Диссертация (781854), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Во-первых, большинство задач носит частный характер и неучитывает специфику протекания процессов при тяжелой аварии в реакторе типа БН. Во-вторых, многие решения получены с использованием методов интеграла Дюамеля и функции Грина.Известно [158], что формальные методы решения уравнений математической физики с помощью теоремы Дюамеля и функции Грина имеют следующиенедостатки: 1) необходимо предварительно решать вспомогательную задачу спростыми граничными условиями; 2) решение получается в виде рядов, требующих дополнительной доработки; 3) во многих случаях не получается эффективного решения, так как оно представляет собой некоторый интеграл, малопригодный для практического применения.Для иллюстрации изложенного сравним решение автора (подробно см.п.

5.7, (135))(, )  A0  B0 ln    [( An n n 1BnD) cos n  (Cn n  nn ) sin n]nс коэффициентамиA 0  C (решение с точностью допроизвольной постоянной);B0 An 2 ( f q(01)  g (q10) )(1)n21 g qn f qn(1)n(22 n  1)2  1; Bn ;(1)n21 ( g qn n21 f qn(1) )n(22 n  1);207Cn ( 2)n21 g qn f qn( 2 )n(22 n  1); Dn ( 2)n21 ( g qn n21 f qn( 2 ) )n(22 n  1).с решением второй краевой задачи в концентричном кольце, приведенным вмонографии [19](,  )    n ,k (,  )  w(,  ),(5.1)n  0 k 1гдеcosn;n,k (, )  Фn,k () sin n,n=0,1,2,…; k=1,2,…;Фn,k ()  J n (n,k) Nn' (n,k )  J n' (n,k ) Nn (n,k) ;w(, )  f ()(1  )  g ()( 2  ); n , k  собственные числа, являющиеся положительными корнями трансцендент-ного уравненияJ n' (n,k ) N n' (n,k 2 )  J n' (n,k 2 ) N n' (n,k )  0;J n () и N n ()  функции Бесселя и Неймана n-го порядка, ()  дельта-функция.Основные отличия представленного решения от решения автора заключаются в следующем: 1) решение (5.1) в виде двойного ряда; 2) характеристическое уравнение для определения собственных чисел довольно сложное; 3)функции Бесселя и Неймана не входят в арсенал встроенных функций алгоритмических языков.В-третьих, практически все решения получены в размерных переменных,что затрудняет анализ.Учитывая сказанное, автором предпринята успешная попытка получениясравнительно простых точных решений, свободных от указанных недостатков.Все работы опубликованы в ведущих российских научных журналах и зарубежом (Беларусь).Для проверки правильности расчета температурного поля в тепловыделяющем слое в коде БРУТ полезно использовать точное аналитическое реше-208ние задачи нестационарной теплопроводности ограниченного цилиндра радиуса R и длиной с непрерывно действующими источниками тепла, помещенно-го в среду с переменной во времени температурой, с граничными условиямитретьего рода на трех границах [96] (п.

5.2).Для расчета стоков тепла в зоне с теплообменниками в коде БРУТ можноиспользовать аналитические решения задачи о нестационарном распределениитемпературы теплоносителя в трубке теплообменника, содержащиеся в п. 5.3 –п. 5.5.Для тестирования блока расчета нейтронной кинетики кода ANPEX целесообразно применить точное решение уравнений кинетики с учетом однойсредневзвешанной группы запаздывающих нейтронов при линейном во времени вводе реактивности [75,84] (п. 5.6). Точное решение можно использовать длявыбора шага интегрирования по времени при численном решении уравненийкинетики.Кроме того, ряд решений (п. 5.1, 5.3) имеют, прежде всего, теоретическоезначение.В практике эксперимента при определении температуры в пластине (оболочке твэла) термопары заделывают в отверстиях малого диаметра.

Наличиетаких отверстий искажает температурное поле в окрестностях отверстий и показания термопары отличаются от истинных значений. В п. 5.7 предпринятапопытка анализа такого искажения с помощью решения задачи определенияраспределения температуры в круглой одномерной пластине с эксцентричнымотверстием [107]. Получено также решение третьей краевой задачи определения температурного поля в стержне конечной длины с эксцентричным кольцевым сечением [110] (п. 5.8).

