Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Доказательство. В соответствии с определением доминирования диссипативных п ускоряющих снл будем иметь (см. $6.3, с. 167) Яр В. = Яр В = Яр В, ~ О. г 6.8. Влияние нвконснгвзтивных сил 2О1 На основании первого равенства (6.128) коэффициент а, характеристического уравнения (6Л27) будет отрицателен. Из этого следует, что среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна. Это доказывает теорему.
Теорема 6. При отсутствии нелинейных членов (Я = О) асимптотическую устойчивость нельзя осуществить без диссипативных сил. Доказательство. При отсутствии диссипативных сил а1 = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвнца, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. Теорема 7. Если определитель ! С, ) = ! С + Р ( отрицателен, то система неустойчива при любых гироскопических, диссипативных и ускоряющих силах и вне зависимости от нелинейных членов л.
Доказательство. В условиях теоремы коэффициент аг, характеристического уравнения (6.127) отрицателен (см. второе равенство (6.128)). Из этого следует, что хотя бы один корень уравнения (6Л27) имеет положительную вещественную часть. Это доказывает теорему. Следствие (см, первую теорему Томсона — Тета— Четаева з 6.5).
Если неустойчивость изолированного поло>кения равновесия потенциальной системы имеет нечетную степень, то стабилизировать равновесие нельзя никакимп гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами. Действительно, если система потенциальна, то Р = О и при изолированном равновесии и нечетной степени неустойчивости ( С, ! = ( С ) ( О (см. $ 6.4, с. 169). Теорема 8.
Если линейная система не содержит потенииальных сил, то: 1) при нечетном числе координат асимптотическую устойчивость нельзя осуществить никакими гироскопическилш, диссипативнььии и ускоряющими силами; 2) при четном числе координат для осуществления асимптотической устойчивости необходимо, помимо диссипативных сил, присоединить гироскопические силы (38), Доказательство. Если отсутствуют потенциальные силы и число координат нечетное, то ! С + Р ! = ~ Р ) ам О (как кососимметричный определитель нечетного порядка). В этом случае, согласно (6.128), свободный член аг, характеристического уравнения (6Л27) равен пулю, что 202 Гл.
уь влияние стгуктугы сил служит признаком отсутствия асимптотической устойчивости (имеется нулевой корень). Для доказательства второй части теоремы заметим, что присоединение диссипативных спл необходимо по теореме 6. Если же отсутствуют гироскопические силы, то система неустойчива (теорема 2). Теорема 9. Если потенциальная энергия системы имеет максимум, то: $) при нечетном числе координат и любых нелинейных членах систему нельзя стабилизировать никакими, гироскопическими, неконсервативно позиционными, ускоряющими и диссипативными силами; 2) при четг ом числе координат и при условии„что з,а си~тему действуюгп силы сопротивления с полгюй диссипацией, для стабилизации системы необходимо одновременно присоединить гироскопические и неконсервативно позиционные силы (вне зависимюсти от нелинейных членов) (381.
Доказательство. Рассмотрим уравнение возмущенного движения в форме (6.45). Составим для него характеристическое уравнение Л =- бес (Е).г + Вг, + Я, + С, + Р) = О. Свободный член этого уравнения равен аз, —= деФ (Сь + Р). При максимуме потенциальной энергии все элементы сз, стоящие иа главной диагонали матрицы Сг, будут отрицательны. На основании соотношения (6.89) определитель ) С + Р ! при нечетном числе координат отрьщатолен при любой кососимметрпческой матрице Р. Следовательно, свободный член характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и система на основании теоремы 7 неустойчива.
Рассмотрим теперь случай четного числа координат. Если отсутствуют неконсерватнвные позиционные силы, то система будет неустойчива на основании четвертой теоремы Томсона — Тета — Четаева з 6.5. Если же отсутствуют гироскопические силы, то неустойчивость системы следует из теоремы 4 этого параграфа. Таким образом, для стабилизации системы с четным числом координат необходимо присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы. Теорема доказана полностью. Проиллюстрируем доказанные теоремы сначала формальными причерамн. 5 6.6. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАЪП1 293 Пример 1. Система Нь + Ььзь + Фгтз+ дззз + Рьть + Рззз — згхь =- Хь, *э+ Ьзтз Хьть+ Хз з — Ргзь+ Рзтз — сззз = Хз *з+ Ьзез дзть Хз'з Рьвь Рз*з Сзтз = Хз при сз ) О неустойчива при любых дз, Рз, Ьз ) О и Хз (так как потенциальная энергия П = — ь/, (згзз + с,х,' + ззхзз) имеет в по- ложении равновесия д, =- д, = дз = — О максимум и число коорди- нат нечетное — теорема 9).
Пример 2. Систему хь + Ььсь — с,ль = О, (Ь„>О, сз >О) те + Ьззз — з,зз =- О можно стабилизировать только в том случае, если подходящим образом присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы (так как потенциальная энергия П = = — 1/2 (сгзз+ с тз) имеет в положении равновесия максимум, диссипация полная и число координат четное — теорема 9). Пример 3.
