Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В заключение отметим, что для практического применения теоремы Рауса достаточно заметить, что при выпол- ') А. М. Ляпунов приводит свое дополнение к теореме Реуса без доказательства. В, В. Румию>ев в работе (461 доказал зто дополнение в предположении нсирерь>вности функции ТУ, В ззой жо работе 'приводитск нзкболзе полное изложение теории устойчивости стационарных дви>пений; честь результатов принадлежат В. В. Румянцеву. В работах (24з, 53б, 53в) прнводктск условии обратимости теоремы Рзусв и, кзк следствие условии обрзтилюсти, теоремы Лзгрвпжз — Дирихло. 1 3.5.
пРимеРы пении ее условий функция И' — Игз будет определенно- положительной (Иго — значение функции И в стационарном движении). Поэтому здесь рационально использовать обычный прием разложения этой функции в ряд с последующим применением критерия Сильвестра. й 3.5. Примеры В примерах 1 и 2 3 2.6 устойчивость стационарных движений конического маятника и ИСЗ была доказана с помощью связки интегралов. Получим теперь эти же результаты с помощью теоремы Рауса. Пример 1. Устойчивость стационарного движения конического маятника. Ранее были найдены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий маятника (см.
рис. 2Л4 и формулы на с. 38); 1 Т = — т!1(01+ фзз1пз О), П = — тд1соз О. 2 Из этих выражений видно, что координата ф циклическая (опа входит в кинетическую энергию только через скорость ф и пс содержится в потенциальной энергии), а координата О позициоиная. Составим, согласно формуле (3.11), циклический интеграл р = = ти з(пз Оф = с. дТ С3.20) Отсюда вайдам ф и внесем его в выражение для квнетической энергии: с сз Ф= РВ1паО Т*= 2 ИО'+ 2 тр.1п О.
Пользуясь формулой (3 Л2), составим функцию Рауса 1 сз г * сф — 2 + 2 тиз(п О ' т!зз(пзО или ! 1 сз 2 ™ 2 1зг" а(па 0 Отсюда видно. что (см, равенство (3Л4)) 1 сз )'1 = 2 т)зО, В1 =О, Вз = — 2 1п!зз!пзО Так как Н = О, то система гиросиопичесии не связана. Согласно общей теорйи, составим потенциальную эиергию й' = П вЂ” !1, пэю ведевной системы: 1 сз П' = — тй!соз .)- 2 т!зз(пзО (3.27) 90 ГЛ.
НЬ УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ Обозначим значение угла О в установившемся движении через сс, а значение циклической скорости ф через ю. Условие (3,24) осуществимости стационарного движения принимает вид ( — ).== д1У~ сэ сое и дО)е- тй) '" т(зз)пза =0 (3.28) илп, после преобразований, з1паа сэ соз а тздуэ (3.29) Это равенство определяет однопараметрическое семейство решений уравнения (3.28), причем соответствующая величина угловой скорости конического маятнива определяется равенством (3.26) с т(з в1п'а (3.30) Исключая пз равенств (3.29) и (3.30) параметр с, найдем И ыт сов а =— Каи уже отиечалось в примере 1 4 2.6, зто условие стационарного движения конического маятника может быть получено из элементарных сообра1вений, Примем стационарное движение мантника за невозмущенное п исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса с дополнением Ляпунова. Положим О = а + х, внесем в выражение (3.27) для функции И' и разло1кнм разность Иг — Иге в ряд по степеням х: (дО)= 'х+ 2 ( Ю )= ' +'' или, учитыван равенство (3.28), 1 гдэИга (У-)У.= — ( — „, ) х*+...
где точками обозначены члены, содержащие х в степени выше второй. Вычисляя производную, найдем сэ э1пза -)-Зсоэ'а 11 И' — И'э = —. С(и~д1 соэ а+— ' — 2~ тИ е)пз а '1 хэ+... Тан как множитель прн хз положителен, то функция И' имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для вснкого я О = аэа-у решение (3 29) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.26), а циклическая скорость ф = ыневрерывно зависит от тои же постоянной при О = а ~ О. Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стационарное движение конического маятника устойчиво относительно О, О и ф.
