лапласа по формулеL ( z, s )   ( z, )e sd ,0где s – параметр преобразования Лапласа, c-1.Тогда задача (5.95) – (5.97) в изображениях примет видsL ( z, s)  0  wdL ( z, s) bkc z bL ( z, s) ;dzsL (0, s ) 0 k  .s s2(5.98)(5.99)Уравнение (5.98) – обыкновенное дифференциальное уравнение первогопорядка с постоянными коэффициентамиd L 10 bkc ( b  s ) L z,dz ww sw(5.100)для решения которого используем метод вариации произвольной постоянной.Решение однородного уравнения L  Ce( b  s )zw.(5.101)Решение (5.100) ищем в виде (5.101), но с условием, что C  C (z ) , т.е. L  C ( z )e( b  s )zw;(5.102) ( b s )d Lb  s  w ( b s ) C ' ( z )e w C ( z )( )e.dzwzz(5.103)230Подставив (5.102) и (5.103) в (5.100), получим( b s )0 bkcС ( z)  ( z )e w .w swz'и, интегрируя, найдемzzbk1 w ( b s )bks w w ( b s )С ( z )  (  c z )ee C1 ,sbss (b  s ) 20где С1  const.

.Таким образом, общее решение (C1 любое) для изображенияz( b  s )bk1bkс wwL  (  c z ) C1e.2sb  s s (b  s )0Условие (5.99) позволяет определить постоянную С1C1 0 k  0bkc w 2.s s b  s s (b  s ) 2(5.104)Частное решение (C1 конкретное (5.104)) для изображения по Лапласуимеет видL ( z, s )  (0 bkс1bkс w kz) ( 0  2 2sb  s s(b  s )s s( b  s )0bks ww)e.2b  s s(b  s )z(5.105)Применяя обратное преобразование по Лапласу [34], найдем оригиналыдля каждого из членов решения (5.105). 1 L1  e b ;b  s  1  1L1  (1  eb ) ; s(b  s )  b 1  11L1  2 (1  eb )  eb ;2b s (b  s )  b ( b s ) wz  0, 0 < τ < z ;ew zL1 bz s e w , τ > , w231z 0, 0 < τ < ;weL1  2    s zz   , τ > ,w wzswz  s wz  0, 0 < τ < w ;e  L1 b  s  zz  b(  w ),e, τ >wz 0, 0 < τ < ;we  L1  s(b  s ) 2  zz  1b (   )1z b (   w ) τ > z .w (1  e)  (   )e,w b2bwzswГруппируя оригиналы отдельных членов, получим решение задачи в виде(z, )  k c (z wwz)  (0  k c w  k c (z  ))e b,0<τ< ;bbw(5.106)zwkwz bz( z, )  kc ( z  )  (0  c  k (   )) e w , τ > .bbww(5.107)Следует отметить, что решение (5.106, 5.107) в момент  zимеет разрывw– скачок температуры.

Для всех z > wτ температура определяется условиямиохлаждения (параметры b и k c ) и начальной температурой 0 , т.к. жидкость свходной температурой, претерпевшей некоторое изменение на участке (0,z), неуспела дойти в эти точки, что отражено в решении (5.106). В момент времениzтемпература меняется скачком, обусловленном поступлением входящейwжидкости, и затем будет определяться условиями охлаждения и температуройвходящей жидкости ( k  и 0 ), как видно из решения (5.107).

Характеристики

Список файлов диссертации