Это решение можно использовать для оценки погрешности показаний термопар.При разработке новой модели термического взаимодействия кориума снатрием использовалось полученное решение задачи определения температурыв шаре, помещенном в жидкость, температура которой не зависит от координа-209ты, но изменяется во времени. В шаре действуют источники тепла, изменяющиеся во времени по произвольному закону.Следует отметить, что все представленные аналитические решения задачполучены впервые и имеют научную ценность.5.1. Решение задачи теплопроводности для кольцевого цилиндраконечных размеров с внутренними источниками теплаПри тяжелой аварии в реакторе БН может образоваться кольцевой тепловыделяющий слой.

Для проверки правильности расчета температурного поля втаком слое можно использовать приведенное ниже решение, которое такжеподробно изложено в работах [99,98].Рассмотрим задачу о расчете нестационарного температурного поля в однородном цилиндрическом стержне с кольцевым круглым сечением радиусомr1  r  r2 и длиной  , помещенном в среду с температурой Tc ( t ) .

На границахстержня происходит теплообмен по закону Ньютона. В цилиндре действуютисточники тепла, зависящие от координат и времени. Начальная температура –произвольная функция координат, т.е. T ( r, z,0)  f ( r, z ) .Если ввести масштабы: для температуры – TМ , линейных размеров – r2 ,r22времени –, объемной плотности тепловыделения – q v 0 и отсчитывать темaпературу от “ложного нуля” Tc ( t ) , то математическая постановка задача будетиметь следующий вид:дифференциальное уравнениеu  2u 1 u  2uu ( ) 2 2  Q( R, Z , )  c , R1 R1, 0 Z  L, 0    ; R R R Z(5.2)начальное условиеu( R, Z ,0)  u 0 ( R, Z ) ,граничные условияR1 R1, 0 Z  L;(5.3)210u( R1 , Z , ) Bi 1u ( R1 , Z , )  0 ,R0 Z  L, 0    ;(5.4)u (1, Z , ) Bi 2 u (1, Z , )  0 ,R0 Z  L, 0    ;(5.5)u( R,0, ) Bi 3u( R,0, )  0 , R1 R1, 0    ;Z(5.6)u ( R, L, ) Bi 4 u ( R, L, )  0 ,Z(5.7)R1 R1, 0    ,q ratzT  Tc (t )где R  r ; Z  ; L   ; u ; TM  v 0 2 ;   Fo  2 ;r2r2TМr2r22u 0 ( R, Z ) rT (t )q ( r, z, t )f ( r, z )  Tc (0) ;;uc  c ; Bi i  i 2 (i=1,2,3,4); Q( )  vTMTMqv 0Bi – число Био; Fo – число Фурье; Q – безразмерная мощность источников тепла; q v – мощность источников тепла, Вт / м3 ; t – время,c; u – безразмерная температура; L – безразмерная длина стержня;  – безразмерное время.Решим задачу (5.2) − (5.8) с использованием метода конечных интегральных преобразований [143,57].

Следуя указанным работам, для исключениядифференциальных выражений по Z можно получить ядро прямого преобразования в видеКn ( Z ) Kn ( Z )( Z ),Cn(5.8)где собственная функцияК n ( Z )  cos  n Z Bi 3sin  n Z ,nнормирующий делительС n( Bi 3  Bi 4 )( n2  Bi 3 Bi 4 )Bi 2L(1  23 ) ,2n2 n2 ( n2  Bi 24 )весовая функция  ( Z )  1, а собственные числа  n (n=1,2,3…) – положительные2корни характеристического уравнения211ctgL  2  Bi 3 Bi 4.( Bi 3  Bi 4 )(5.9)С помощью интегрального преобразования в интервале 0  Z  L c ядром(5.8) задачу (5.2) − (5.7) приведем к видуu  2u 1 u 2  2n u  f ( )  Q( R, ) , R R R(5.10)гдеL1u   K n ( Z )udZ ;Cn 0f ( )   AnLQ ( R, ) 1K n ( Z )Q( R, Z , )dZ ;Cn 0u c;(5.11)Lu ( R,0) 1K n ( Z )u 0 ( R, Z )dZ ;Cn 0(5.12)12n  Bi 32n 1An [(1) Bi 4 2 Bi 3 ] .Cn2nn  Bi 24Чертой обозначены интегральные образы исходных величин u, u( R, Z ,0) ,Q ( R, Z , ) и f ( )  uc.Теперь исключим дифференциальные операции по R.

