Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В рассматриваемом случае будем иметь следующие условия асимптотической устойчивости установившегося режима относительно тока 1 и напряжения и." Е к ~ +яС)0, ~ +1)0. (4.40) В атих веравепствах Ь, я и С вЂ” положительиые параметры системы, а число к = ф' Я вЂ” угловой коэффициент касательвой, проведенной к графику функции г = ф (Й в точках 1 = г (крутиава характеристики капряжевия). Если х ув О, то оба веравенства (4.40) будут выполкевы и, следовательно, соответствующий установившийсяйрежим аспмптотпчсснп устойчив. Если же к (О, то установившийся режим вольтовой дуги будет асимвтотически устойчив для тех аяачепий х, которые удовлетворяют условиям (4.40), или Л К> — я, Х> — Л.
С 0 Если хотя бы одно на неравенств будет иметь противоположный смысл, то соответствующий установившийся режим будет неустойчив. Поэтому ка плоскости В, к границей области асимптотической устойчивости будут врямая В = О, гипербола Сйя = — Е, и прямая к = — г1 (рис. 4.2). Вяе этой области устаяовквшиеся реРкс. 4.2 жимы неустокчивы. Сравнивая рпс. 2.20 и 4.2, видиьц что введение емкости уменьшает область устойчивости устаяовввшкхся режимов вольтовой дуги. Ото яе оаяачает, конечно, что введеяие емкости нерациовальяо для рассматриваемой схемы, так как при атом можво получить качественно другие переходные процессы.
Пример 2. Условие устойчивости ламповог о г е я е р а т о р а. В примере 3 4 2.7 были волучеиы следующие нелинейные дифференциальные 1 равнения воамущенвого 113 9 5 5 оРИМИРЫ движения лампового генератора (см, рис. 2,23 и уравнения (2.53)): л)и ао С вЂ” = — л, Ь вЂ” —.. и — — [7)С вЂ” МЯ (и)] л. (4.41) Условие асимптотической устойчивости (2.59) было установлено непосредственным применением прямого метода Ляпунова. В атом примере условие (2. 59) будет получено с помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Воспользуемся разлолгевисм (2.57) функции Я (и) в ряд по степеням ля 3 ( ) = 3, + 3' (О) и +... и внесем это выражение для 3 (и] во второе уравнение (4.41). Ограничиваясь линепными членами, получим дифференциальные уравнения первого приближения л)и ад 1 с л = — г, Л вЂ” 1=и — (ЛС Муз) . л)л ' Ж С Характеристическое уравнение ! СЛ 1 7)С вЂ” Муз — 1 ЬЛ+ легко приводится к виду СЕЛз + (ЛС вЂ” МЯз) Л+ 1 = О.
Критерий л урвица (4.28) сводится к одному неравенству (2.59) ЛС вЂ” М3, >О, при выполнении которого равновесное состояние лампового генератора будет асимптотически устойчиво относительно тока ли напряжения и. Если зто неравенство будет иметь противоположный смысл, то равновесное состояние лампового генератора неустойчиво. Прн лгС вЂ” МЯз = О корни характеристического уравнения чисто мнимые и уравнения первого приближения не могут дать обоснованного ответа на вопрос об устойчивости движения. Сравнивая приведенное здесь решение с решением атой аадачи в 3 2.7, видим, что применение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению может существенно упростить исследование.
Пример 3. Условие устойчивости установившегося режнма двигателя с центроб е ж н ы м р е г ул я то ром. Центробежный регулятор скорости вращения двигателя '), изображенный на рис. 4.3, воздействует непосредствеяно на регулирующий орган (дроссельную заслонку, регулирующую подачу горючего или пара), поэтому ои относится к классу регуляторов прямого действия.
Проблемы, возникшие в середине Х1Х столетия в связи с применением регуляторов атого типа к двигателям большой мощности, г) Центробежный регулятор скорости вращения паровой машины изобретен Уаттом в 1784 г. М4 ТЛ. ГУ. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ впервые обратили серьезное внимание инженеров н ученых на значение теории устойчивости движения для техники. Прежде всего приведем распространенное в свое время объяснение принципа действия регулятора, изображенного на рис. 4.3.
В установившемся режиме угловая скорость ы вращеш1я вала регулятора (она отличается от угловой скорости вращения маховпка двигателя на передаточное число) сохраняет постоянное значение а1з,' кроме того, в установившемся режиме стержни, удерживающие шары, составляют постоянный угол сс с осью вращения регулятора. Демерер Дреееель Рис. 4.3 Муфта М регулятора и дроссельная заслонка неподвижны и занимают вполне определенное положение, соответствующее заданной угловой скорости ыр. Предполояшм, что установившийся режим нарушея, например по каким-либо причинам немного увеличилась угловая скорость маховика двигателя.
