Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2. Ураввення возмущенного движения имеют вид Юг+ос+ 21з=О Чз 3Чз 1 яз=-О Чз+2есй йз — Чз=-с. Матрица коэффициентов сил, лввейно эавнсящих ог координат, 11 0 2 С .—.— 0 — 3 1 2 1 симмегрячнз. Поэтому система потенциальна. Определитель з4вт- рзцы с1ег С = 14 положителен. На приводя уравненяя к нормаль- ным координатам, можно утвср>здзтгь что если систсма имеет не- устойчязыс коордянаты, го число кх чстног. Легко устзноввть, что неустойчявые коордяязты ямгются и число кх раино двум.
Дейст- вительно, сосгаякы главныг дязгонаяьные миноры матряцы С: Л, — 1 > О, ˄— Л вЂ”. — 3 ( О, Лз = с1ег С =- 14 .э О. о~' гл. ух влиянии стгуктуэы сил Тан наи один нэ определителей Сильвестра (2.8) для матрицы коэффициентов потенциальной энергии отрицателен, то система неустойчива (см. З 3.1), п, следовательно, должны быть неустойчивые иоордииаты. Но число их должно быть четным, а всего координат три. Поэтому система имеет две неустойчивые и олпу устойчивую координаты. й 6.5.
Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия потенциальной системы В реальных условиях на потенциальную систему налагаются диссипативные силы, возникающие за счет сопротивления среды (омического сопротивления) или в результате действия специально установленных устройств. Кроме того, очень часто встречаются системы, на которые действуют не только потенциальные и диссипативные, но и гироскопические силы. Предположим сначала, что невозмущенное движение и = О, й = О под действием одних потенциальных сил неустойчиво.
Естественно возникает вопрос: нельзя лн стабилизировать неустойчивое движение, присоединив к потенциальным силам гироскопические силы? Простые примеры показывают, что в некоторых случаях это осуществимо. Действительно, потенциальная система Х, + с,г, = О, (6.52) йэ + сез, = О при отрицательных с, и с, неустойчива. Присоединим к системе гироскопические силы — ийэ н яз, соответственно. Получии Х, +ййэ+с,г,=О, (6.53) йе — язт + саге = О.
Составим характеристическое уравнение этой системы !'-':" "". =- ' "+ „" ~ =- Л + (й + „+ „ре ) „,, =- О. Так как в этом уравнении ) содержится только в четных стйкенях, то каждому корню ) будет отвечать корень — л, Поэтому, если вещественная часть хотя бы одного корня не равна нулю, то найдется корень, вещественная часть которого положительна. Из этого следует, что устойчивость наступит только в том случае, если все корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми числами, а корни относительно )а — отрицательными веще- а ал, Влияние гигоскопических сил 174 ственными числами. Для этого необходимо и достаточно, .чтобы коэффициенты характеристического уравнения удовлетворяли следующим условиям: сага ) О, у' + сд + са ) О, (ь".
+ сх + са) — 4сьса ) О. Эти три неравенства сводятся к одному условию (напомним, что по предположению са ( 0 и са ( 0) ) у () )' — ох+ у' — сл (6,54) Таким образом, если коэффициент д удовлетворяет этому условию, то неустойчивая потенциальная система (6.52) будет стабилизирована добавлением гироскопических сил — угв и дг,. Вслед за этим возникает другой вопрос: всегда ли можно стабилизировать неустойчивую потенциальную систему гироскопическими силамиу Одно нз необходимых условий гироскопической стабилизации определяет следующая теорема (достаточные условия установлены в работах (38, 49)).
Перваи теорема Томсона — Тета — Четаева. Если неустойчивость изолированного положения равновесия системы при одних потенииальных силах имеет нечетную степень, то гироскопическая стабилизация равновесия невозможна при любых член х, содержащих координаты и скорости в степени выше первой '). Доказательство. Пусть потенциальная система х + Сах = ~ (6.55) имеет нечетную степень неустойчивости. Присоединив к системе произвольные гироскопические силы — бя, получим й + 6х + Сах Я Составим характеристическое уравнение, учитывая, что Са — диагональная, а й — кососимметричная матрицы ла+ с, г„х ...
