Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 18
Текст из файла (страница 18)
21„ з)п'О, Так как при всех апачепиях 8„ие равиых О или я, коэффициент при за положителен, то функция И' имеет в стациопарком движении минимум. Кроме того, для всех Оа, ие равных О или я, решение уравнения (3.38) кепрерывио зависит от постолнных аа и я иктегралов (3.37) (корки алгебраического относительно ооз Ор уравнения (3.39) непрерывно зависят от коэффициентов уравнения). По- атому па основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова регулярная прецессия устойчива относительно О, О, ф и (р. Пример 4. Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравповешепного ротора, установленного в иелииейк ы х о п о р а х [28а).
Рассмотрим абсолютно жесткий уравиовепюняый ротор с вертикальной осью вращеиия, устаповлеииый в жестко укрепленных на неподвижном основавии упругих подшипни- У ках. Будем предполагать, что подшипиики обладают в общем случае иелипейиойподатливостью, в результате чего ось ротора может перемещаться плоскопараллельио '). Собственпое вращение происходит вокруг и с. оси материальной симмаагрки (соответствующие цектробежиые моменты инерции к зксцентриситет е равны О, ш нулю), реакции подшипников приводятся к одной равподействующей Ра, завпсящей от радиальиого перемещения р оси О ротора я направлеппой к точке О, пересечения плоскости движения центра масс с осью поде- Рлс. 3.5 ормировакпых подшипников (рис. .5 — точки О и С при е = О совпадают).
Очевидио, что любая реакция Ра (р) должна обращаться в нуль при отсутствии деформации (р = 0) и в области допустимых деформаций возрастать с увеличением р, т. е. для любой реакции Ра(р) должпы выполняться ') Этим условиям удовлетворлет также движущийся плоско- параллельно уравповешеиный ротор, укрепленный на безынерционном гибком валу, установлеиноы в жестких вертикальлых опорах.
96 гл. Иь устОЙчиВОсть кОнсеРВАтиВных систем условия Рз (0) = О, †„ ) 0 (о ) 0), Яде (ЗАО) — лр кроме того, производная ВРз/Вр должна быть ограничена при р = О, а производная ззР/орэ — непрерывна в тех же пределах. Этим условиям удовлетворяют, в частности, линейная реакция Р„= ср, нелинейные жесткие или мягкие реакции вида Ре = = ср+ эра+ арз, реакции Р = аэро (и) 1) и др. Заметим, что для шариковых подшипников большинство авторов принимает Р, =- аэро, где а = 3/2 (формула Герца).
Очевидно, что потенциальная анергия упругон реакции с П(р) =~Р,(р) Вр а в полояюнии равновесия (р = 0) имеет изолированный минимум (П(0)=0 и П(р))0 при р)0). В сделанных предположениях о материальной симметрии оси ротора движение центра масс и вращательное движение не аависят друг от друга и их можно изучать раздельно. Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси вращающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиальное, но вместе с тем важное замечание: координаты и нх скорости должны быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного дви;кения неуравновешенного отора, установленного в нелинейных подшипниках (см.
пример 5 4.5), удобно пользоваться полярными координатами. Но в поло- жении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р авны нулю (р = О, р =- 0), а полярный угол <р и угловая скорость не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения движения оси ротора (они являются одновременно и уравнения- ми воамущенного движения около полон ения равновесия) имеют вид о тр — т/зрз = — Р (р), — (трам) = О. При р = 0 и любом <р зги.уравнения обращаются в тождества, т. е. они имеют в положении равновесия бесчисленное эшожество ре- шений, что нарушает основное требование о единственности реше- ний уравнений (1.1). Поэтому для зналиаа устойчивости равновес- ного положения оси уравновешенного ротора нельая польаоваться полярными координатами.
В связи с этим введем обычные прямо- угольные координаты э и у точки О, которые и будут характеризовать отклонение оси ротора от поло>кения равновесия в Пеподэижнои системе координат~ з, у. Кинетическая и потенциальная энергии определяются равен- ствами 1 Т = — т (за+ уз), П (з, у) = 1г Р (р) с)з, 2 э Так как потенциальная энергия при з = О, у =- 0 имеет иаолированный минимум, то на основании теоремы Ляпунова заключаем, что равновесное положение оси уравнове1пенного ротора устойчиво относительно с, у, э и у; следовательно, оно устойчиво и относительно р = (/ зз + уз и з = р' е~ + уз.
ГДЛ»А ГЧ УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 4 4.1, Постановка задачи Во многих случаях, особенно в приложениях, устойчивость движения исследуется по уравнениям первого приближения. Это объясняется не только простотой метода, но также и тем, что весьма часто наши знания процессов, происходящих в реальных системах, позволяют надежно определить только первые линейные члены, Однако, как было показано в $1.2 (см. пример на с. 20 — 21), уравнения первого приближения могут дать иногда совершенно неверное заключение об устойчивости движения. Поэтому естественно возникает вопрос об определении условий, при выполнении которых уравнения первого приближения дают правильный ответ об устойчивости движения.
В общем виде задача ставится следующим образом. Даны уравнения возмущенного движения х, = а„х, +... + а,„х„+ Х„ (4 1) т„ = а„,х, + ... + а„„х„ + Х„, где нелинейные члены Х„..., Х„содержат х„..., х„ в степени выпте первой (в этой главе вместо Х; будем писать просто Хе). Требуется определить условия, при которых заключение об устойчивости движения можно составить по уравнениям первого приближения а', = аых, +... + а>ехе, (4.2) х„ = а„,х, + ... + а„„х„ при любых полпнейных членах Х„..., Х„.
