Диссертация (781854), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

В довольно широком диапазоне параметров a и  2 функция (5.142’) меняется по сечению G ' незначительно. Поэтому функция (5.142’) заменяется еесредним значением, т.е.2222k  f (, )  2d f ' (, ) d.2  1 0 12'2Тогда уравнение (5.136) примет видT 2T 1 T 1  2T qv (r ' , ~z , t ) a ( '2  ' '  2 ~ 2 ) ,trrkzcrpгде a  k 2 a.Если ввести безразмерные переменные2katqvo r2'T  Tc (t )k~zg ' (r ' , ~z )  Tc (0)r';   Fo  '2 ; u0 ( R, Z ) ; TM ;R ';Z  ' ;L ' ;ur2TMTMr2r2r2uc Tc (t ) r'q (r' , ~z , t); Bi i  i 2 (i=1,2,3,4); Q( R, Z , )  v 2,TMк qv 02где масштабы: Т Mr2'– для температуры, r – для линейных размеров,– дляa'2времени, qv 0 – для объемной плотности тепловыделения; Bi –число Био, и отсчитывать температуру от “ложного нуля” Tc (t ) , то задача (5.136) – (5.141)примет видu  2u 1 u  2uu 2 2  Q ( R, Z , )  c , R R R Zu( R, Z ,0)  u 0 ( R, Z ),R1 < R< 1 , 0 < Z< L,  > 0 ;R1 < R< 1 , 0 < Z< L;(5.143)(5.144)249u( R1 , Z , ) Bi 1u( R,.Z , )  0,R0 < Z< L,  > 0;(5.145)u(1, Z , ) Bi 2u(1, Z , )  0,R0 < Z< L,  > 0;(5.146)u( R,0, ) Bi 3u( R,0, )  0,ZR1 < R< 1 ,  > 0;(5.147)u( R, L, ) Bi 4u( R, L, )  0,Zгде Bi 3 R1 < R< 1 ,  > 0,(5.148)BiBi 3., Bi 4  4 , R 2kkРешение задачи (5.143) – (5.148) методом конечных интегральных преобразований получено автором диссертации в [99].

Здесь приводятся окончательные формулы решения.  ~22uc ( 2n  2k ) ' ' ~ ~u( R, Z , )   K n ( Z ) K k ( R )e ( n  k )     (Q (  ' )  An Ak)ed  u (0);n 1 k 10(5.149)собственные функцииКn ( Z )  cosn Z Bi 3sin n Z ,nсобственные числа  n (n=1,2,3…) – положительные корни характеристического2уравнения 2  Bi 3 Bi 4ctgL ,( Bi 3  Bi 4 )собственные функции~Кk ( R)  [k J1(k R1 )  Bi 1J 0 (k R1 )]Y0 (k R)  [kY1(k R1 )  Bi 1Y0 (k R1 )]J 0 (k R),2собственные числа  k (k=1,2,3,…) – положительные корни характеристическо-го уравнения[J1 ( R1 )  Bi 1J 0 ( R1 )][Y1 ( )  Bi 2Y0 ( )]  [Y1 ( R1 )  Bi 1Y0 ( R1 )]  [J1 ( )  Bi 2 J 0 ( )]  0;250J 0 ( ), J 1 ( ), Y0 ( ), Y1 (  ) – функции Бесселя первого и второго рода нулевого ипервого порядка,212n  Bi 3n 1An [(1) Bi 4 Bi 3 ] ,2Cn2n2n  Bi 4нормирующий делитель2LBi 3( Bi 3  Bi 4 )(  2n  Bi 3 Bi 4 )Сn  (1  2 ) ;22n2 2n ( 2n  Bi 4 )Ak 2Bi J (  R )   k J 1 (  k R1 )[ R1Bi 1  Bi 2 1 0 k 1],2Сk  kBi 2 J 0 (  k )   k J 1 (  k )нормирующий делительСk 1~[ 2 (  2k  Bi 22 ) K k2 (1)  4(  2k  Bi 12 )];2 22 ku ( R,0) K( Z )u 0 ( R, Z )dZ ;0~ u ( R,0)Kk( R ) RdR;R1L1Cn1~Q ( ) Ckn1~(0)  1uCkQ ( R,  ) L1CnKn( Z )Q ( R, Z , )dZ ;01~ Q ( R, ) Kk( R ) RdR.R13.