Пример 2. Устойчивость стационарных двичсений центра масс искусственного 6 3.6. прнмер)я спутник а 3 ем л и [46). В примере 2 4 2.6 были получены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий искусственного спутника Земли (см. рис. 1.5 и формулы на 26); т Т =- — ( л ' 'с лйцл+гаО'), 2 ч т П = — )л— г Из этих вырахлений видно, что координата у циклическая, а координаты г и О позиционные.
Циклической координате ф соответствует интеграл площадей дТ о — ° =- олгл сова Оф г. дЧл Из этого равенства найдем производную ф и внесем ее в выражение для кинетической энергии: с тгесоэеО ' 2 (" + г ) + 2 тллсовлО Пользуясь формулой (ЗП2), составим функцию Рауса т .. 1 сл Л = Те — сф =, — (г'+ г'О') -)-— 2 2 тг'созл0 тг* соз'Π— с или п~ ..
1 сл Я = — (гэ+ гл02) —— 2 2 тгесое'0 Отслода видно, что (см. равенство (ЗЛ4)) т 1 гл 2 (" +" )' '' ' е 2 тгасоэ'0 Так как 77л = О, то система гироскопически не связана. Согласйо обплей теории., составим потенциальную энергию И' = П вЂ” 77 приведенной системы т 1 сл Иг = — р — -)-— г 2 тгэ созе О (3. 32) дИ' сл е1п О дО т лсовлΠ— О, (3.03) т сл — О, тгл сова О Эти уравнения омелот одиопараметрическое семейство решений сз г=гл= л г = ролл О=О =О, (3. 34) (3,35) причелл соответствующая угловая скорость вращения радиуса-вектора центра масс спутника определяется иа интеграла (3 31); с ф=фе=ел= 3 (3.36) тго Условия икают вкд дИ' — =- лл д» (3.24) осуществимости стационарного движения при- 92 Гл, пг.
устОйчиВОсть БОнсеРВАтиВных систем Как было уже показано в примере 2 $2.0, стационарные длин<ения искусственного спутника представляют гобой дени~ения в плоскости Оху по круговым орбитам радиуса г, с постоянными угловыми скоростями. Йсключая из равенств (3.34) и (3,36) параметр с, найдем юзге =- Р.
Эта формула была получена ранее нз простыл физических соображений (см. равенство (1.30)). Примем стационарное движение спутника за иевозмущеняое н исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса и дополнения Лнпуиова. Положим г = г, + х, внесем зтд в выражение(3.32)для функции И' и разложим разность И' — И', в ряд по степеням х и 0: + 2 ((д~~ )" + (дхд0) х ) (дбз ) )+'' или, учитывая равенства (3,33), Следовательно, 1 Г~ и сз с И' — И'з =- — ~ ~ — 2Р— -(-3 — ) хз+ — Оз~ +..
2 ~( гз иг',) иг' е е е так гсак, согласно равенству (3.34), в установивпгемся движении сз =- Ртзгз, то будем иметь и ! И' — и = — Р— „( —, +0)+... е 2 Из этого выражении видно, что функция И' имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для всякого гз Ф 0 решение (3.34) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.31). Позтоыу на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стациоиарноа движение спутника устойчиво относительно О г, О, 0 и ф. Пример 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа. Рассмотрим симметричное твердое тело, имеющее одну неподвижную точву О и движущееся под действием силы тяжести. Положение оси симиетрии з тела будем определить углоы прецессии ф и углом нутации 0; угол собственного вращения обозначим череа ю (рис.
З.З). Кинетическан Т и потенциальная П энергии такого тела определяются равенствами 1 7=- 2 х 1'ах+юг)+ 2 Хюз, П.=Мдасоз0, й з.з. нвнмния где 1„= 1„и 1, — моменты инерции тела относительно осей Резала л, у, з, а юз, юю ю„— проекции угловой скорости тела на те же оси, М вЂ” масса тела, Ь вЂ” расстояние от его центра тяжести до точки опоры. Пользуясь рис. 3.4, легко найдем ю . = — ф з1п 8, юэ — — 8, ю, = ф + ф соз 8. Внося отп выражения для т„, ык, ю, в кинетическую энергию Т, получим 1 .. 4 Т = 3 1„(ез+ та'Еф') + 3 Х (ф+ сов Еф)~. Так как координаты ф и ф входят в кинетическую энергию Т только через свои скорости ф и ф, а потенциальная энергия П от ннх Рис.
