Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поэтому аз —— Ь,Ьз... Ь. (6. 102) Перейдем к другим коэффициентам а„аз и т. д. Возьмем для примера з,. Втот коаффициеит стоит в равенствах (6.100) множителем при )з~ . Такой множитель может получиться в разложении определителя (6.97), если взять любые з — 2 элемента главной диагонали и умножить вх на минор, который получается из матрицы С вычеркиванием всех строк и столбцов, пересекающихсн на выбранных элементах. Так, например, если мы возьмем элементы Ь„Ью .. „Ь,, то соответствующий минор будет Л Гз-1, з з 1,1,..., з-З " 0 З, з-1 а для элементов Ьз, Ь,..., Ь З,,...,з (у, 0 ~ 611 Взяв всевозмолзные сочетания пч з элементов главной диагонали по з —.
2 алемента и умножиз их на соответствующие миноры, » ь влияние неконсеРВАтггнных снл 191 получим Здесь сумма распространена на все сочетания индексов аю ..., и,, кз 1, 2,..., р, а Аз „вЂ” диагональные минеры матрицы В, получаю»цзеся из яее вычеркиванием строк к столбцов с индексами аю..., и. т Эти миноры представляют собой иососнмметрцчные определители второго порядка, и, следовательно, Ори яе отрицательяы. Для козффициентов з„ар н т. д. получим аналогичные суммы, в которых соответствукицие миноры будут иметь четвертый, шестой и т. д.
порддок. В общем случае будем иметь (и — четное число) (6.103) где (6.104) »»'" зр з' (как кососимметричяые определители чатиого порядка). Пусть теперь все Ь„Ьр,..., Ь, положительны („— определенно-положнтелькая матица). Тогда, принимая во внимание (6ЛО2) — (6.104), получим рр>0, и >О (я=24,...). Пользуясь равенства»и» (6Л01), найдем А > О, чтодоказываот соотношение (6.87).
Рассмотрим теперь случай, когда все Ьг ( 0 (Вр — определеяяо-отрицательная матрица) и р — четное число. Тогда в равенстве (6.103) число множителей Ьр будет четное, произведение Ь ... Ь„ яр-з четного числа отрицательных чисел Ьз будет положительно и все а»„з )~ О (з = 2, 4,..., р). Приниман во внимание, что при четном р козффициеит зр> О, из первого равенства (6.101) найдем А > О. Это доказывает соотношение (6.68).
Перейдем теперь к последнему случаю, когда Ь,, ..., Ь, отрицательны и р — нечетное число. Из равенства (6Л02) яаццем ар ( 0 (произведение нечеткого числа отрицательяых чисел), а из (6ЛОЗ) и (6Л04) получим а „~( 0 (з = 2, 4,..., р — 1). Ич второго равенства (6Л01) следует А (О, что доказывает соотношение (6.89). Осталось доказать соотношение (6.86). Но оно следует из только что доказанных неравенств (6.87) — (6.89). ф (1.8.
Влияние ~а устойчивость равновссия неконссрвативных позиционных сил в. Однцкеконсервативныенозициоиц ы е с к л ы. Рассмотрим сначала случай, когда движение системы происходит ~од действиям одних нскоисервативных сил. Тварема х. Равновесие системы, нахвдаи(вйси ивд действиям одних линейных неяонсервативных позир(ионных 1Э2 Гп, ч!, зл!ип!пв стгукту!'ы спч сил, всегда неустойчиво независимо от членов выси!его порядка. Доказательство. В условиях теоремы уравнения возмущенного движения мол!но привести к виду (6.45), где В=О==С„=О: (6 105) й+Ра== Х Здесь Р— кососимметричная матрица, Я вЂ” матрица-столбец, элементы которой содержат гг и й!. в степени выше первой, причем оки обращаются в нуль, когда все хх и йг равны нулю. Рассмотрим характеристическое уравнение А (Л) = — !)е1 (ЕЛ' + Р) = О.
(6 106) Из устойчивости системы (6.79) относительно скоростей следует, что ке равные нулю корни уравнения (6.85) !)е1 (ЕЛз + СЛ) = Л! !(е( (ЕЛ + ь ) = 0 будут чисто мнимыми числами. Это означает, что отличные от нуля корни уравнения Л (Л) = !(е((ЕЛ + С) = 0 (6.107) имеют вид Л = +. а!, где а — положительное вещественное число ').
Уравнение (6.106) получается иэ уравнения (6.107) простой заменой Л на Лз (матрица Р, так же как и !", косо- симметричная). Поэтому не равные кулю корни характеристического уравнения (6 106) относительно Ле имеют вид Отсюда Л==.+. 2 (1+!.). )' ьа Таким обрааом, среди корней характеристического уравнения (6.106) имеются корпи с положительной вещественной частью. Это доказывает теорему. ь) Легко показать, что о ( — Л) = ( — 1)'а (Л). Следовательно, если Л вЂ” корень ураекеявя А (Х] = О, то — Л топ!е корень етого уравнения. Поэтому, если имеетгп корень, вещественная часть которого ке резва кулю. то должен быть корень, веществеввая часть которого положительна.
