Диссертация (781854), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Конформное отображение области G на область GОтсюда следует, что в результате преобразования (5.121) гармоническая вобласти G функция U(x,y) переходит в функцию U  U u, v  , гармоническую в~~области G, если только f z   0 , что в данном случае выполняется.2С учетом этого может быть сформулирована математическая постановказадачи определения распределения температуры в области G.Дифференциальное уравнение и краевые условия в размерных переменных имеют вид 2Tr '21 T1  2T 0;r ' r ' r ' 2  2T ( r1' , ) 1 (T ( r1' , )  Tc1()) ;'rT ( r2' , )  2 (T ( r2' , )  Tc2 ()) ,'r'где r – радиус-вектор в области G ' , м;  – полярный угол в области G ' ;Т ci ( ), i  1,2  температура окружающей среды, K.Если ввести безразмерные переменныеTc1 ( )  TcТ Т с i r1'r'r2';;   ' ;  2  ' ; Bi i (i=1,2); f ( )   Bi 1TcТсr1r1g ( )  Bi 2Tc2 ( )  Tc; Tc  const,Tc240то вышеприведенные уравнения преобразуются в виде 2 1  1  2  0; 2    2  2(5.122)(1, ) Bi1(1, )  f () ;(5.123)( 2 , ) Bi 2(2 , )  g() .(5.124)Здесь   безразмерный радиус-вектор в области G ' ; Bi , i  1,2  числоБио; Т c  некоторая масштабная температура, K.В литературных источниках [56,158,17,19,166,143,57] решение третьейкраевой задачи для кольцевой области (5.122) – (5.124) не приводится.

Однакоона является востребованной, так как при теплофизических экспериментах,проводимых для нужд энергетики, охлаждение (нагревание) поверхностей происходит по закону Ньютона (третьего рода). Ниже эта задача решена.Применяя метод Фурье (разделения переменных) и полагая [186](, )  R()(),можно получитьRn ()  An n Bn, R0 ()  A0  B0 ln  .nУчитывая, что собственными функциями самосопряженного оператора 2являются cosn и sinn , будут иметь место частные решения задачи 2(5.122) – (5.124) в виде0 (, )  A0  B0 ln  ,n (, )  ( An  n BnD)cosn  (Cn  n  nn )sinn .nОбщее решение имеет вид(, )  A0  B0 ln    [( An n n 1BnDnn)cosn(C) sin n] .nnn(5.125)241Используя краевые условия (5.123), (5.124), получим систему для определения An , Bn , Cn , Dn .B0   n[( An  Bn )cosn  (Cn  Dn ) sin n]  Bi1 A0 n 1(5.126) Bi 1  [( An  Bn )cosn  (Cn  Dn ) sin n]  f ();n 1B0 BD  n[( An  n21  nn1 )cosn  (C n  n21  nn1 ) sin n]  Bi 2 ( A0  B0 ln  2 )  2 n122 Bi 2  [( An  n2 n 1Bn n2)cosn  (C n  n2 Dn n2(5.127)) sin n]  g ().После разложения функций f (), g () в ряды Фурье они приобретаютвидf ()  f 0(1)   ( f n(1) cosn  f n( 2 ) sin n) ;(5.128)n 1g ()  g 0(1)   ( g n(1) cos n  g n( 2 ) sin n),(5.129)n 1гдеf(1)0122f ()d; f0(1)n12f () cosnd; f n( 2 ) 012 f () sin nd;02g(1)022111(1)( 2)g()d;gg()cosnd;gg () sin nd.nn2 0 0 0При сопоставлении (5.126) и (5.128), (5.127) и (5.129) можно сформулировать системы для определения коэффициентов решения (5.125) Bi 1 A0  B0  f 0(1) ;1(1) Bi 2 A0  (   Bi 2 ln  2 ) B0  g 0 ;2(n  Bi 1 ) An  (n  Bi 1 ) Bn  f n(1) ;Bi 2 n n 1n(nBi)A( n 1 ) Bn  g n(1) ;222nn2 2242(n  Bi 1 )Cn  (n  Bi 1 ) Dn  f n( 2 ) ;Bi 2n n 1n( 2)(n 2  Bi 2 2 )Cn  (  n   n 1 ) Dn  g n ,22решениями которых являются выраженияg 0(1)  (A0 Bi 1 (B0 An 1 Bi 2 ln  2 ) f 0(1)2;1 Bi 2 ln  2 )  Bi 22Bi 1 g 0(1)  Bi 2 f 0(1);1Bi 1 (  Bi 2 ln  2 )  Bi 22A, Bn  B , Cn  C , Dn  D ,гдеA  (Bi 2n n 1 ) f n(1)  ( n  Bi 1 ) g n(1) ;n2 2 B  ( n  Bi 1 ) g n(1)  ( n n2 1  Bi 2 n2 ) f n(1) ;C  (Bi 2n n 1 ) f n( 2 )  ( n  Bi 1 ) g n( 2 ) ;n2 2 D  ( n  Bi 1 ) g n( 2 )  ( n n2 1  Bi 2 n2 ) f n( 2 ) ;  nBi 1 ( n2 1 1111)  nBi 2 ( n2  n )  n 2 ( n2 1  n 1 )  Bi 1Bi 2 ( n2  n ).n 12222Решения первой и второй краевых задач известны (см., например,[166]).Эти решения могут быть представлены в более удобных безразмерных переменных.Решение первой краевой задачи для уравнения (5.122) с граничными условиями(1, )  f т () ;(5.130)( 2 , )  g т ()(5.131)дается формулой (5.125) с коэффициентами243A0  f(1)т0(1)g т0 f т0(1); В0 ;ln 2n2 ( n2 f т(n1)  g т(1n) ) 2n g (тn1)  f тn(1)B; n;Аn  22n  1 22 n  1Сn n2 g т(n2 )  f т(n2 ) n2 ( n2 f т(n2 )  g т(n2) )D; n.22 n  1 22n  1Решение второй краевой задачи для уравнения (5.122) с граничными условиями(1,  ) f q ( ) ;(5.132)( 2 , ) g q ( )(5.133)в виде формулы (5.125) с коэффициентамиA 0  C (решение с точностью до произволь-ной постоянной);B0 An Cn 2 ( f q(01)  g (q10) )2  1(1)n21 g qn f qn(1)n(22 n  1)( 2)n21 g qn f qn( 2 )n(22 n  1); Bn ; Dn ;(1)n21 ( g qn n21 f qn(1) )n(22 n  1);( 2)n21 ( g qn n21 f qn( 2 ) )n(22 n  1).Комбинируя попарно граничные условия (5.123),(5.124) с условиями(5.130) – (5.133), можно получить решения еще четырех смешанных задач.Из функции (5.121) следует преобразование координат, необходимое дляполучения поля температуры в реальной области G.В декартовой системе координатu  a au  1  av 2xau  12  a 2 v 2В полярной системе координат;у a 1v.au  12  a 2 v 22244ˆ a 2 ( 4  1)  2a (a 2  1)( 2  1) cos    2 ((a 2  1) 2  2a 2 cos 2)a 2  2  2a cos   1  arctg(a 2  1) sin .a 2  (a 2  1) cos   aТемпературное поле в бесконечной пластине с двумя цилиндрическимиотверстиямиВлияние двух соседних каналов для термопар на температурное поле(рис.