гых га1Х Ха -~- аа ... га Х =0 .. а*+с, а) Во всех теоремах зтой главы врв отсутствии специальной оговорки рассматривается устойчивость относительно координат н скоростен, лрнчем за неэозмунинное движение нрвннмаетен г = =О, г=о. 172 гл. Ук Влияние структуры сил или, раскрывая определитель и грулнируя члены по степеням е, Л =)'+...+ас,=О. Свободный член этого уравнения равен, ою видно, произведеншо с,... с, (чтобы найти его, достаточно в определителе Ь положить ), == 0): а„= с,... с,.
Из условий теоремы следует, что ате ( О. Действительно, число отрицательных коэффициентов устойчивости с, нечетное и среди них нет нулевых (так как положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с полоекительной вещественной частью (см. пояснение к формулам (4.23)).
Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого прнблиясення (см. з 4.3), и того обстолтельства, что свободный член а„характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. Преясде чем перейти к исследованию влияния гироскопических и диссипативных сил ла равновесие устойчивой потенциальной системы, остановимся на одной формуле, которая нам понадобится в дальнейшем.
Пусть в системе общего вида (6.40) отсутствуют неконсервативные позиционные силы (11т =- 0) д дТ дТ дП + От + Ге. (6.56) Ыс д ) „дз„дат Умножим каждое уравнение на с'т и полученные произведения сложим. Тогда, учитывая равенство (6.13), получим после несложных преобразований — „', (т+ П)=)у, (6.57) где Л' = ХВЫ т — мощность сил сопротивления '). Если силы сопротивления однородны относительно скоростей, то, согласно формуле (6.37), будем иметь — (Т+ П)=- (и+1)г'.
(6.58) Заметим, что для линейных сил сопротивлений и = 1 и правая часть этих равенств будет равна — 2г (именно ') Вывод можно найтн в любом достаточно полном курсе теореткческой механккк (см., напркмер, [12)). з гл, Влиянии Гигоскопичкскнх сил $73 для этого случая формула (6.57) приводится в курсах теоретической механики). Вторая теорема Томсона — Тета — Четаева. ясли изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то при добавлении проигвояьных гироскопическ х и диссииапсивных сил устойчиг вость равновесия сохранится. Доказательство.
Воспользуемся формулой (6.57). Так как мощность Ст диссипативных сил не положительна, то будем иметь Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце $3.2). Поэтому функция Т + П будет определенно-положительной относительно совокупности координат дк и скоростей с'и (см.
доказательство теоремы Лагранжа з 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения (з 2.2). Третья теорема Томсона — Тета — Четаева. Если изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических сил и сил сопротивления с полной диссипацией.
Доказательство. Функция У (д, с') = Т + П определенно-положительна относительно совокупности координат д„и скоростей с'сс (см. теорему 2). Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения определнется равенством (6.57) вайс —, =- сс'(д, с). На многообразии К (д Ф О, д = 0) производнан Р равна нулю, а вне этого множества она отрицательна (по условию теоремы диссипацин полная — см. равенство (6.39)). Покажем, что многообразно К не содернсит целых траекторий системы (6.56). Действительно, при д = 0 кинетическая энергия Т, силы сопротивления Х> (д, с') и гироскопические силы Г (д, с') обращаются в нуль (см.
равенства (6.41) н (6.38)). Следовательно, при д = 0 и д'~ О уравнения (6.56) принимают вид ~дП) О (А 1 е) )74 гл ть Влияпь!а стРуктуРы сил что невозможно при изолированном коложоиии равновесия потенциальной системы '). Доказательство теоремы следует теперь нз теорелгы П. Н. Красовского об асимптотической устойчивости ($2.3). В начале этого параграфа было показано, что в некоторых случаях неустойчивую потенциальную систему можно стабилизировать гироскопическими силами. При доказательстве мы не учитывали диссипативные силы.
Рассмотрим сейчас, какое значение имеют эти силы для гироскопической стабилизации. Четвертая теорема Томсона — Тета — Четаева. Если в окрестности изолированного неустойчивого положения равновесия консервативной системы потенциальная энергия может принимать отрицательные зноченил, то при добаагении сил сопротивления с полной диссипацией и произвольпььх гироскопических сил равновесие останется неустойчивым. Доказательство. Запишем равенство (6.57) в следуиьщей форме: е$', — „' = — Л~, у,=- — (тц П).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
