Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Дли таких систем уравнения возмущенного движения приводятся к виду Ад + ~>у + С>о = (~<»>. (6. 42) $ В.В. ПостАНОВКА ЗАДАЧИ 165 В этом векторно-матричном уравнении А — определенно-положительная симметричная матрица, В, н С,— йекоторые квадратные матрицы (элементы всех матриц постоянные числа); составляющие вектора 91»> содержат координаты д» и скорости д» в степени выше первой. Воспользуемся формулами (6.4) и (6.5) и рааобьем матрицы В, и С, на симметричные и кососимметричные части. Тогда получим Ад+Вд+Сд+Сд+Рд.=.9(л. (6.43) Кинетическая энергия этой системы определяется равенством (6.44), в котором коэффициенты а»1 следует считать постоянными числами.
Потенциальные, неконсервативные позиционные, гироскопические и дисснпативные силы определяются равенствами (6.7), потенциальная энергия — равенством (6.8), диссипативная функция Релея — равенством (6.9). Уравнение возмущенного движения (6.43) можно представить в двух других формах. Для этого перейдем н новому переменному вектору в по формуле д =.— Ла, где Л вЂ” ортогональная матрица преобразования.
После подстановки в уравнение (6А3) получим АЛа + ВЛй + 6Лй + СЛ- .8 РЛ- -=- Яь Умножим слева обе части этого уравнения на транспонированную матрицу Л' Л'АЛв + Л'ВЛа + Л'СЛй + Л'СЛа + Л'РЛа = Х, (6.44) где Я = Л'Я, — вектор, составляющие которого содержат з» и з» в степени выше первой. Учтем теперь, что матрицы А и С симметричны и, кроме того, матрица А определенно-полон»игольна. На основании второй теоремы 3 5.3 существует такая неособая ортогональная матрица Л, для которой будут справедливы равенства (5.42).
Пусть Л вЂ” такая матрица. Тогда Л АЛ = Е Л СЛ = Со| где Š— единичная, а С — диагональная матрицы. Легко видеть, что матрица Л ВЛ симметричная, а матрицы Л'6Л и Л РЛ вЂ” кососимметричные. Действительно,на основании правила транспонкрования произведения гл. ух Влияние стРуктуРы сил или, учитывая, что матрица С кососнмметричная и для нее справедлива формула (5.16), на основании которой С' = — С, (Л'СЛ)' = — Л'СЛ. Согласно той же формуле (5.16) заключаем, что матрица Л'СЛ кососнмметричная.
Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для матрицы Л РЛ. л'читывал сказанное н принимая во внииание, что Вй = », уравнение (6.44) поясно записать следующим образом: » + Вй + Сй + Сс» + Р» = — л, (6.45) где для простоты симметричная матрица Л ВЛ я кососимметричные матрицы Л'Сл и Л'Рл обозначены прежними буквамя В, С и Р соответственно.
До снх пор мы прнменялн теорему т 5.3 к матрицам А и С уравнения (6.43). Но зту же теорему можно применить для матриц Л и В. Тогда получим еще одну форму уравнения возмущенного движения й + Вай + Сй+ С» + Р» — -Х. (6.46) В уравнениях (6.45) и (6.46) Сс и Вс — диагональные матрицы с вещественными злементами (см, вторую теорему т 5.3): О ...
0 о ь ... о (<'47) 00 "Ь,~ сс 0 ... 0 О с, ... О 0 0 ... с матриц (5.13) имеем (л'вл)' =(вл)(л) = лв(л). Из самого определения следует, что дважды транспоннрованиая матрица равна исходной матрице, т. е. (Л')' = = Л. Кроме того, матрица В симметричная и, следовательно, В' = В (см. (5.15)). Таким образом, (л'вл)' = л'вл, что на основании той же формулы (5.15) служит доказательством симметричности матрицы Л ВЛ. Если вместо симметричной матрицы В взять кососимметрнчную матрицу С (яли Р), то будем иметь (Л'СЛ)' = (Сл)'(Л')' =- Л'С'Л з 6.3.
НостАновкА 3АдАчи 1ст Таким образом, с помощью линейного ортогонального преобразования й = Ля уравнение (6.43) мо'кно привести к одной из двух форм (6.45) или (6.46), причем потенциальные, днссипативные, гироскопические и ноконсервативные позиционные силы преобразуются в силы той же структуры. Очевидно, что на устойчивости (неустойчивости) относительно координат з и скоростей й следует устойчивость (неустойчнвость) относительно координат у и скоростей 4 и наоборот. Поэтому нас не будет интересовать само преобразование о = Ля, приводящее уравнение (6.43) к одному из уравнений (6.45) или (6.46). Достаточно знать, что такое преобразование существует.
