Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Разложим нелинейные члены в ряды по стекеиям х и з. Тогда, ограничиваясь членами первой степени относительно х и з и учитывая равенства (4.44), получим уравнения первого приближевия возмущенного движения системы около установившегося движения ф =-- а и ф = ек 2рзтРх + ]гатт+ (с+ 2]!стра!апра] х =- 2]гт!зю з1п 2а.з, (д -(-2о!Рюпзс!) з-]-2РтРю ып 2а х = Для простоты обозкачепий введем постоянные времеии Т„Т„Тз и козффициевты усиления 4„4! и й: 2]гзт!з ]гзч ! = с+2]гзт!зззз]пза ' -' с+2пзтРюз ВРа ' Т! Тз = (Т+ 2тРгйо'а) ~ ~ ') ~, ]Ч вЂ” 2итРюпи 2а ~ '( — ) ! 1 4 5. ПРИМЕРЫ Теперь уравнения возмущенного движения примут свой окончательный вид Т-'х + Тот + х = — )егг, Тот + г =- — йах — йг. (4.45) Здесь необходимо отметить, что производная (дМо/дг) положительна (момент сопротивления М возрастает с увеличением угловой снорости ф, т.
е. г), а проивводная (дМ lдх) о отрицательна, так как из самого устройства регулятора видно, что с увеличением подъема муфты М (воарастания х) дроссельная заслонка будет пропускать меньше рабочего тела (см. рис. 4.3). Из этого следует, что коэффициент усиления )еа положителея. Будем искать решение уравнений (4.45) в форме х= Ае, г= Ве ю Найдем отсюда а, х, г и внесем соответствующие значения в уравнения (4.45).
Произведя очевидные преобразования, получим обычным путем следующие алгебраические уравнения: (Тгйр + ТоХ + 1) А — )егВ = О, (В~Д + )а~) А + (Т,К + 1) В = О. Так как эта система однородных уравнений должна иметь решение относительно А и В, отличное от нуля, то определитель этой снстомы равняется пулю: Т,),о+ Т,).+1 .=0 )ег) + хо Тех+1 пап ТаТ )з + (Т' + Торг) )г + (Та + Т, + )ег)е ) ). + 1 + )еайа = О. Для большей наглядности учтем, что члены То и йдй, существенно меньше Т,. На этом основании последнее уравнение можно записать так: ТаТх)~ + (Тг + ТоТо))о т Та).
+ 1 + )ео)е = О. Все коэффициенты этого уравнеяия почонаительны, позтолгу критерий Гурвица (4.30) приводится к одному неравенству Лг = а,ао — аоао > 0 что в нашем случае дает Л, = Т, (Т,Т, — 4,4, Т ) ) О. (4.46) Таково условие асимптотической устойчивости системы двига-, тель — центробежный регулятор. Все постоянные времени Т„Т„ Т, и коэффициенты усиления )еа и )ег легко вычисляются по параметрам системы, и, длн того чтобы успешно осуществлялось регулирование, необходимо прежде всего подчинить их неравенству (4.46), Отметим теперь, что при отсутствии сил сопротивления в регуляторе постоянная времени Т, равна нулю и неравенство (4.46) принимает противоположный смысл: Ьг = — )еа)егТоТгз < О. 118 Гл, гу.
устОЙчиВОсть пО пеРВОму пРиБлижени10 Это означает, что без сил сопротивления регулирование неосуществимо, так как система неустойчива. Возникает, естественно, вопрос: почему десятки тысяч центробежных регуляторов, изготовленных до середины Х!Х столетия, успешно работали? Объясняется ато следуюпшм. Маломощные двигатели имели большие маховики и легкие регулирующие устройства, перемещавшиеся с существенным трением, обусловленным грубым выполнением.
В этих условиях постоянная Т, ~ О, а постоянная То очень велика (за счет больших моментов инерции У маховиков). В результате неравенство (4.46) выполнялось автоматически без заботы об этом конструкторов. При увеличении мощностя двигателя увеличилось число его оборотов и уменьшился момент инерции з маховика (при большомчислеоборотовбольшиеиаховикп не выдержат внутренних напряжений). Это привело к уменьшению постоянной То, в результате чего естественных сил сопротивления, характеризуемых постоянной Тю оказалось недостаточно для выполнения условия устойчивости (4.46). Необходимо было увеличить силы жидкостяого сопротивления, что и было сделано устаяовкой демпфера. Его основная характеристика — постояяяая времени Т„ лежащая в основе расчетов, — легко определяется при заданных То, Т„ йо и йг из неравенства (4.46).
Эти обстоятельства были впервые установлены И. А, Вышнеградским в работе [13), опубликованной в 1876 г, ']. Пример 4. Необходимое условие устойчивости волчка (вращательно го движения с и а р я д а). В примере 3 4 2.6 было получено следующее достаточное условие устойчивости установившегося движения волчка (вращательного движеяия снаряда) отяосительно переменных со, й, 6, 6 ф: (4.47) У,ло ) 47оРЬ Покажем теперь, что пря противоположном смыслезтого неравенства установившееся движение волчка (вращательное движение снаряда) будет неустойчиво. Составим дифференциальные уравнения воамущенного движения.
Выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий волчка были получены в примере 3 4 2.6: 1 1 Т вЂ”. 2 7„(сс~ + (Р соз Я) + 2 Уо (И вЂ” () $!в Я)~, П =- Р1 сов а сов 6. Так как для доказательства неустойчивости движения достаточно показать, что хотя бы одна траектория в возмущенном движении выходит за пределы сферы з, то расслютркл» возмущения (со = = ссо, й== ао 6=()о Ф= йо Ф=фо=л при г.— О), для ') В упомянутой статье И. А. Вышнеградского впервые дан подробный аналиа работы регулятора прямого действия и сделаны практические выводы, оказавшие глубокое влияние на развитие теории и практики автоматического регулировании. Не без основания считается, что зта работа положила основание современной теории регулирования.
9 <К ПЭИМПГЫ 119 которых интеграл дТ вЂ” = ух (<р — )) Ыа «) =- Ухи д$ (4.48) сохраняет свое значение. Чтобы составить уравнения первого приближепия, разложим выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий в ряд по степеням а, и, () и (), сохраняя члены до второго порядка малости включительно. С тошостью до постоянной будем иметь 1 .. 1 Т = 2 ух (а'+ ба)+ — У,(<р — ()а)з, 1 П = — — Р) (аз+ () ).
2 Пользуясь уравнениями Лаграяжа второго рода и интегралом (4.48), получим диффереяциальиые уравпевия первого приближе- пия возмущенного движения волчка отиосительио координат <х, () и скоростей 4 и зр Ухй + У<и5 — Рйх = О, (4.49) У.5- У,ий - Р)5 = О. Обычным путем составим характеристическое уравнение ! -', ухЛ вЂ” УхиЛ УхЛз — Р1)— или УзЛ + (Уз — 2У.Р)) Л + Рз) = О.
(4.50) Критерий Гурвяца для этого характеристического уравпепия применить нельзя, так как перавенства (4.32) пе выполняются (а, .— — О, а, =- О, б, =-. 0) и ии одно из иих ие имеет противоположного <мы<па. Поэтому исследуем это уравнение обычными методами. 1(аждому корню Л = ч + )<1 уравнения (4.50) отвечает корень — Л вЂ” — — ч .)- р< (кеизвестяое число Л содернштся только в четной стевени). Позтому если вещественная часть хотл бы одного корпя ие равна нулю (Не Л =- ч ек 0), то обязательно будет коревь, вещественная часть которого положительна.
Согласко теореме Ляпуяова о неустойчивости по первому приближению (см. $4.3), невоэмущеииое движение в этом случае будет неустойчиво. Из этого следует, что для устойчивости яевозмущеяяого движения волчка необходиью, чтобы все корни характеристического уравнения (4.50) были чисто мнимыми, т. е. имели вид Л = )«, а корни относительно Лз — вещественными отрицательпыми числами.
Но для этого необходимо, чтобы дискриминапт й уравиеяия (4.50) отпосительно Лз был положительным: 0 == (У<и~ — 2дхРОз — 4ухР~Р =- Ххп (Ухп — ду Рй > О. Отсюда видно, что при противоположном смысле неравенства (4,41) дискриминапт В будет отрицателен п, следовательно, установившееся движение волчка (вращательное движение снаряда) сделается неустойчивым. 120 Гл гч устоичиВООть по пеРВОму пРиппижипиго Пример 5.Устойчивость стационарных движений осп вращающегося неуравяовешенного ротора, установленио го в нелин ейиы х иод щи яника х.
!'аяее было показапо (см. пример 4 1 3.5), что равяовесное положение оси уравновешенного ротора устойчиво. Однако уравновешенный ротор (е = О) следует рассматривать как случайное событие, вероятность которого практически равна пулю. В реальпых условиях всегда имеется хотя бы небольшой эксцентриситет е, в результате чего в нелинейных, в частяости шариковых, подшипниках воапикают большие давлейия на опоры, приводящие иногда к раау1 рушеиию последних. Для принятия соответствующих мер предосторожности иеобходимо, прежде и," всего, определить стационарные движения оси ротора и их устойчивость. е Будем, как и в 4 3.5, считать, С ия' ю' что абсолютно твердый ротор мас- сы т с вертикальной осью враСг р щения установлен в жестко укреплепиых ка неподвижном основании упруго податливых подшипниках.
Предполагается, что ротор, эксцептриситет которого е = ОС, движется плоскопараллельио, а Рис. 4.4 собственное вращение, происходящее вокруг оси О с постоянвой частотой ы, осуществляется идеальным двигателем (двигателем неограниченной мощности). Нелинейпые в обедом случае реакции опор приводятся к равиодействующей Ре (р), удовлетворяющей условиям (3.40). Положеиие оси ротора относительно иеподвижноп системы координат Оглу будем определять полярными координатами р и ~р (рис. 4.4).
В сделанных предположевиях относительно двигателя угол между отрезком ОС и осью з' с точностью до начальной фазы равен ыг (ось х' перемещается поступательно, параллельно оси л). Проекции скорости эо оси О ротора на полярные оси координат ре и ~рэ, как известно, определяются равенствами е =Рф. (4ПП) Из рис. 4.4 видпо, что проекции относительной скорости в" с центра масс С па те же оси будут равиы есо — — — юе э1п (ем — <Р), Рс = еы соэ (ыг — ~Р), (4.52) ср= Кинетическую эиерги1о найдем по формуле (12) 1 Т = — т"о+ тэо.эс+ То 2 (4.53) Здесь т — масса ротора, Т" — его кинетическая энергия относительно поступательно перемещающихся осей координат Ол'у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
