Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 32
Текст из файла (страница 32)
еь Рассмотрим прежнее многообразие К (д чь О, д =- 0), На нем )'ь =- О, а вне его )Гь > 0 (диссипация полная и, следовательно, Ль( О при ( ~ 0). По условию теоремы в окростности нуля существуют точки, в которых П ~ О. В этих точках при 9 = О функция гь принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содорьш,т целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в предшествующей теорема). Доказательство теоремы следуот теперь из теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения з). ь) В положение равновесия а =- О потенциальной системы должны выполняться равенства (3.2) Вслм частные производные разны нулю з окрестности положения равновесия при ь7 чз О, то равяовесие ие изолировано. ь) Все теоремы этого параграфа были сформулированы Томсоном и Тетом з )879 г.
[58). Строгое доказательство этих теорем для нелинейных систем з некритических случаях принадлежит Н. Г. Четагву [49). Возможпосьь распространить зтя теоремы яа иелинеапыг системы общего вида была доказана в шестидесятых годах нашего столетия рззлячпыьш авторами. 5 6.6.
НРнменение теОРем тОмсОЫА — тетА — 1ГТАГвл 175 Отсюда следует, что с течением времени полная энергия Т + П убывает, рассеивается (разумеется, не исчезает, а переходит в другие виды энергии, например в тепловую). Мощность 1)г и функцию Релея Р на основании формул (6.57) и (6.58) можно рассматривать как меру рассеивания полной энергии Т + П. Этим и объясняется причина, по которой силы положительного сопротивления называют диссипативными силами, а соответствующую функцию Релея Р— диссипативной функцией (лат, йзз1раге — рассеивать). й 6.6. Примеры иа применение теорвм Томсона — Тета — Четаева Иример 1.
Устойчивость волчка. Определяяполо- жепие оси г волчва углами а и р (см. пример 3 4 2.6 я рпс. 2Л5), ми видим, что обо координаты прв яевражаюп1емся волчке иеустой- чнвм (так пак центр тяжести С находится вы1ве точки опоры (рис. 6Л, е]). Таким образом, волчок имеет четное число неустойчивых координат и необходимое условие, налагаемое первой теоремой Томсена и Тета, выполнено.
ДюКереицвальвые уравнения первого приближения воэмуягеяного движения волчка в переменных а и Р были получаем в примере 4 4 4,5 (см. (4,49)); У„а + У,я() — Р1а = О, 1,'Р— У, й 1() = о. (6.59) Из доказанной теоремы следует, что если неустойчивую потенциальную систему стабилизировать гироскопическими силамк (см. начало параграфа), то да>не малые силы сопротивления с полной диссипацией (практически они всегда существуют) разрушат с течением времени достигнутую устойчивость.
Поэтому устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, Томсон и Тет назвали вековой, а устойчивость, полученную с помощьк> гироскопических сил, — вреле11лой. В примере 3 следующего параграфа будет показано, что если кроме дяссипативных сил имеются ускоряющие силы, то гироскопическая стабилизация неустойчивой потенциальной системы может быть осуществлена.
Остановимся еще на физической интерпретации равенств (6.57) и (6.58). Выражение Т + П представляет полную механическую (электромеханическую) энергию. При полной диссипации мощность 1У ( О, а функция Релея Р) О. Поэтому —,(Т-( П)с, О. (76 ГЛ. У<. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ Этл< уравнения можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему Уа<з — Рйа = О, 1„() — Р(6 = О гироскопических сил 3<я()и — /,ни соответственно.
бу' <гу Рис. 6.4 Уравнения (5.5<<6 совпадают с уравнениями (6.52), если поло я<нть Р( з<л г =гл= — —, у .= — ' х у Условие гироскопической стабилизации (6.54) принимает в данном примере вид з,н/у„) 2 (<< Р))у или Узна ) 4Р)7 . ))то условие было получено в примере 3 $2.6 в нелинейной постановке аадачп (см. соотнажение (2.33)). Исли цонтр тяжести С будет нюке точки подвеса (гироскопический маятник) (см.
Рнс. 6Л, З), та абе координаты «н й будут устойчивы. Согласно второй теореме Томсона н Тета, в этом случае устойчивость будет достигаться крн любой угловой скорости а. На основании четвертой теоремы Томсона — Тета - — Ногаева устойчивость волчка временная, а устойчивость гнромаятиика вековая. Пример 2.Устойчиво< ть системы инерцпальн о й н а в н г а ц и и. При использовании систем инерцнальиой навигации для определении координат движущегосн объекта (подводной лодки, самолета, космического корабля и т. п.) измеряют обычно его линейное ускорение н угловую скорость относительно инерцнальной системы отсчета.