Система дь + дь + (1 + д' + дз) дьдз = О, д', + д, — (1 + д,'+ д",) д';д', = О неустойчива, так как на иее действуют линейные силы сопротивления и иеконсервативно нозициоиные (нелинейные) силы Р, = = — (1 + дз + д") д,д' и Р = (1 + д'- + дз) дздз — теорема 2. Пример 4. Система дП 'д + 21 + Ь)з+ р + Р + д = Рьи)ь дП д+ +р+Р+ =Р/з') неустойчива при любых гироскопических Гз, иеконсервативных позиционных Р„, потенциальных и нелинейных силах Рьзз), так как след матрицы В отрицателен (Яр В = 2 — 4 = — 2) и, следовательно, ускоряющие силы доминируют иад диссипативиыыи— теорема 5 й 6.9. Примеры исследования устойчивости движения систем с неконсервативными силами Интересные и очень важные для техники задачи на исследование устойчивости систем с неконсервативными позиционными силами возникли в теории упругости.
Здесь можно выделить три группы таких задач. Первая связана с упругими системами, подверженными действию так называемых следящих сил, т. е. сил, линия дей- 204 ГЛ. Уг. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ стеня которых совпадает с касательной к упругой оси стержня (см. пример 1). Такие силы могут возникнуть, в частности, при отделении продуктов сгорания реактивной установки. Е. Л. Николаи [41) в 1928 г., по-видимому, первый начал исследование таких систем.
Вторая группа имеет дело с устойчивостью вращающихся валов, а третья — с устойчивостью упругих тел, движущихся в сопротивляющейся среде '). Пример 2 дает некоторое представление об этих задачах. Кроме систем, содержащих упругие тела, существуют различные устройства, в частности гироскопические (см. пример 3), в которых некопсервативные силы соадаются с помощью специальных приспособлений (это делается, в частности, для ускорения переходных нроцессов). Учитывая характер настоящей книги, мы можем рассмотреть только некоторые, наиболее простые аадачи. Пример 1.
М о дель упругого стержня, находящегосяя под действием следящей силы. Рассмотрим два однородных стержня длиной (, я )з. связанных шарннром н спиральной пружвной жссткостн ст Первый стержень может вращаться вокруг неподвжкной опоры О, с которой ок связан другой спнральной пружвной жесткости сы Обе пружвпы находятся в недеформнрованном состояппя, когда стержни расположены по одной прямой (осн х — см.
рнс. 6.7). На второй Рнс. 6.7 стержень действует сила Р, направленная всегда вдоль осн стержня (следящая сила). Эта система может рассматриваться как модель упругого стержня, находящегося под действием следящей силы. Составам днфферекцнальные уравнения возмущенного двпжекня. Кинетическая зкергня системы обычными методами (прн г) См, книгу В. В. Болотина НЦ.
По первой проблеме подробный обзор методов к полученных результатов дан в статье Г. Херрмака (54). й 9.9. системы с ИВНОнсБРВАтивнънки силАми 205 подсчете кинетической энергии второго стержня используется теорема Кйнига) приводится к виду (выписаны члены только второго порядка малости) Т = д/е (аддфд + 2адефдф -(- а..фз), где аи = Хд+ же1д, аде = д!з жз(д(е, атз = Хз+ д/е ж,Р,. Здесь ед — момент инерции первого стержня относительно оси врюцеиия О, и — масса второго стержня, ез — момент инерции второго стернсня относительно его центра тяжести. Потенциальная энергия пружин П, определяется равенством 1 1 П, = — сдф'+ 2 с,(рс — фд)з. Найдем обобщенные силы 9,' и О,,', отвечающие следжцей силе Р. При изменении одного угла ф, (фд = сопзд) работа силы Р равна нулю. Поэтому Р =О.
Дадим теперь прнрюцеине бф, углу ф„оставив угол ф, без изменения, и вычислдцд работу 6А' силы Х' на атом виртуальном перемещении. Имеем 6А = — Рдд здп (фз — ф,) бфд. Отсюда для малых углов О,' = — Рй ( р, — ф,). Полные обобщенные силы, соответствующие углам фд и фз, найдем ко форыуле (для простоты считаем, что вся система расположена на гладкой горизонтальной плоскости, в результате чего силы тяжести исключены из рассмотрения) апд ~к д +(з Пользуясь найденными выражениями, получим (д = — ф+еф, (39 = сзфд — с,ф„ где ед — — сд + сз — Гдд, Ез — — СЗ вЂ” Г'ДД.
Применяя второй метод Лагранжа, составим уравнения возмущенного движения системы опало положения равновесия: аддфд + адзфз + едфд — ее~уз = Фд, аздтрд + азефе — сзфд + озфз = Фз. Здесь Ф, и Ф, — неучтенные ранее члены, содержащие фд и ф в степени выше первой. 206 ГЛ. УЕ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ В этих уравнениях матрица коэффициентов пря координатах 1р, и ~рз не симметрична.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
