Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Преягде чем перейти к примерам, сделаем три замечания. 1. При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нужно прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один корень, вещественная часть которого поло>кительна, то вопрос об устойчивости решен и нет смысла исследовать злементарные делители, т.
е. решать задачу более сложиуго. Точно так же задача сразу решается, если корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с нулевой вещественной частью соответствуют простые злементарные делители), а остальные кропи имеют отрицательную вещественную часть. Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать только в том случае, если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни с нулевой вещесгпвенной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны. 2.
В некоторых случаях необходимо ответить не только на вопрос об устойчивости движения, но и определить матрицу преобразования Л переменных .т„х„..., т„ в канонические переменные г„г„..., г„. Для етого рациональнее всего воспользоваться равенством (5.50), которое умножением справа иа матрицу Л приводится к виду ВЛ = ЛА.
(5.55) э ЬА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 147 Это матричное уравнение относительно Л содержит две известные матрицы (А задана, а  — нормальная форма Жордана для А и, следовательно, находится по А). Матричное уравнение (5.55) эквивалентно и' скалярным однородным уравнениям относительно я„н выражающим равенство соответствующих элементов. Поэтому имеется бесчисленное множество матриц преобразования Л. Обратную матрицу Л г мокко найти из уравнения Л'В =АЛ', (5.56) которое получается умножением равенства (5.50) слева на Л'.
3. Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к нормальной форме и содерягат производные порядка выше первого. Для того, чтобы определить элементарные делители и решить вопрос об устойчивости, нет нужды приводить систему к нормальной форме — достаточно составить характеристическую Л-матрицу для исходной системы и исследовать ее. Покажем это на примере уравнения Ах+ Вх+ Сх=О. (5.57) Для исследования на устойчивость относительно матриц-столбцов х и х достаточно определить элементарные делители характеристической Л-матрицы У(Л) = АЛз+ВЛ+ С (5.58) Действительно, перейдем к системе первого порядка, для чего положим х = д.
Тогда уравнение (5.57) заменится системой двух уравнений первого порядка Ау = — Вд — Сх. Характеристическая матрица этой системы имеет вид (элементами служат матрицы) ~ — С вЂ” АЛ вЂ” В~ ' Воспользуемся элементарными преобразованиями: умножим второй столбец на Л и сложим его с первым, после чего переставим их 1 — АЛ вЂ”  — АЛэ — ВЛ вЂ” С) ' 143 Гл ч. устОЙчиВОсть линвйным Автономньсх систкм Первую строку умножим на АЛ + 8 и сложим со второй, ватам умножнм второй столбец на — 1: !~О АЛз-) ВЛ+С~=~~В 1(Л)!! что доказывает сделанное замечание.
Пример 1. Исслодуем устойчивость системьс, уревнения возмущенного движения которой имеют вид Г, = — 2х, — хз — хз — хз, .с,=х,— х„ г, = — 4хс+ хз — хз — хз гз = — 5хд + хз + 2хз + 2хз. В примере 1 4 5.3 было установлено, что характеристиюское уравнение бе1 (А — Лй) = О этой матрицы имеет два нулевмх корни и два корня, равных — 1. Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения, так я относительно алементарного делителя, но он не может испортить устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического уравнения, но простой для алементарных делителей.
Следовательно, не- возмущенное движение устойчиво относительно переменных х„ хз ХЗ, Хз. Проиллюстрируем атот вывод. Уравнения возмущенного движения в канонических переменных состоят из трех независимых между собой групп (см. нормальную форму Жордана (5.38) для матрицы А): а, = О, з,= О, Фз = зз 44 = зз 44 (первая группа — первое уравнение, вторая группо — второе уравнение, третья группа — последние два уравнения). Е1апишем общее решение этих уравнений: зс = ззз зз = ззз зз = зззз зз = (ас4+ зззс)4 -с -с ПРи с + оо пеРемеаные зз и зз стРемитса к нУлю, а зс и з, остаютсл без изменения, и при соответствующих начальных усло- виях их модули могут быть сделаны сколь угодно малыми. Следо- вательно, как уже было отмечено, невозмущенное движение устой- чиво отяосительно совокупности канонических переменных зс, зз, зз, зз и тем самым относительно переменных хс, хз, хз, 44.