Рассмотрим в уравнении (6.46) силу сопротивления — Вкй более подробно. Если коэффициент Ъ» ) О, то составляющая этой силы — Ькзк будет замедлять движение, если же Ьк ( О, то зта составляющая будет ускорять движение. Будем говорить, что диссипативные силы доминируют над ускоряющими, если сумма элементов Ь» матрицы Вк положительна; если же ХЬ» ( О, то ускоряющие силы доминируют над диссипативными. При отсутствии ускоряющих сил среди элементов Ь». матрицы Вк нет отрицательных (но могут быть элементы, равные нулю), а кри полной диссипации все элементы Ь„положительны.
Так как след матрицы и ее определитель являются инвариантами при ортогональном преобразовании, то будем иметь следующие тождества: Яр Во = Х Ь». = — ~~ Ь»к = Бр В =- Яр В» (6 48) »=т Кен с,... с, = бе» С, »)е$ (С + Р) = »)еС Сд. (6.49) Иа первого тождества следует, что вопрос о доминировании диссипативных и ускоряющих сил решается исходной системой (6.42). Кроме системы (6.43), содержащей линейные члены, будем рассматривать частично линеаризованные системы, когда некоторые силы могут не содержать линейных членов. Дифференциальное уравнение таких систем запишем в следующем виде: — (Ау) = — — угад П вЂ” Вд + Г(у, 4) + Л (д). (6.50) л Здесь А (д) — определенно-положительная матрица, элементы которой зависят от координат системы д, В— шз гл. ~ ь влияние стогктх1 ы спл постоянная симметричная матрица, а все остальные члены, стоящие в правой части уравнения, представляют соответственно произвольные потенциальные, гироскопические и неконсерватнвные позиционные силы, удовлетворяющие самым общим определениям.
з 6.4. Коэффициенты устойчивости . Пусть на систему действуют только потенциальные силы, содержащие линейную часть, а все остальные силы отсутствуют (1Э = Г = Я = О). Тогда, пользуясь уравнением (6.45), получим й + Св* — — Я. Это векторно-матричное уравнение эквивалентно в скалярным уравнениям (напомним, что С, — диагональная матрица) т', + с,, =- г„ (6,51) т', + о з, =-- 7„, где функции Уь содержат координаты г, и скорости зт в степени выше первой. Линейная часть каждого уравнения (6.51) содеря<ит только одну координату (такие координаты называются нормальнмми).
Характеристические числа 4-го уравнения этой системы равны и- у — оь. Отсюда следует, что если какое-нибудь число ог положительно, то при отсутствии соответствующего нелинейного члена Я, движение в нормальной координате зг будет устойчиво. Если же какое- нибудь число сг (О, то движение в этой нормальной координате неустойчиво независимо от членов высшего порядка (так как иа двух характеристических чисел р' — сг одно будет положительно — см.
теорему Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения $4.3). В связи с этим числа сь называются коэффициентами устойчивости системы, а число отрицательных чисел сь — степенью неустойчивости (эти определения принадлежат Пуанкаре). В дальнейшем будет иметь значение не число неустойчивых коэффициентов сю а его четность. Пользуясь первым равенством (6.49) в,... о, =-аесС, 1 з 4. коэююицигпты устогзсгпвост» можно определить четность степени неустойчивости си- стемы, не прибегая к непосредственному переходу к нор- мальным координатам (такой переход представляет боль- шой интерес в теоретических исследованиях, но осущест- вить его не менее сложно, чем решить исходную систему). Действительно, если число отрицательных коэффициен- тов, сз четное, то проиаведение сг ...
с, положительно (предполагается, что среди коэффициентов устойчивости нет нулевых). Но тогда из последнего равенства следует, что пеь С > О; если же число отрицательных сз нечетное, то произведение с,... с, отрицательно и, следовательно, де1 С ( О; обратные утверждения, очевидно, тоже спра- ведливы. Таким образом, имеем простое правило; если определитель матрицы С потенциальных сил исходных уравнений возмущенного движения положителен, то сте- гзень неустойчивости системы четная, если же с(е1 С ( О, то степень неустойчивости системы нечетная.
Для иллюстрации этого правила рассмотрим даа простых примера. !. Уравнения возмущенного движения имеют вид Ч, + зз+ 5яс+ 21з = О, ч,+зй, ) 2чг — дз =- О. Система потенциальная, так как матрица коэфйзщяенгон сяя, яя- нейно зззясящях от координат, скзпг*трнчная: '=3' -'! Определитель этой матрицы с1е1 С = — 9 отрицателен. Поэтому, не приводя уравнения к нормальным координатам, можво утверж- дать, что система имеет нечетную степень неустойчивости. Тзк как число координат равно двум, то имеются одпа неустойчивая и одна устойчиван координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
