Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Очевидно, что То — — э ыЧ2 и в сделанных предположениях Т' =- сопэ$. о 15.5. ПРИМЕРЫ 121 Скалярное произведение сп с" вычислим с помощью равенств ,(4.51) и (4.52): ссз сс = те [ в р в(п (юс — ф) + РФ сов(юр — ф)!. Польвуясь теперь равенством (4.53), найдем с точностью до постоянной кинетическую енергию ротора Г .= — т (р + рзф~) + тые [ — рв)п(ю1 — ф) + рф сов (зег — ф)).
1 2 (4.54) Учитывая силу сопротивления Гс = ртпе, пропорциональную первой степени скорости оси О ()з = сопвс) и пользуясь вторымметопом Лагранжа, получим Лнфференцнальные уравнения движения оси ротора (первое уравнение сокращено на т, второе — па гар) Р' — Рфз — сазе сов (ап — ф) =- — Е (Р) — РР, Г (Р) '= Гз(Р))т, (4 55) рф+ 2рср — сРе вш (сх — гр) = — ррф. В установившемся движения р = г = сопвФ, ф = сз = солев, где постоянные г и у = ьк — ф удовлетворяют равенствам гоР+ еРе сов у .= Е (г), есР ып у = )згы, (4.56) определяющим г и у как фуякцшз ьь Амплитудно-частотная характорсстпка представляет яепрерывиую линяю, лежащую между двумя разомкнутыми ветвями, отвечающими случаю р = О. Точки Аз з пересечения амплитулно-частотной характеристики (4.56) со скслетной кривой (рис. 4.5) ю =х(г), ха = р(г)lг (4.57) определяются равенствами )зг =ех(г), ы= г, у= е ' 2 (4.50) Так, для реакция Гз = а,р будем иметь а ез Ы(з аз р а ез зцз-а) х Дифференцируя равенства (4.56) по ю и исключая затем з)фззсз, получим ([хз(г) — юз) [Г' (г) — ыз) -(- рзсР) " = ~ [2р(г) егозу+)ззгз) кО) Г (4.59) Если коэффициент при ззг)ззю [хз(.) юз)[р'() з) ( „з з (4.60) ие имеет вещественных корней г = г (ю), то амплитудно-частотная характеристика не будет иметь насательных, параллельных оси г; в противном случае такие касательные существуют.
Для примера ка рис. 4.5 показана амплитудно-частотная характеристика для реакпии г = ар" при 1 ( а с 2. Характерззстикс 2 отвечает первый случай (отсутстане вещественных корней аз), а характеристике а— 122 Гл 1ч устОйчиВОсть пО пеРВОтлу пРиБпижеии10 второй случай. Очевидно, что при небольших и очень больших ю, коэффициент аг положителен, а в точках В и С' он равен нулю.
Учитывая, что а, представляет непрерывную функцию ы, получим на участках ОВ н СВ амплитудно-частотной характеристики аг ) О, а на участке ВС этот коэффицигят отрицателен. Положив р =- г+ гг и и = ыт — у + г, (гг — вариации координат), получим иэ (гг.55) уравнения возмущенного движения гг + ргг — 2гюгг + [г'(г) — ы~] гг -- )ггыгг = Яы 4. '1) туг + рггг + 2ыгг + рюгг б- г [и' (г) — ы'] г = Иг.
Здесь /г — члены, содержащие гз и зг в степени выше первой. Характеристическое уравнел 1 ние системы (4.61) приводится Ае'б ь к виду Лг †,- 2ИЛг -] [лг (,) ., У (г) + Чг 1 -~- 2ыг -',— )гг] Лг + [х' (И + -Р 1" (г) + 2сог] Л + [х' (г) — — ыг] 1 1 [Р" (г) — ы'] -', )ггыг = О.
(4.62) е / В силу условия (3.40) опре- делитель рурзица е — А- Лг = [гг[хг (г) — Р' (г)]г + 2[х' (г) + ,т = + В' ( )! (4ыг + (г~), (4.63) и все коэффкцпенты уравнения Рис. 4.5 (4.62), кроме последнего, всегда положительны, поэтому прк а,)О, где а, совпадает с (4.60), стационарное движение будет асимптотически устойчиво относительно р, р, у и ф, а при ал < 0 ото движение неустойчиво, причем оба утверждения не зависят от членов высшего порядка. Уравнению б/ Рис.
4.6 аг = 0 отвечают точки бифуркации, в которых касательные к амплитудно-частотной характеристике параллельны осн г. Поэтому для реакции г =- ар всей характеристике 2 и участкам ОВ и СВ характеристики 8 (рис. 4.5) отвечают асимптотически устойчивые нрецесспи, а участку ВС вЂ” неустойчивые прецессии. На рис. 4.6 показан характер измененггя радиуса орбиты стационарного движения при медленном увеличении (уменьшении) частоты собстяен- 5 4тл ПЕИМЕРЫ 123 ного вращения ротора для мягкой (а) и жесткой (б) упругой податцивости подшипников. Для нелинейной реакции Г, (р) ва восходящей ветви амплитудно-частотной характеристики давление Л' на подшипники может достигнуть значительной величины даже прп ннчтожио малом зксцентриситете.