Пример 2. Исследуем устойчивость системы, уравнения возму- щенного движения которой имеют вид 2хз — хз хз хз хз хз хз гз = — 5хс 2хз 2хз, хз = бхс + 2хз )- Зхз + Зх4. Матрица правой части этих уравнений была рассмотрена в примере 2 4 5.3 (см. матрицу (5.39)). Было установлено, что харак- теристическое уравнение 4)ез(А — ЛЕ) = О этой матрицы имеет два нуяевых корня и два корня, равных — 1. Оба корня кратные 9 ал.
устОЙчиВОсть линеЙных АВтОВОмных снстем 149 как отиосительво характеристического уравнения, так и относительио элемевтариых делителей. Так как вулевой корень кратен относительво элемевтарвого делителя, то вевоэмущеввое движевпе неустойчиво отвосктельво х„ х„ ха, х,. Проиллюстрируем атот вывод. Уравнения возмущевиого движевпя в каиовическвх перемеввых состоят иэ двух везависимых между собой групп (см.
вормальвую форму Жордаиа (5,40)): =х„с = —, х =х — х (первая группа состоит из первого и второго уравнений, а вторая— иэ третьего и четвертого уравиевий). Напишем общее решение втвх ураввевийс хс = асс, хэ = вв + аяС, ха = аие , хс = (хас + хааС)е Так как х, со при с + ~с, то вевоамущевиое движевие неустойчиво относительно совокупвости канонических перемеииых хд, х,, хю хс и, следовательно, отиосительио х„ хэ, ха, х . Пример 3. Устойчивость реэовавса.
Рассмотрим простейший линейный колебательвый контур, иа который действует возмущение, измеияющееся по гармоивческому векову. Диффе- х реициальиое ураввеиие движевия имеет вид х + йэх = Н соа ыс. (5.59) х = с а(пюг. Н лю (5.60) Примем это движеиие аа иевоэмущеввое. Тогда уравнение возмущенного движения будет представлять однородную часть линейного уравнения (5.59) — см. пример 3 5 1.3с х+йэх = О. Составим характеристическое уравиепве Ла + Ла = О.
Так как корни Л = + ЛЧ этого уравнения чисто мнимые и раэличные, то резонанс (5.60) устойчив, ио ие асимптотически. Некоторым атот результат кажется неожидавиым, во следует иметь в виду, что доказава устойчивость процесса, при котором амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают, плаче говоря, иебольшие воэмущеиия ие могут иамеиить общий характер движении, иаображеввого иа рис. 5И. Здесь х — координата, определяющая состояние контура (линейное или угловое перемещевие, ааряд и т.
п.), й — частота его собствеивых колебавий, ю — частота воамущающего воздеиствия, Н = Рис. 5.1 = совет. Иэ элемевтариого курса физики иавество, что при совпадении частот (й = ю) наступает резоиавс, при котором вывуждеипые колебавия определяются равенством (график этого движения показав иа рис. 5.1] ГЛАВА Ч1 ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОИЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 6Л. Введение Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде всего своей универсальностью, и именно поэтому они не могут содержать анализа различных физических факторов, влияющих па устойчивость движения, Между тем во многих случаях такой анализ, проведенный в достаточно общем виде, может оказаться весьма полезным. Б этой главе мы рассмотрим, как влия1от на устойчивость движения различные силы. Исследование влияния структуры сил на устойчивость двиясения началось по существу с работ Томсона и Тета ').