Но з етом случае движение будет неустойчиво, что претяворечит доказавпой теореме ! 1 6.7. Из етого следует, что все отлзчяые от нуля корни ураекеявя (6.85) — чисто мнимые числе. е В.з. ВЛИЯНИБ НННОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ 193 В этой теореме преднолаталось, что неконсерватпвные позиционные силы линейны.
Кроме того, не учитывались силы сопротивления, которые практически существуют почти во всех системах. Поэтому рассмотрим теперь случай произвольных неконсервативных позиционных сил, считая, что сила лх (о) обращается в нуль при д = 0 и что эта точка равновесия изолирована, т.
е. .вс (0) = О, Л (д) ~ О, если д Ф О. (6.108) Кроме того, будем считать, что на систему действуют линейные диссипативные силы п возмущенное движение описывается уравнением (6.50). Теорема 2. Равновесие систвхлы, находящейся под дсйспыивм произвольных нвяонссрвативных повииионных сил и линсйных диссипативных сил, всевда неустойчиво. Доказательство. Уравнения возмущенного движения имеют вид (см.
(6.50)) —, (Ад) = ль (д) — Вд. (6ЛОО) Здесь 1ь (д) — произвольная неконсервативная позиционная сила,  — постоянная неотрицательная, а А (д)— определенно-положительная матрица (см. з 5.2, б). Рассмотрим функцию $ = Ад.д + 2 .Вд.д. 1 (6Л10) Вычислим ее полную производную по времени 1'== —,(Ад) д+ Ад д+Вд д. (6Л11) Пользуясь уравнением возмущенного двияеенвя (ОЛОО), найдем Р=-~Д д+Ад д, нли, принимая во внимание общее определение неконсер- ватнвных позиционных сил (6Л5), р =Ад д. ёа мноясестве К (д = О, д Ф 0) производная р = О, а вне этого мно'кества е ) О. Кроме того, множество К не содержит целых траекторий, ибо на Х уравнение (6.109) принимает вид лс(д) =О, дФО, что невозможно в силу условия (6Л08). 7 д. р. мерннн 194 гл.
г! Влияыпы стРуктуРы сил Так как функция У, определенная равенством (6.110), может принимать положительные значения (например, при и = д), то доказательство теоремы 2 следует пз тсоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения (см, 9 2.4). Примечание 1. Для доказательства пе требуется полная дисгяпация, поэтому теорема остается справедливой и при отсутствии сил сопротивления. Примечанге 2. Теорема 1 в обп!ем случае не является следствием теоремы 2, так как входящие в правую часть уравнения (6.105) члены высшего порядка могут быть образованы другими существенно нелинейными силами.
б. Неконсервативные и потенциальн ы е с и л ь!. Перейдем теперь к случаю, когда ыа систему действуют одновременно потенциальные и иекопсервативные позиционные силы. Ограничиваясь пока линейным случаем, возьмем уравнения возмущенного дэни!ения в форме (6.45): й+Со-+Ра =О. (6.112) Здесь Со — диагональная, а Р— кососимметричыая матрицы. Составим характеристическое уравнение: йе1 (ЕЛг + Со + Р) = О. Так как Л содеря итси в этом определителе только в квадратах, то в развернутой форме будем иметь Лм + агЛг'-г + ... + аго гЛг + аг, =- О. (6.113) В этом уравнении аг == с, +... + с,„аг„---- <!е1 (С, + Р), (6.114) где с„..., с, — элементы матрицы Со (см. (6.47)). Левая часть уравнения (6.113) не изменяется от замены Л на — Л, поэтому для устойчпвостинеобходимо, чтобь! все корни этого уравнения относительно Л были чисто мнимыми числами, а относительно Лг — вещественными отрицательными (в противном случае среди корней уравнения (6.113) будут корни с положительной вещественной частью).
На основании теоремы 1 этого параграфа система без потенциальных сил (прп С„= 0) неустойчива. Поэтому мол!но ожидать, что добавление к устойчивой потенциальной системе некопсервативных сил может в некоторых случаях разругпить устойчивость. Покажем на примере, 8 8.8. Влияние неионсеРВАтивных сил 195 ято ноконсервативные поаиционные сил18 могут не только разрушить устойчивость потенциальной системы, но и стабилизировать неустойчивую потенциальную систему. Для этого рассмотрим систему с двумя степонямн свободы. Пусть уравнения возмущенного движения приведены к виду х+ с,х — ру = О, у + с,у+ рх = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