В атом случае шары под действием увеличенных центробежных сил разойдутся на больший угол, муфта М поднимется и через систему рычагов опустит дроссельную заслонку, уменьшив тем самым подачу топлива нли пара. Зто приведет к уменьшению угловой скорости, и вся система вернется в установившееся состояние, соответствующее заданной угловой скорости юз. В атом распространенном ранее описании принципа действия центробеяшого регулятора не учитывались инерционность двигателя и силы сопротивлеяия. Более того, предполагалось, что силы сопротивлеяия могут иметь только отрицательное значение;повтому инженеры и механики, аанятые изготовлением центробежных регуляторов, принимали все доступные в те времена меры для уменьшения сил сопротивления.
Заметим, что иаображенный на рис. 4.3 9 ьэ. ПРИМНРЫ 115 легпфер ')появился только во второй половине Х1Х столетия, когда десятки тысяч центробежных регуляторов уже использовались Ъ промышленности. При переходе к двигателям большей мощности обнаружилось, что регуляторы, изготовленные по этому принципу, не только не обеспечивают устойчивый режим работы, но даже разгоняют двигатели. Для того чтобы уяснить причины этого явления, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения и определим условии устойчивости установившегося режима. Для простоты выкладок пренебрежем массой муфты и стержней; кроме того, будем считатыпары за материальные точки и предположим, что в установившемся режиме пружина с жесткостью с находится в недеформированном состоянии.
Углы и, 6 и расстояние Ь муфты М от верхних шарниров, показанные иа рис. 4.3, соответствуют установившемуси режиму. Пусть установившийся режим паруп1ен: муфта М поинилась на величину э, а угол сс изменился на 6. Имея в виду составить уравнения первого приближения, будем считать величины х и 6 малыми. Тогда с точностью до членов высшего порядка получим 6 = рз, (4.42) .сги () где р = ь. (чнтатель легко установит агу зависимость самостоятельно).
Обозначим угловую скорость вращения регулятора в неустановившемсн режиме через ф, а угол между стержннми шаров и осью регулятора через у = а + 6. Так как движение шаров складывается иа переносного движения (вращение вокруг оси регулятора) и относительного движения (вращение вокруг верхних шарниров на угол ~р), то кинетическая энергия системы будет равна Т = тП (зРэ + $' з)пз зР) + '!з з фа. Здесь т — масса одного пира, а э — приведенный н оси вала двигателя момент инерции его вращающихся частей с учетом передаточного числа (предполагается, что э = сопзь). Потенциальная энергия силы тяжести шаров и пружины опреЛеляется равенством 1 с П = 2т1(сов и -- соз зр) -)- 2 — э (~р — а)з 2 )ьэ (в сделанных предположениях деформация пружины равна х = 6!р). Обобщенные силы системы равны дП 4г = — — --юр, 9 =М вЂ” М, дю где — чфр — приведеннан н стеришям шаров сила жидкостного сопротивления (т = сопзз), создаваемая деыпфером илп естественными силачи сопротивления, ЛХ, — дзижущип момент, Мз — момент г) Гидравлический демпфер (натарант) состоит па поршня и цилиндра, ааполненного вязкой жидкостью.
Прп перемещении поршня жиикость протекает через небольшие отверстия (они делаютсн в поршне или в обводном канале), создавал силы сопротивлении, пропорциональные первой степени окорости. 116 Гл гу. устойчпВОсть пО пВВВОыу пгпплпжкниго сопротивления двигателя, приведенный к его огк. Можио считать, что движущий момект М, зависит от поступа!ощего рабочего тела, т.
е. от положения дросселя, угол поворота которого есть функция ф, а момент сопротивления М, зависит от ]тловой скорости враще- ния вала ф, Применяя обычкую схему Лагранн!а дТ дТ вЂ” — — — — 1! (с = СП ф), д! дд дде ч составим уравнеиия движения свстемы с 2т!зф — тРфз зш 2(с =. — 2тд! з]п ф — — (ф — а) — чф, рв (4.43) (Х+ 2тР з(пз ф) ф + 2тР з1п 2ффф = М, (ф) — Мз (ф).
В установив!пекся движении ф = а =- сова!, ф = ю = — сопл!. Внося ати аначеиия в уравнения (4.43), найдем связь между параметрами системы юг сов а = „/1, Мг(а) =- Мз(ю). (4.44) Положим ф = т + з и ф = а+ рх. Подставив эти зкачеиия для ф и !р в (4.43), получим уравнения возмущенного лак>кения 2трР х — ги!' (т .]- з) з з(п 2 (а + рх) = с =- — 2п!8! ь1п (а+ ]!х) — — х — ]гтх, ]г ( г + 2тР зщз (а + !и И ! + 2р т!' зш 2 (а + Вх) г (ы + з) = =- М! (с! + ]гх) — Мз (ю + з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
