Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 29
Текст из файла (страница 29)
'14 5 3 (6.ло) Заметим, что при «„= «т = 0 потепциальиая эвергип имеет максимум (так как для переменных «" и «т выполнен критерий з Сальвестра (2ЛО): Ь, = — 1/4 < О, йэ = 13/300 ~ О). Составляющие потенциальной силы .К = — йгаб П и пекоясерэативяой поэициовпой силы Н найдем по формулам (6.25) и (6.
26): 6 э, й'э — — „«г«г + 2«ю Н, «г 1 г г т' Нг= «г~+ 5 «1«э~ Нг =- — «г« э 5 (ь.зо) Легко проверить, что силы Нг и Нт удоэлетворяигг условию (6Л5). Рассмотрим теперь силу (у (ф), вависяп(ую от скорости д иэображающей точки М. Если выделить иэ этой силы гироскопическую составляющую Г (силу, не производящую работу), то в соответствии с определениями оставшаяся часть будет равна диссипативной силе с положительным или отрицательным сопротивлением. Таким образом; $60 Гл, чь Влиянив стгуктувы сил имеем (3 (у) = Ю(д) + Г(д). (6.31) Покажем сейчас, что силу сопротивления .гг (у) можно представить как градиент некоторой скалярной функции Р (!)): .0 =.
— дга![ Р, (6.32) В этом равенстве ата![ Р определнется в пространстве скоростей Цх, ..., б,) так, что др — (й=1...г), дй . (6.33) причем должны выполняться равенства (6,34) (к, у -- 1, ..., г). Для доказательства сделанного утверждения достаточно заметить, что в соответствии с определениями гироскопическая сила Г в пространстве скоростей (у„ ..., у,) и неконсервативная позиционная сила лс в пространстве координат (д„ ..., д,) удовлетворяют одинаковым условиям ортогональности (6.13) и (6.15). Поэтому, повторяя почти дословно обоснование возможности разделения позиционных сил, можно доказать следующую теорему.
Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка силу (г (ь), зависящую только от скоростей система, можно представить сумлюй двух сил Д (д) = — уга![ Р+ Г, (6.35) где à — гироскопическая сила, а Р— некоторая скалярная функция скоростей дг. Сравнивая равенства (6.35) и (6.31), получим (6.32). Функцию Р (!)) будем называть функцией Рглся'). Заметим, что функция — Р (у) является потенциалом полн сил сопротивления. г] Дпя линейных снл положительного сопротивления днссвпатнвная функция Р введена в [873 г.
Редеем. Определение полной н частичной днсснпацнв для таких снл дано Четаевым. Здесь првведены обоб!цэнвя этих понятий нв произвольные силы сопротявленвя [38). 5 ЭЛ. КЛАССИ<ЭИКАЦИЯ СНЛ <э! Учитывая равенства (6.32) и (6.33), вычислим мо<цность силы сопротивления ч-! дг Ы (<') = Ю <) = — — дга<( Р д =- — э —. д х.
(6!.36) и~' д<, т=! Если составляющие Рт силы сопротивления Ю однородны относительно скорое~ей и степень их однородности равна л<, то функция Р также однородна, причем степень ее однородности будет, очевидно, ш + !. В этом случае, пользуясь равенством (6.36), по известной теореме Эйлера еб однородных функциях получим Л' = — (ш + 1) Р, (6.37) В частности, для линейных сил сопротивления Л' = = — 2Р. Из равенства (6.37) видно, что однородным силам положительного сопротивления с полной диссипацией отвечает определенно-положительная диссипативная функция Р, а при неполной (частичной) диссипации — просто полох<ительная функция Р.
В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, под силой сопротивления Ю будем понимать силу положительного сопротивления (диссипативную силу). В тех редких случаях, когда будут рассматриваться силы отрицательного сопротивления, они будут называться усяоряюл~ини силами. До сих пор мы считали, что гироскопические силы Г и силы сопротивления Х> зависят только от скорости <7. На практике зти силы очень часто зависят также от положения системы, т. е. от радиуса-вектора д изображающей точки М: Г=Г07,Д, П=П07,д.
Все определения для этих сил сохраня!отея без всякого изменения, если только радиус-вектор д точки М рассматривать как параметр. В частности, будем считать, что силы Г и Хй обращаются в нуль при д = 0 Г (д, 0) = О, Хэ (д, О) = О, (6.38) причем предполагается, что при ф ч60 зти силы не равны нулю при любых значениях <г, располох<енных вблизи точки <г = О. 6 д. г. меркин гл. гл влинннк стгуктугьг сил Мощность У силы Х> будет теперь зависеть не только от скорости д, но и от д Л (д, () — хз (Ч, () ° д, (6.39) Определение полной н частичной диссипации остается почти без изменении: днсснпацня называется полной (частичной), если лмицность Лг(д, я) силы АЯ является определенно-отрицательной (отрнцательной) функцией скорости д при всех значениях д, расположенных вблизи точки д =О. Пример 1.