Ядро прямого преобразования в этом случае имеет вид~Kk ( R)( R)Кk ( R) ,Сk(5.13)где собственная функция~Кk ( R)  [k J1 (k R1 )  Bi1 J 0 (k R1 )]Y0 (k R)  [kY1 (k R1 )  Bi1Y0 (k R1 )]J 0 (k R),нормирующий делительСk 1~[2 ( 2k  Bi 22 ) K 2 ( k )  4( 2k  Bi12 )] ,2 22 kвесовая функция  ( R )  R , собственные числа 2k (k=1,2,3,…) – положитель-ные корни характеристического уравнения[J 1 ( R1 )  Bi 1 J 0 ( R1 )][Y1 ( )  Bi 2Y0 ( )]  [Y1 ( R1 )  Bi 1Y0 ( R1 )][J 1 ( )  Bi 2 J 0 ( )]  0;(5.14)212J 0 (  ), J 1 (  ), Y0 (  ), Y1 (  ) – функции Бесселя первого и второго рода нулевогои первого порядка [20,179].Осуществляя прямое преобразование задачи (5.10) − (5.12) с ядром (5.13)в интервале R1  R  1, получим обыкновенное неоднородное дифференциальноеуравнение первого порядкаdu~~~ ( 2n   2k )u~  f ( )  Q ( ) ,dгде11~u~   u ( R, ) Kk ( R)RdR ;Ck 01 1~~Q()   Q ( R, ) K k ( R) RdR ;Ck R1Ak u~f ( )   Аn Аk c ;1 1~~u (0)   u ( R,0) K k ( R) RdR ;Ck R1(5.15)2Bi1 J 0 ( k R1 )   k J1 ( k R1 )[RBiBi],112Bi 2 J 0 ( k )   k J1 ( k )Сk 2kрешение которого с начальным условием (5.15) (вторая формула), полученноеметодом вариации произвольной постоянной [181], имеет вид2 22 2 '~~u~( )  e (n k )  [  ( f ( ' )  Q( ))e (n k )  d'  u~(0)] .0Здесь тильдой обозначены образы интегрального преобразования с ядром(5.13).Осуществляя обратное преобразование, найдем решение задачиu (2  2 ) '~~( 2   2 ) u( R, Z , )   K n ( Z ) K k ( R)e n k [ (Q(' )  An Ak c )e n k d'  u~(0)] .n 1 k 10 (5.16)Для решения трансцендентных характеристических уравнений (5.9),(5.14) целесообразно применять итерационный метод Вегстейна [152].Решение при Tc  const , q v  q v (t ), r1  0, T (0)  const [96] использовалось для верификации кода БРУТ, реализующего алгоритм решения задачи об213удержании расплава в корпусе быстрого реактора при тяжелой аварии [94,93,87,76].Решение в этом случае имеет видBi(  2   2 ) (  2  2 ) 'u( R, Z , )   Аn Ak (cosn Z  2 sin n Z ) J 0 ( k R)e n k  (  f ( ' )e n k d'  u 0 ) .nn 1 k 10(5.17)Собственные числа  k – положительные корни характеристическогоуравненияJ 0 ( ) ,J 1 ( ) Bi1которое следует из уравнения (5.14) при указанных ограничениях.Коэффициенты Ak и f(τ) выражаются какAk 2 Bi1q (t ), f ( )  v .22J 0 ( k )( k  Bi1 )qv 0Решение (5.17) является знакопеременным рядом.

Характеристики

Список файлов диссертации