Температурное поле в бесконечной плите с двумя цилиндрическими каналамиАналитическая функция (5.135) с параметрами1  x1 x2  ( x12  1)( x22  1)a;x1  x22 x1 x2  1  ( x12  1)( x22  1),x1  x2( x 2 < a < x1 и 0<  2 <1, если 1< x 2 < x1 ),251конформно отображает бесконечно протяженную область G с двумя отверстиями с произвольным радиусом на концентричное кольцо.Решение (5.149) описывает температурное поле в плите толщиной с се-чением рис. 5.3, с заменой знаков у Bi 1 и Bi 2 на противоположные.5.9.

Распределение температуры в шаре, помещенном в хорошоперемешанную жидкостьРассматриваемая в п. 5.9 задача поставлена и решена в работе [100].Задача об остывании тела сферической формы, помещенного в среду сзаданной начальной температурой, имеет широкую область приложений – отастрофизики до металлургии.В частности, она представляет интерес при анализе сценариев постулируемых тяжелых аварий с плавлением активной зоны реактора на энергетических установках, например, на реакторах типа БН с натриевым теплоносителем.Термическое взаимодействие, развивающееся при контакте расплава топлива и конструкционных материалов активной зоны (кориума) с натрием, реализуется в виде последовательности быстро протекающих стадий: предварительного грубого перемешивания, тонкой фрагментации кориума, испарениянатрия и расширения паровой фазы с совершением механической работы против внешних ограничений.Основной задачей анализа термического взаимодействия кориума с теплоносителем является оценка его энергетического эффекта, определяемого долей тепловой энергии кориума, преобразуемой в механическую работу расширения пара натрия.При прочих равных условиях интенсивность суммарного теплового потока будет определяться геометрическими характеристиками ансамбля фрагментов кориума, формирующегося на стадии предварительного перемешивания и,в значительно большей степени, на стадии тонкой фрагментации независимо отмеханизма ее осуществления.

Суммарный выход механической энергии кон-252тролируется интенсивностью теплообмена между фрагментами кориума и натрием.Решение задачи, составляющей содержание п. 5.9, использовалось приразработке новой модели термического взаимодействия кориума с натрием[41].Постановка и решение задачиПри рассмотрении ансамбля фрагментов кориума принимается их сферическая форма. Индивидуальный фрагмент радиусом R помещен в натрий (вдальнейшем тексте – жидкость) с однородным полем температуры. При этомфрагмент (шар) может содержать внутренние источники тепла, интенсивностькоторых зависит от времени.

Начальная температура шара является произвольной функцией координаты, а начальная температура жидкости равна T00 . Требуется определить температурные поля в шаре и жидкости.В математической постановке задачи принимается:дифференциальное уравнениеq (t )T 2T 2 T a( 2 ) v ,tr rcr0<r<R, t>0 ,(5.150)начальные условияT (r,0)  T 0 (r ) ,T (r ,0)  T00 ,0<r<R,(5.151)r>R(5.152)граничные условияT (0, t ) 0,r 4R 2 T (0, t )   ,T ( R, t )T ( R, t ), m0 c0rtt>0,t>0 .(5.153)(5.154)Здесь t –время, с; r – координата, м; q v – мощность источников тепла, Вт / м3 ;m0 – масса теплоносителя, кг; с 0 – удельная теплоемкость теплоносителя,Дж /(кг  К) .253Если вести отсчет температуры от T00 и принять масштабы: для линейныхразмеров – R, температуры– T00 ,R2времени –, энерговыделения – q v 0 , то задаaча (5.150) – (5.154) примет вид  2  2  Po() , 0<ρ<1,  >0 ,  2  (,0)  0 () ,(,0)  0,(5.155)0<ρ<1,(5.156)ρ>1,(5.157)(0, ) 0 , (0, )   ,  >0,(1, ) (1, ) 0, >0,(5.158)(5.159)T 0 (r )  T00T  T00atm0c0r0где  ,,,,, (m –масса мате()3mcRT 00R2T 00риала шара, кг; c – удельная теплоемкость материала шара, Дж /(кг  К) ),qv (t )qv 0 R 2() , Po  критерий Померанцева.qv 0T00Если ввести новую переменную u   , то уравнение (5.155) примет видu  2u Po()  2(5.160)Классическим методом Фурье (разделения переменных) задачу (5.160),(5.156) – (5.159) решить нельзя, так как собственные функции не являются ортогональными из-за необычного граничного условия (5.159).

