Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Легко показать, что мкогочлен Р» (А) делится на Р», (Х). При определении общих наиболыпих делителей Р» (Х) полезно иметь в виду следующее замечание: если какой- либо минор й-го порядка равен постоянной величине, то Р» = Р»т = ...= Р» = 1 (так как этот минор долясен делиться на Р», а Р» делится на Р» „Р» „..., Р,).
Многочлен, разный отношениго О» <Л) ~>» —— -Е»()) (й=1,..., и; Р»=-1), (527) »-1 Й Если квадратичная форма Ам х определенно-положительна, то для простоты матрица А называется определенно-положительной. Если матрица А кососимметричная, то а»» = О, а»~ — — — аз», т. е.
а»т + азе = О. На основании Равенства (5.22) заключаем, что для кососимметричной матрицы А произведение 134 гл. ч. тстоичивость линвиных автономных систвм называется инеариантным множителем лзатриз(ы (5.26). Очевидно, что Ю» (Л) = Ед (Л) Е, (Л)... Е„(Л), а .Р„(Л) с точностью до постоянного множителя равен бег Р (Л): Р„(Л) = и бег е (Л) = Е, (Л) Ез (Л)... Е„(Л), (5.28) Разложим каждый инвариантный мне»китель Е» (Л) нз множители: Е»(Л) = (Л вЂ” Л,)'»з(Л вЂ” Л,)" ... (Л вЂ” Л,)', где Лз, Л„..., ˄— различные корни уравнения з(е1 Г(Л) = О. (5,29) Очевидно, что е»,~О (й=1, ..., и; г=1, ..., р).
Г (л) 1 (л + 1) (л + 1) 1 1+1 Л+1 (3.30) можно состаеять четыре мяяора первого порядка: (Л+ Оз (Л+ Оз Л их общий наибольший делитель, очевидно, равен Пз = Л+1. Для матрицы (3.30) имеется одяя минор второго порядка ! (Х+ 1)' (1+1) ~ Л (Л+ 1)з Л+1 Х+1 с общая яаяболыпим делителем Вз= Л(Л+ Оз. Кроме того, е»1 ~(е». в если й < 1с' (так как Е,,: делится на Е»). Двучлены (Л вЂ” Л,)»", входящие множителями в Е» (Л) и отличные от постоянного числа (т. е.
при е»з) О), называются элементарными делителями Л-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами делители череа (Л вЂ” Л,)',, (Л вЂ” Лы) '", причем среди чисел Лз могут быть и равные (биномы (Л вЂ” Л;) ' могут входить в разные инвариантные множители Е»). Рассмотрим пример. Для матрицы (35 9 Ь.З, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ Пользуясь формулой (5.27), найдем ннварнантяые множвтели («Л+( у а «р(ца :(«а Х«а Элементарные делителя для рассматриваемое матрицы будут Л +$, Л, (1+а)а с корнями Ла = — (, Ла = О, Л = «. = — (.
Этя же корни являются, конечно, коркямк уравнения а)еа Р(Х) = О, но есля для этого уравнения корень Х = — ( трехкратный, то атот же корень для одного элементарного делателя простой, а для другого двукратный. Матрица й' о ... о оу,...о (5.3)) 0 0 ... Ь' где Е„ЕМ ..., ń— ипвариантные множители матрицы (5,26), называется нормальной диагональной формой этой матрицы. Например, нормальной диагональной формой для матрицы (5.30) будет матрица ~'О А(Л+ )4 Элементарными преобразованиями Л-матрицы нааываются следующие операции: а) перестановка двух строк или двух столбцов; б) умножение всех элементов какой-либо сгпроки (столбца) на один и тот же отличный от нуля посл«оянный мнохсип«ель; в) сложение элементов некоторой строки (столбца), умноженных на один и тот же полином от Л, с соответствуюи(ими элементами другой строки (спюлбца).
Доказывается, что: а) элементарные преобразования не изменяюгя элементарные делители «; матрицы; б) всякую Л-матрицу конечным числом элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме (5.3(), Покаяюм ато на ярнмере матрицы (5.30). Переставим в этой матрице вторую строку на место первой я второй столбец яа место первого. Обозначим переход с помощью алементарных преобраао- 136 ГЛ, У. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ наний от одной ма~рицы к другой стрелкой, получим (( Л4-1 Л+1 1 ((Л+1)' (Л+1)'(( Вычтем теперь элементы первого столбца пэ соответствуюгаих элементов второго: Н л+1 л+1 ) ( л+1 о (Л+1Р (Л+ЦеН(Л+1)а Л(Л+~)4 Умножим влементы первой строки на Л+ 1 и вычтем па элементов второй строки: ~1(Л+1)е Л(Л+1)а1 (( О Л(Л+1)т((' Полученная матрица является нормальной диагональной для матрицы (5.30).
Заметим, что элементарными преобразованиями часто пользуются для определения элементарных делителей. Рассмотрим матрицу порядка ег следующего вида: л,оо...оо л,о...оо 0 1 Ла ... 0 0 (5Л 2) 0 О 0 ... Л, О О О О ... 1 Л, Л вЂ” Л 0 0 1 Л,— Л 0 О ! Л вЂ” Л 0 0 0 0 0 0 (5.33) у — ле= о о ... л, л о О 0 ... 1 Л~ — Л Вычеркнем из етой матрицы первую строку и последний столбец и из оставшихся злементов составим минор поряд- ка е,— 1: л, — л ...