Вперзь>е эт» задача была поставлояа А. М. Ляпуновым. Ему же принадлежит ее полное рептение для автономных систем, когда все коэффициенты ае, — постоянные числа, а также для многих случаев неавтономных систем при аан зависящих от времени Ь 4 Д. Р.
мер»аз 98 гл. 1у. устойчивость по пеРвому ИРивлижению $ 4.2. Предварительные замечания В этом параграфе, не определяя вида общего решения уравнений первого приближении, ограничимся напоминанием метода построения характеристического уравнения и некоторыми другими предварительными замечаниями, которые понадобятся в дальнейшем. Для автономной системы (см. с.
21) все коэффициенты а,з уравнений (4.2) — постоянные числа. Частное решение этих уравнений ищется в форме где А„..., Л„, Л вЂ” постоянные числа. Дифференцируя равенства (4.3) по времени, получим: х, =- А,Лех',..., х„-.=- А„ЛеЛ1. Внесем эти выражения для производных х„..., х„ и выражения для х„..., х„из равенств (4.3) в уравнения (4.2) и сократим их на не равный нулю общий мноиситель е1'. Тогда, после группировки членов, будем иметь (а„— Л) А, + а„А, +...
+ а„,Л„=- О, а„А, + (а„— Л) А, +... + а„А„= О, (4.4) апаА1 + алэЛ1 + . + (а„„вЂ” Л) А„= О. Так как эта система линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных А„..., А„ должна иметь решение, отличное от нуля (в противном случае все хп. -= — О), то определитель этой системы должен равняться нулю: а — Л а11 а а (4.5) а ...
а — Л аа ' ' ' ап п1 Полученное уравнение относительно Л называется характеристическим уравнением, а соответствующий определитель — хара теристическим определителем. Характеристическое уравнение содержит неизвестное число Л в степени и. Следовательно, оно имеет и корней Л„Ля ..., Л„. Если среди корней характеристического уравнения нет равных (корни простые), то всегда существует такое а 2.
ЙРкдзагнтготьиыг ЗАмвчанйя неособенное линейное преобразование п за=.,~~~ сс„;х; (Й=-1,..., и), з=г (4.6) (4.7) з„= Л„з„. Переменные з„..., з„называются каноническими переменными (общий случай преобразования линейных дифференциальных уравнений к канояическим переменным при наличии кратных корней характеристического уравнения рассматривается в гл. У). Ксли применить преобразование (4.6) к уравнениям возмущенного движения (4.1), то получим з,=-Л,з,+Я„ ', =- Л,, + г„ (4.6) '„= Л„,. + г„. В этих уравнениях Я„..., ӄ— нелинейные члены, соде жащие з„..., з„в степени, выше первой. Р, аждому комплексному корню Л =- т + ~)г характеристического уравнения (4.5) отвечает сопряженный корень Л =- т — ~р (т и )г — вещественные постоянные числа); им соответствуют комплексно-сопряженные канонические переменные з = и + гп и Е = и — ш, где и и о— вещественные функции времени г.
Вещественным корням Л характеристического уравнения (4.5) отвеча1от вещественные канонические переменные з. Так как коэффициенты аг, преобразования (4.6) постоянные числа, то из устойчивости (неустойчивости) невозмущениого движения относительно переменных ха следует устойчивость (неустойчивость) относительно канонических переменных зг и наоборот.
Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют внд уравнений (4.2) или в канонических переменных — уравнений (4.7). В сделаяных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе- где аг; — некоторые постоянные числа, которое приводит уравнения первого приближения (4.2) к виду з, == Л,г„ з =. Лазы !00 ГЛ»ч УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛПНЕЕНИЮ ренциальные уравнения (4.7) неэависимы друг от друга.
Опи интегрируются элементарно и их общее решение имеет вид 㻠— — гг1~ ' 1 (4.9) » ! гп = — зеив " ' где гп„..., ㄄— эначепия переменных г„..., г„при г =- О. Пусть Х» = У» + 19» — корень характеристического уравнения (если У» Ф 0 и (»» ~ О, то корень комплексный, при у» = 0 и р» ~ 0 корень чисто мнимый, при р» = 0 вещественный н при у» —— р» — — 0 нулевой). Имеем х»! ~ ( (е»4и»цс ~ е~ м ~ си»с~ или, учитывая, что ( еж' / = 1 при любых р» и д ) е» / == е»'.
(4.10) Иэ этого равенства следует, что при с — е сю ) ех(' ) -е О, если у» ( О, 1 е»л'! = 1, если у» =- О, (4.11) (е"~' ( -е оо', если у»,е О. Иэ общего решения (4.9) и предельных равенств (4.11) непосредственно вытека1от следующие теоремы об устойчивости движении линейной автономной системы, имшощей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. Ъ'): 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны (все У» ( 0), то невогмущенное движение аспмнтотпчески устойчиво (все 㻠— е -е 0 нри г -е ос); 2.
Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение неустойчиво (хопгя бы одно г» -е оо нри г — е оо); 3. Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то невозмущениое движение устойчиво, но не асимптотически (все г» ограничены, и часть из них стремится к нулю)»). В следующих параграфах этой главы рассматривается влияние нелинейных членов. ') Первые дпа выпада спрапедлипы и для пратпых корней хараптеристпчсскоеп уравнения. з 4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ф 4.3. Основные теоремы об устойчивости по первому приближению Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