Сила Г с линейиымн относительно скоростей составляющими Г, = соя 6(), Г, = — соя ()а гироскопическая, так как ее мощность )У = Гзсс -(- 1 ай = соя ()ра + ( — соя йа) (1 тождественно равна нулю. Пример 2, Сила Г с нелинейиыиа етвосительио скоростей составляющими 1', = ( — С) .ззез, Гз = (С вЂ” А) язем Гз = (А — В) язгз~ где А, В и С вЂ” произвольные функции координат хо хз, хз н скоростей гм гз, х„гироскопическая, так как ее мощность В =- Г,тз -з Г,, + Гзез тождественно равна нулю.
Пример 3. Сила Р, составляющие которой онределяютсн равенствами ') Рз = — [1 + созе (ег+ с )) з)'" я!6в йм Рз = — (йз+ йя), является силой положительного сопротивления с полной диссииацвей. Действительно, мощность этой силы Л' = Р 'д+ Р ' = — ((1 + сояз (дг+ дз))т~ ( )г (+ 4з+ ф представляет определенно-отрицательную функцию скоростей ег, 4 при любых 1, и ез(при вычислении)у учтено, что 'г юйп 4, = (йз (). Функция Релея для данных снл имеет вид г" = — (1 + соаз (а, -,'- ез)) ( йз (' ( йз + — дз. Эта функция удовлетворяет равенствам (6.33), так иак — (йг('=3((г(' —,()з(=31з я16в(ь з ° з'1 а '1!г Пример 4.
Методом, изложенным иа с. 160 — 161, силы 3 — (гз = — 4"4з г) Символ я1дв х означает знак х. $2.2. ИостАновкА 3АдАчи 3 2, 2.2 7)з= — —.7 1' — —,6 'з 1 2 ! 1 — )з — 1)2» 1 4 е 1 3 2 2,2 1 й 3 1' 3 Легко яроверить, что гироскопические силы Г, и Г, удовлетворяют условию (6.13), а гиты /), я 7)з — условию (6.3)8). )руикция г" в деииом примере разил ! 42, 1 24 0 '-* 6 Так как ета функция определеико-положительно, то имеется колкая диссикация. й 6.3. ПостаноЬкз задачи Будем считать, что уравнения возмущенного движения относительно величин д и ) приведены к виду д дТ дг д)1 — — — — =- — — -!- 7)» + Г» + 7), д8 д, дд. дч.
(6.4')) "т» — (й =-= (,..., 2). В этих уравнениях Т вЂ” определенно-положительная квадратичная форма скоростей ) 8 8 Т = — - 2 ~ ~ а»)г,»()8 1=1 1=1 где а„) = а)» — функции )7. Предполагается, что при и = О потенциальнан энергия П равна нулю. Кроме того, предполагается, что при 47 == О обращаются в нуль потенциальные и неконсервативные позиционные силы, а при ф = О обращаются в нуль диссипативяые и гироскопические силы. Независимо от способа получения уравнений возмущенного движения (6.40) функцию Т можно рассматривать как кинетическую энергию приведенной системы, переменные о» и )» — как обобщенные координаты и скорости, а члены, стоящие в правых частях этих уравнений,— как потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсерватпвные позиционные силы соответственно. Относительно сил предполагается только, что можно разложить яа гироскопические и диссипативкые составляющие: ГВ4 гл.
чг. Влиянии стРуктуРы снл они удовлетворяют сделанным в 3 6.2 определениям и условиям существования и единственности решения дифференциальных уравнений (6.40). Никаких других ограничений на силы не налагается — они могут быть линейными, существенно нелинейными (их разложения по степеням о и ( могут начинаться с членов любого порядка), наконец, они могут быть неаналитическими функциями коордик,>т >> и скоростей (. К уравнениям возмущенного движения (6.40) приводятся все задачи на исследование устойчивости равновесия механических систем с голономными и стационарными связями в многие задачи на исследование устойчивости установившихся и стационарных движений механических, электрических и электромеханических систем.
Не вдаваясь в анализ физической природы координат» и рассматриваемого явления, будем говорить, что значе. ниям >> = 0 и 4 = 0 отвечает равновесие системы, а уравнения (6.40) описывают возмущенное движение около положения равновесия. Поэтому, говоря об устойчивости равновесия системы, нух«но помнить условный характер этого вырая'ения — возможно, что на самом деле речь идет об устойчивости установившегося движения электромеханической системы.
Точно так»ке ну>кпо помнить условный характер употребляемого здесь слова «сила». В действительности может оказаться, что члены уравнений (6.40), которые мы трактуем как силы, не представляют реальные силы, а получились в результате некоторых математических преобразований. Несмотря на зто, все члены правых частей уравнений (6.40) мы будем называть силами, действующими на систему. Задача ставится следующим образом: как определить характер устойчивости равновесия системы по структуре действующих сил? Примером решения такой задачи может служить теорема Лагранжа и ее обращение, на основании которой вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы реп>ается исследованием одной потенциальной энергии без привлечения анализа левых частей уравнений (см, з 3.1 и 3.2). Кроме уравнений возмущенного движения в форме (6.40), будем рассматривать случай, когда разложения всех сил по степеням л и с содержат линейные члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