о 0 1 ... О 0 0 В этой квадратной матраце по главной диагонали стоит одно и то же число Л„в диагонали под ней стоят единицы, а остальные злементы равны нулю. Матрица такого вида называется клеткой Жордано или элементирным ящиком. Составим Л-матрицу э', — ЛЕ (напомним, что Š— единичная матрица): 137 э ь,з, злимвнгхвнык делители Так как этот минор равен единице, то Р, = Ра = : ..=.Рч . = 1 (см. с.
133). С другой стороны, единственный минор порядка е, равен бес (У, — ЛЕ) = (Л, — Л)аэ Следовательно, аи — Л ° ° . ат А — ЛЕ= л ''' пи (" 'д) Найдем элементарные делители этой матрицы (Л Л)е, (Л Л ), (Л Л )~щ Каждому корню Л„(л = 1,..., т) элементарного делителя соответствует своя клетка Иордана Хю Норлальвой формой Жордана для данной матрицы А называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Иордана, а все прочие элементы нулю: Очевидно, что элементарные делители матрицы /— — ЛЕ совпадают с элементарными делителямихарактеристической матрицы.
Заметим также, что корни характеристического уравнения ~ А — ЛЕ ( = 0 совпадают с корнямн элементарных делителей. Р,, = (Л вЂ” Л„)' (в скобках переставлены местами Л и Л„так как старший член в Р,, должен иметь коэффициент, равный единице). Пользуясь формулой (5.27), найдем для матрицы инвариантные множители Ег = 1~ Еа = 1~ ° ° ° Ее,-г = 1 Ее = (Л Лг)ч Из этого следует, что матрица Х, — ЛЕ имеет только один элементарный делитель, равный (Л вЂ” Л,)". Пусть теперь А — произвольная квадратная матрица, элементы которой постоянные числа аэ;. Составим Л-матрицу А — ЛЕ (она называется характериапической для матрицы А) 133 РЛ, У.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ЛВТОНОМНЫХ СИСТЕМ Промер ! — 2 — 1 — 1 ΠΠ— 4 1 — 1 — 1 5 1 2 2 (5.35) Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана,нужно прежде всего найти элементарные делители характеристической матрацы (5.34): — 2 — Л вЂ” 4 5 А — ЛЕ =- Для этого воспольэуемся элементарными преобразованиями. Униожим первую строку на — 1, затем умножим последний столбец сначала на †(2 + Л) н сложим его спорным столбцом (чтобы получить в верхнем углу нуль); после этого вычтем нэ второго и третьего столбцов последний столбец (чтобы в верхней строке получить еще два нуля): О О О 1 — (1+Л) ΠΠ— 2-(- Л 2 — Л 1+ Ла — (1 — Л) Л 2 — Л Сложим первую строку с третьей, потом умножим первую строку на 2 — Л и вычтем ее иэ четвертой; после этого переставим последний столбец на место первого: 1 О О О О 1 — (1+Л) ΠΠ— 2+Л 2 — Л О 1+Ла (1 Л) А — ЛЕ Умножим второй столбец на 1 + Л и добавим его к третьему столб- цу (чтобы получить во второй строке еще один нуль): О О О О 1 ΠΠΠ— 2+ Л вЂ” Л(1 — Ц вЂ” Л О 1+Л' Л(2+Л-(-Л') Л Теперь во второы столбце после единицы можно поставить нули (для этого достаточно умножить вторую строку сначала на 2 — Л и сложить с третьей строкой, ватам умножить вторую строку на — (1+ Л)э и сложить с четвертой строкой), После этого умножим четвертый столбец на — (1 — Л) л добавим к третьему столбцу: 1 О О О О 1 ΠΠΠΠΠ— Л О О Л(1+Л)' Л А — ЛЕ -~ А — 0 ) — 1 — 1 — Л 1 1 — 1 ΠΠ— 1 — Л 2 2 — Л 9 5.3.
злиминтлРныи делители Слоншм третью строку с четвертой, затем уыножим эту строку на — 1 и переставим четвертый столбец иа место третьего: О О О О 1 О О О О 5 О О О О 5(1+ 1)з А — 1Е -» (5.37) (5.33) — 1 О 1 — 1 прячем незаполненные алемевты равны нулю. Пример 2. — 2 — 1 — 1 — 1 1 — 1 ΠΠ— 5 Π— 2 — 2 6 2 3 3 (5.35) Получилась нормальная диагональная форма характеристиче- ской матрицы А — )»Е.
Из нее находим Е» = 1 Ез = 1 Ез = Х» Ез = Х ()» + 1)э. Следовательно, матрица А — 1Е ямеет три элементарных делителя: Х, Х, (Х+ 1)з, которым отвечают корни )»,=О, ) =О, ~э=~. Конечно, этн корни являются одновременно корнями характе- ристического уравнения )А — ЛЕ( =О. Отметим существенное длн дальнейшего обстоятельство: корни элементарных делателей и корин характеристического уравнения всегда совпадают, ио их кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот случай: нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического уравнения, но он прос- той для элементарных делителей (так кэк двум нулевым корням отвечают два элементарных делателя). Корни )о = 14 = — 1 име- ют одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для алементарных делителей. Каждому элементарному делителю отвечает своя клетна Жорда- на (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