З.З Рис. 3,4 не зависит, то эти координаты циклические, а 0 — позиционная. Циклическим координатам соответствуют два первых интеграла дТ вЂ”. =-1,(ф+созЕФ) =1 л, дт з 3 (З.зу) дT — = 1, з(пз еф + 1, (ч + соз еф) соз 0 = т, где Х,в и т — постоянные интегрирования (множитель 1, введен для удобства). Эти интегралы выражают постоянство кинетического момента относительно осей з и ь соответственно.
Из равенств (3.37) найдем циклические скорости — 1,в Е т — 1зв Е 1 з(пз 0 Ф 1 з)пз Е соз 0 Внесем найденные значения ф и ф в кинетическую энергию. После очевидных преобразований получим 4 (т — 1,л соз 0)з Т*= — 1 Е*+— 3 " 3 1.0ле ' 3 + — 1 лз. 94 ГЛ. 111. УСТОЙЧИВОСТЫ<ОНСЕРВАТИВНй<Х СЙСТЕХ< Пользуясь формулой (ЗИ2), составим функцию Рауса (в рассматриваемом случае с, = 1,и и г = т): $ . 4 (т — 1,п соз 0)г )г = ут — 1 пгу — тф =- — 1 Ох+в г 2 " 2 1ха(п<0 пг — 1,псоз0 ) т — ! псов Π— 1ги в — 1 ° гО сов О) — т 1 е(огэ илн, группируя члены и отбрасывая несущественную постоянную г/1 г ! .
< (т — 1 п сов О)' 2 ' " 2 ухзггггО Сравнивая с равенством (344), найдем 1 . 1 (т — 1гв соз 0)г 1(г= 2 1хО, В<=0, Нг= — 2 1 гп „Мо Составим далее потенциальную энергию приведенной системы 4 (т — 1,п соз О)г )Г™ЕЬсозО+ 2 1 а и напишем условие осуществимости стационарного движения (3.24): ( )- д)Г 1 (т — 1,всоз Ог) (1,п — т соэ 0„) — =. — М,аз(в Ог+ дО )е ,1х зйгг Оо =О. (З.ЗЗ) Считая известными постоянные т и и, из этого уракяенля легко найти угол 0 =- Ог. Для этого достаточно представить данное уравнение е следующей форме: МЕЬ1х соз' О, — (Му)<1х + 1,вт) соз'О, + + (.1ггР + тг) соз Ое + МЕЬ1х — 1,ипг = О. (3.39) Это уравнение определяет семейство решений, зависящее от двух параметров т и и.
Для практических целей удобнее задавать просто начальные условия при 1=0: 0=0„0=0,ф=гр„ф = фп Если теперь выразить постоянные интегрирования т и и по формулам (3.37) через эти'начальные условия, то уравнение (ЗЛО) легко приводится к виду фэт (1х — 1г) ° О, — 1гфефг + Мд) =- О. Это равенство устанавливает связь между начальными условиями даня<ения, при которых осугцествляется стационарное двюкение. Последнее состоит в том, что гироскоп равномерно вращается с угловоп скоростью ф = фе вокруг оси симметрии г, а ось г равномерно вращается вокруг вертикальной оси 9 с угловой скоростью = ф„описывая круговой конус с углом раствора, равным 20, см. рис.
3.3). Такое движение называется регулярной иргчессоей. Исследуем устойчивость регулярной прецессив. Для этого положим О = О, + х, внесем зто в потенциальную энергию Нг про- Я 3.5. ПРИМЕРЫ ведеппой системы и разложим функцию И' — И'а в ряд по степеням з: И' И (- — ) а ) — ( — ) ла-а-... дРД 1 баИ' где точками обозначены члены, содержащие з в степени выше второй. Первое слагаемое на основании равенства (3.38) выпадает, а второе после несложных преобразовапий приводится к виду 1 (т — У„ясоаО )аа)па О„+(У,я+ У,аа сова ба — 2 сов О,)а ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