5.3) можно проанализировать с помощью полученных решений, если воспользоваться той же аналитической функцией (5.121), но с параметрами1  x1 x2  ( x12  1)( x22  1)a;x1  x2(5.134)x1 x2  1  ( x12  1)( x22  1)2 ,x1  x2( x 2 < a < x1 и 0<  2 <1, если 1< x 2 < x1 ).Аналитическая функция (5.121) с параметрами (5.134) бесконечно протяженную область G отображает на конечную кольцевую область G’.Для третьей краевой задачи знаки у Bi 1 и Bi 2 будут противоположными.у BGvEBGA0100С D1 x2100 100Fx1 xCED 100F0100A2 180u100100О6010080ш806080804080и8060Восток60 60ВостокВосток 40606060бк2060ВостокЗападЗападЗапад604040 4040а!204040ЗападСеверСевер0Север4040За2020 201 кв2 кв200Север20Рис 5.3. Конформноеотображение области Gна областьG 20кл1 кв2 кв 203 кв4 кв2000 0000ад} 2 кв1 кв 3 кв21 кв 4 кв23 к1 кв2 кв3 кв4 кв1 кв 1 кв 2 кв 2 кв 3 кв 3 кв 4 кв 4 кв01 кв0ка1 кв2 кв3 кв4 кв1 кв2кнеопределена.10080 80801002455.8.

Нестационарное температурное поле в стержне конечной длины с эксцентричным кольцевым сечениемЗадача восстановления нестационарного поля некоторого физическогопараметра, характеризующего изменение состояния однородного твердого телана основе измерений, выполненных в условиях искажения его геометрии, имеетширокое практическое значение, в частности, при измерениях распределениятемпературы в твердых телах. При указанных измерениях термопары заделываются в просверленные каналы.