Впервые аналогичная задача при отсутствии источников тепла поставлена и намечены пути еерешения в работе [253]. В статье [221] получено решение задачи [253] методомКоши контурного интегрирования в комплексной плоскости. Метод слишкомгромоздок.254Решим поставленную задачу методом интегрального преобразования Лапласа [34], так как собственные функции как таковые в этом методе не применяются.Применив к задаче преобразование Лапласа по формулеU (, s )   u (, )e s d,0получим задачу для изображенияd 2U (, s) sU (, s)  u 0 ()  Ф1 ( s),2dυd (0, s) 0,d(0, s)  ,d (1, s) s (1, s)  0,dгде u 0 (ρ)  0 (ρ), Ф1 ( s )  PoФ( s ), (ρ, s)  U (ρ, s) .ρИспользуя метод вариации произвольных постоянных, получим решение дляизображения(, s)  PoФs (s)   PoФ( s)sh s1 (ch s  s  sh s  s  ch s)sh s 1 0   ()sh sdsh s  sch s  s  sh s s (sh s  sch s  s  sh s ) 0(5.161)Найдем оригинал изображения (5.161), т.е.

решение задачи:Ф( s ) L []   ( ' )d ' ,s01L1[(5.162)F (s )sh sF ( s)]  L1[]  es  ' n ,(s) n1 (sn )sh s  sch s  s  sh snsn  0 ,(5.163)где F (s ) и (s) – обобщенные полиномы [158], получаемые разложением гиперболических функций в ряды, s n – корни уравненияsh s  sch s  s  sh s  0 или th s Учитывая, чтоs.1  s255sh s  i sin i sсh s  cos i s(5.164)th s  itgi sи, обозначая i s   , получим характеристическое уравнение для определения n (n=0,1,2,…)tg .1  2(5.165)Преобразуем выражение (5.163)2 sn sh sn F (sn )2 sin  n  2 An sin  n '(1  2) sin  n  n cos  n (sn )  ( s n sh sn  2 sn sh sn  sn ch sn )С использованием характеристического уравнения (5.165) дляAn (5.166)A n находим(  2  4n  (1  2) 2n  1) sin  n(5.167) 2  4n  (1  3) 2nДля корня s 0  0 имеемL1[sh ss  sh s3(5.168)]  lim1  3sh s  sch s  s  sh s s0 sh s  sch s  s  sh sТак как произведению изображений в пространстве изображений соответствует свертка функций в пространстве оригиналов, то с учетом (5.164) – (5.168)получимL1 [Ф( s)sh ssh s  sch s  s  sh s]3 '''()d2()An e   sin  n d '1  3 0n 102 'n(5.169)Аналогично (5.166),(5.168) находим1L1[(ch s  s  sh s  s  ch s )sh s 1 0  ()sh sd]  s(sh s  sch s  s  sh s ) 0 2  A1n sin  n en 1  2n 1 0() sin  nd,02 42где A1n    n  (1  2) n  1 .2 42  n  (1  3) n3 20 ()d01  3(5.170)256Таким образом, объединяя результаты (5.162),(5.163), (5.166) – (5.170) с учетом (5.161), получим решение задачи1(, ) 3  2  0 ()d01  3 Po(  ( ' )d ' 03 2  '''()dAsind ' ) nn  (    )e1  3 0 n 102 'n(5.171)12   A1n sin  n e     0 () sin  n d. n 102nТемпература жидкости зависит только от времени и при 1равна1(1, ) 3  2  0 ()d01  3 Po(  ( ' )d ' 03 (   ' )d '  2  A2 n  (   ' )e   d ' ) 1  3 0n 102n(5.172)'1 2 An e     0 () sin  n d,n 1где2n0A 2 n  A n sin  n 2 2n1. 3  1При Po=0 решения (5.171),(5.172) совпадают с решениями работ [253,221].Применение интегрального метода решения для рассматриваемой задачи позволило избежать трудностей, возникших перед авторами работ [253,221].Решение задачи, в принципе, можно использовать при анализе поведенияансамбля частиц кориума с известным законом их распределения в теплоносителе.Если объемная концентрация кориума в натрии равна  , то параметр  вычисляется по формуле1  0 c0 ,3 c 1  (5.173)где ρ – плотность кориума.Найдем конкретное решение задачи для кориума.

Характеристики

Список файлов диссертации