В 1879 г. опи дали общее определение гироскопических сил и доказали четыре теоремы об устойчивости движения. Это направление не раввивалось около семидесяти лет. По-видимому, это можно объяснить тем, что за зти годы была создана общая теория устойчивости движения с ее эффективными методами исследования. Другая причина состоит в том, что теоремы Томсона и Тета были сформулированы только для линейных автономных систем. Наконец, эта теория пе включала неконсервативные позиционные силы, значение которых для многочисленных технических приложений прояснилось в полной мере лишь за последние десятилетия.
В начале пятидесятых годов нашего столетия снова возник интерес к вопросам исследования устойчивости движенин по структуре действующих сил. Было дано строгое доказательство теорем Томсона и Тета, затем эти теоремы были распространены на нелинейные системы и были получены новые результаты, охватывающие неконсервативные позиционные силы. Эти результаты позволяют составить отчетливое фивическое представление о влиянии е) Теорема Лагранжа об устойчивости равиовесия (см. $ 3.1Б имеющая иеиосредствеииое отиошеиве и ивучаемому вопросу, доказана в годы, когда рассматривались практически только консервативные системы. 5 аа клАссиФикАция сил б 6.2. Классификация сил Будем считать, что положение системы определяется д обобщенными координатами д„..., д„а движение ее описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода д дТ дТ вЂ” — — — ==Рз(д д) (й=(, ",д) (6Л) й д1т ддг В этих уравнениях кинетическая энергия системы Я Б т= 2 ХХа1тг дд г=1 д (6.2) представляет определенно-полол1ительную квадратичную форму обобщенных скоростей б с коэффициентами инерции агг (д) = агг (д), зависящими от координат д, а обобщенные силы (2з являются функциями координат д и скоростей д.
Для большей наглядности введем в рассмотрение д-мерное ортогональное пространство (д1,..., д,) и два вектора: Предполагается, что первый вектор определяет изображающую точку М, а второй — силу, прилоя<еиную к этой точке. Перейдем теперь к характеристике сил.
а. Л и н е й н ы е с и л ы. Рассмотрим сначала случай, когда сила 9 линейно зависит от радиуса-вектора д и скорости д изображающей точки Д = — С,д — В,д, где С1 и В, — заданные квадратные матрицы порядка д х з с постояннымн элементами. различных снл на устойчивость движения. Поэтому даже в тех случаях, когда применение их не упрощает чисто вычислительной части анализа, они могут оказаться полезными для качественной оценки отдельных факторов, влияющих на устойчивость движения, особенно в процессе проектирования на этапе завязки системы (см. пример 3 5 6.6 и др.).
152 ГЛ. Ул. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ Разобьем матрицы С, и Вл на симметричные С и В и кососимметричные Р и 6 части, положив (см. (5Л5)— (5. л7)) С, = С+ Р, В, = В+ 6, (6.4) где С=С = — (С + С,), Р= — Р =- — (С вЂ” С ), 1 (6.5)  —.— В'= 2 (Вл+ В,), С = — йг = 2 (Вл — В,). Теперь сила сл принимает вид лл=Х + Л+ Л+ Г. (6.6) Здесь Х = — Сд, Л == — Рд, И =- — Вд, Г =- — ад. (6.7) Сила Х = — Сд с симметричной матрицей С = ~~ с„1 6 называется потенциальной или консервативной, а квадра- тичная форма П=. 2 Сд.д =- 2 ~ ~ слэцлце 1 1 Ъ1ЧЛ (1ь8) т 1 равна потенциальной энергии системы, Составим с помощью симметричной матрицы В = = 9 ЬлеЙ квадратичную форму ъ-л ч-1 р = 2 Вд'д= 2 7 7 1лллблул (6.9) е Если зта функция не отрицательна, то она называется функцией рассеивания или диссипативной функцией Ре- лея", соответствующие силы Х~ = — Вд называются диг- сипативнылли силами с положительным сопротивлением (или просто диссипативными силами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