Наличие таких каналов искажает температурное поле в их окрестностях и показания термопар отличаются от реальных значений.В п. 5.7 предпринята попытка оценки погрешности показаний термопарпри сопоставлении возмущенного и невозмущенного температурных полей.Ниже решена задача определения нестационарного температурного поля в цилиндре (пластине) конечных размеров с эксцентричным кольцевым сечением свнешним радиусом r1, внутренним радиусом r2, длиной , помещенном в средус температурой Tc (t ) [110].

Поперечное сечение показано на рис. 5.1. На границах цилиндра (стержня) происходит теплообмен по закону Ньютона. В цилиндре действуют источники тепла, мощность которых зависит от координат и времени. Начальная температура – произвольная функция координат, т.е.z ).T ( r, ~z ,0)  g ( r, ~1. Конформное отображение эксцентричного кольца на концентричноекольцоКак и в п. 5.7, используется метод конформного преобразования. В соответствии с теорией конформного отображения, аналитическая функция (см.также рис. 5.2)f z   w za,az  1(5.135)246a1  x 1  x  ;1  x1 x2 2122x1  x22 1  x1 x2 1  x 1  x  ,2122x1  x2a  1,  2 >1, если -1< x 2 < x 1 <1),преобразует эксцентричное кольцо на комплексной плоскости z=x+iy в концентричное кольцо на комплексной плоскости w=u+iv.

На рис. 5.2 показано соответствие границ и характерных точек при конформном отображении, задаваемом формулой (5.135).2. Математическая постановка задачи и ее решениеВ [186] показано, что при конформном отображении справедливо равенство~~U xx  U y y  U uu  U vv f z 2или~ u,vU 1 x,yU .2f z Отсюда следует, что в результате преобразования (5.135) гармоническая в~ ~области G функция U(x,y) переходит в функцию U  U u, v , гармоническую вобласти G, если только f z   0 , что в данном случае выполняется.2С учетом этого может быть сформулирована математическая постановказадачи определения распределения температуры в области G   .Дифференциальное уравнение и краевые условия в размерных переменных имеют вид2T 2T 1 T 2T q (r ' , ~z , t ) a (( 2  ' ' ) f ' ( z )  ~ 2 )  v,tzc pr ' r rr1' < r ' < r2' , 0 < ~z <  , t > 0,(5.136)Начальное условиеT ( r ' , ~z ,0)  T 0 ( r ' , ~z ) ,r1' < r ' < r2' , 0 < ~z <  .(5.137)247Граничные условияT ( r1' , ~z , t ) 1 (T ( r1' , ~z , t )  Tc (t )) , 0 < ~z <  , t > 0;'r(5.138)T ( r2' , ~z , t) 2 (T ( r2' , ~z , t )  Tc (t )) , 0 < ~z <  , t > 0;'r(5.139)T ( r ' ,0, t ) 3 (T ( r ' ,0, t )  Tc (t )),~zr1' < r ' < r2' , t > 0;(5.140)T ( r ' , , t )'(T(r, , t )  Tc (t )),4~zr1' < r ' < r2' , t > 0,(5.141)2гдеa2 1 ''f ( x, y )   , r1  r1 , r2'  r1 2 .22 2 (ax  1)  a y 2(5.142)'В (5.136) – (5.142) t – время,c; r – радиус-вектор в области G, м; r – ра-z – продольная координата, м;диус-вектор в области G ' , м; ~–плотность,кг / м 3 ; q v – мощность источников тепла, Вт / м3 .Из формулы (5.135) следует преобразование координат в безразмерномвиде (линейный масштаб – r1 ) при конформном отображенииu  a au  1  avxau  1  a v2222;у a 1vau  12  a 2 v 22.Принимая во внимание, чтоx  ˆ cos; у  ˆ sin ; u  cos; v   sin ,получим преобразование координат в полярной системеa 2 ( 4  1)  2a (a 2  1)( 2  1) cos    2 (( a 2  1) 2  2a 2 cos 2);ˆ a 2 2  2a cos   1  arctg(a 2  1) sin .a2  (a 2  1) cos   aЗдесь  – безразмерный радиус-вектор в области G ' ; ̂ – безразмерныйрадиус-вектор в области G;  – полярный угол в области G;  – полярный уголв области G ' .248С учетом формул преобразования выражение (5.142) примет вид2a2 1f (, )   2 2,ˆˆa2acos12'(5.142’)a 2  (a 2  1) cos   a.где cos  ˆ (a 2 2  2a cos   1)Из-за нелинейности (5.142’) задачу (5.136) – (5.141) в квадратурах решитьнельзя.

Характеристики

Список файлов диссертации