Для этой цели люгут быть использованы раалнчные устройства, в частности плагфорл<а с греми 6 З,З, ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТГТЛ вЂ” *1ЕТАГВЛ 177 гироскопами (оин иамеряют составляющие абсолютной угловой скорости) и тремя акселерометрами в„, л, в, (они нааываются также -ньютонометрами) (рис. 6,2), Предположим, что в невозмущенном движении точка О платформы перемещается с постоянной скоростью по параллели Земли, принимаемой аа правильный шар, причем оси х, у, о, жестко связанные с платформой, ориентированы географически (ось х направлена на восток ось у — на север, а ось х — вертикально вверх). Ы работа (3)получены следующие дифференцвальные уравнения воамущекного двкоксиия точки О в кредположе- и нии, что ориситаокя платформы не нарушается: яо (бх) К(бу), Е(бз) — — 2ю — + 2ы У т 3 + (оооо ыг юо) бх = О, Рнс.
6,2 '1 (бу) я (бх) 61о + г К1 + (ыо ыг) бр+ оо оо бо = 0 (6.60) о)о (бо) й (бх) о " — + ыго),бу — (2ы, + ыо) бо = 0 В этих травнеииял х, у, о — координаты точки О в иевоамущенном движении в системе Огхдуоо, (О, — центр Земли, оси О , О О ,з, параллельны осям хх, Оу, Оо), бх, бу, бз — отклонения соот- И 1Хг,,гг, ветствующих координат в возмущенном движении, ыг, ы, — проекции абсолютной угловой скорости платформы на оси у и з (прн рассматриваемом движении ы„= О), оч = — р/го, где р — гравитационная постоянная Земли, г — расстояние от центра Земл е и до точки О в невоамущенном движении.
Для удобства изменим ыасштаб врдйени, положив т= ног, (6.61) и введем безразмерные положительные параметры (0,62) а= юз О>2 о 'о Т огда уравнения возмущенного движения (6.60) примут вкд уг — 2 р'рхо+ 2)1"аоз+ (1 — а — (1),г, =- О, хо+ 2 11'Т~б ог+ (1 — р) хо + Уа~$ хо =- О, (62 6) Уз — 2)/а хг + (/а)) хо — (2 -)-а) го= О. 3есьх =-6, д ь х, =- бх, хо = бд, х, = бо, точками обозначены производ ные и и Исследование устойчивости цвижения хг =- 0 упрощается, гол римеяить теоремы Томсона — Тета — Четаева.
и ГЛ, У|. ПЛИЛИИЕ СТРУКТУРЪ| СИЛ Матрица коэффициентов сил, линейно зависяп|нх от х„.тз, хз, (1 — и — () О О Л = 0 1 (1 Р'й(), (6,64) 0 Р'сс() — (2 + а) ~ симметрична. Поэтому уравнения (6.63) можяо рассматривать как результат наложения яа потенциальную систему — — ())х =О, ха л- (1 — ()) хз )- Р«хрхз = О, (6.65) х, + р«сг()хз — (2 + я)хз = — 0 гироскопических сил — 2(г«~ тз 6 2 ра «з, 2 у'рх|, — 2 у«ах| соответственно. Координата х, нормальиан (первое уравнение (6.65) не свнвано с двумя другими).
Эта координата устоичива, если и + 3 < 1, (6.66) и неустойчива при и + () ) 1. (6.67] На плоскости а, (1 область устойчивости координаты х, находится в первом квадранте (а ) О, (1 ) 0) ниже прямой а + () = 1; область неустопчивастн выше этой прямой (ркс. 6.3). Рис. 6.3 Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений (6.65) ч составим матрицу ковффициентов потенциальных сил: 1 — (1 Ра~ т««с() — (2 + а) Найдем главные диагональные миноры: (6.68) , =. 1 — (), Ь = — и+ 2() — 2. Ниже прямой — а -(- 2(1 — 2 = 0 определитель Л, < О, потому среди координат,га н хз одна устойчипа н одна неугтойчкаа; выше этой прямой 5 ) О н, следовательно, обе координаты неустойчивы (так как прв этом Л < 0) (рис.
6.3). Из скаааннаго следует. 1. В области г (рис. 6.3) координата х, устойчива, а среди координат х, и х одна устойчива и одна неустойчива, т. е. в этой области имеется всего одна неустойчивая координата. 2. В области гХ две коордппаты неустойчивы (х, и одна пз хз хз) 6 6.6. ПРИМЕНЕН%!Е ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТЕТА — ЧЕТАЕВА 179 3. В области 1П все три коордииаты иеустойчивы. На осяоваиии первой теоремы Томсона и Тета гироскопическая стабилиаация в областях 1 и 111 иевоаможяа.
Выясякм, можно ли осуществить гироскопическую стабилизацию в области П. Для этого составим характеристическое уравнение системы (6.63): Л» .[- (1 — и — [1) — 2 [г'()Л 2 1/иЛ 2[/ОЛ Л" -, '(1 — [)) [/иб =-О, (6.69) — 2 [/ иЛ [амир Л» — (2 .[- и) Раскрывая определитель и группируя члены, приведем это уравиеиие к виду з,Л»+ з„Л»+ „= О, (6.70) где а =. 2 (и-). [)), а» = (и [ В)~ 3(1 — а+ 2В) (6.71) а» = (1 с» — В)( — а+ 2[1 2). Так как характеристическое уравнение (6.70) содержит Л только в четиых степенях, то для устойчивости дви»кения иеобходимо и достаточно, чтобы все корни этого уравнения были чисто мнимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