Действительно, при Ге = аор * (закон Герца, принятый для шариковых подшипннков) уравнение скелетноп кривой 1 (рис. 4.5) принимает вид г =: ючаз = — тзюЧа~. Так как на участке ОАз радиус орбиты г (ю, е) > г (ю, О) =- ттю4)а'„", то прв любом е гй р + 0 суммарное давление Л = аег Л на подшипники будет удовлетворять условию (4.64) аз о Отсюда видно, что при увеличении частоты ю собственного вращения ротора давление Л' на участке ОАз быстро возрастает.
Таким образом, анализ устойчивости объясняет возникновение больших давлений неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках '). Для борьбы с стим нежелательным явлением в некоторых случаях шариковые подшипники устанавливают в линейные упругие обоймы (26а). г) Более подробный разбор устойчивости движения оси неуравновешенного ротора, в частности, с учетом ограниченной мощяостн двигателя содержится в (40а(. гллвл у УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИЕ1ЕИН ЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ $ 5.1. Введение В этой главе будет продолжено рассмотрение методов исследования устойчивости движения линейных автономных систем.
В нормальной форме дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют зид (см. уравнения (1.14)) х,=амх,+...+а„,х„, (5.1) х„ = а,ах1 + ... + а„„х„, где коэффициенты агэ — постоянные вещественные числа. Случай, когда характеристическое уравнение системы (5.1) имеет простые корни, был уже рассмотрен в з 4.2. В этой главе мы будем изучать устойчивость движения при любой структуре корней характеристического уравнения. Решение вопроса об устойчивости систем, возмущенное движение которых описывается уравнениями (5.1), в общем случае требует знания некоторых разделов теории матриц.
Кроме того, вся теория таких уравнений значительно проще и изящнее излагается в матричной форме. Поэтому эта глава начинается с изложения основнмх, а также некоторых специальных разделов теории матриц. Читатель, знакомый с элементами матричного исчисления, может опустить следующий параграф. й б.2. Матрицы и осповпыс действия е ними а) Основные определения.
Всякая система ив и т чисел, расположенных в форме прямоугольной таблицы, содержащей и строк и т столбцов, называется матрицей типа и х т. Числа, составляющие матрицу (т. е. таблицу), называются элементами матрицы; в общем виде их снабжают индексами внизу (перзый индекс озпачает номер строки, второй — номер столбца), а сама $5.2 МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫВ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 125 матрица обозначается соответствующей буквой без индексов. Так, например, матрицу А типа и Х т записывают следующим образом: аы е12...
х1,х 21 22 ' ' ' хт А --— ет ехх ' ' ' опт Сокращенно матрицу можно записать так: А = )! ах;)! (и х т). Если число столбцов равно единице (т — — 11, то получим матрицу-столбец (5.2) х х Если иге число строк равно единице (и =- 1), то получим матрицу-строку у=(!у у )!. (5.3) Любой вектор м с составляющими х„..., х„можно представить как матрицу-столбец х или матрицу-строку ж. В связи с этим рааложение вектора м по ортам (см, сноску па с. 22) м= — хге1+ хеоз+...
+ х„е„ (5А) и представление его в форме матрицы-столбца (5.2) будем считать эквивалентными. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы. Определитель, состоящий из элементов некоторых й строк и й столбцов матрицы, нааывается минором й-го порядка данной матрицы. Так, например, минорами первого порядка будут сами элементы матрицы, и их число равно и т. Для матрицы мох1но составить три существенно различных минора вто- рого порядка 126 Гл. ч.
устоичивость линниных лвтономньгх систем Произведением матрицы иа число называется новая матрица, элементы которой равны проиаведениям соответствующих элементов исходной матрицы на данное число, т. е. ХА =- ) ~( ат; '3 =-.- '3 Ха,; 3 . (5.6) Например, — 4 5(! ( — 3 12 45(' Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, Суммой матриц одного и того же типа называется новая матрица того же типа, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.
Например, ~2 М вЂ” 3) ~) — 3 2 4!! (~ — 1 3 $~ Из сделанных определений следует (латинские буквы оаначают матрицы, греческие — скаляры): А + (В + С) = (А + В) + С, А + В == В + Л, А+О=А, (5.7) (и+ р)А=аА + ()А, и(А+В) =иА+иВ. Произведением двух матриц А и В при условии, что число столбцов первой из них равно числу строк второй, называется третья матрица С, элементы которой образуются по следующему правилу: с„;= ~ аыд„.. |ет (5.8) Для квадратной матрицы А порядка л минор и-го порядка равен определителю матрицы А, который обозначается символом Лес А или ) Л !.
Две матрицы нааываются равными, если числа строк и столбцов их соответственно равны и равны нх соответствующие элементы. Поэтому матричное равенство А = В эквивалентно и т скалярным равенствам азз.=б,;(й=-(,...,п;7'=1,...,ш). (5,5) 5 5 2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ $27 Словами это правило можно прочитать так: элемент матрицы произведения АВ, стоящий в 1с-й строке и у'-м столбце, равен сумме произведений элементов й-й строки первой матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца второй матрицы В. Например, !:.",:.': !Н!.", ':: ';,!!= '1 апьи+ адаЬВ аиЬи+ аиьм аиЬм + аиьп ! )! ааЬИ + амЬаг амьи + агэЬи аиЬи + амЬ,а Произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
