Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если все Ь» (1) при 1) г удовлетворяют услониям Ьз(1) <Ь„<О, где бз — постоянные отрицательные числа, то производная Р будет определепно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова и, следовательно, повозмущевное движение хэ = 0 будет асимптотически устойчиво. наконец, если при 1) гэ коэффициенты ьл (1) удовлетворязот условиям Ьт (1) > б„*. > О, где б„— постоянные положительные числа, то невозмущенное движение хх = 0 неустойчвво.
й 7Л. Достаточные условия асимптотической устойчивости системы, жесткость и демпфирование которой нелииейны и зависят явно от времени Возьгущенное движение различных систем очень часто описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка х + а (1, х, х)х + р (1, х, х)х = О, 9 х4. услОВия лсимптотическои устОйчиВОсти 225 где положительные вещественные функции а и Р вещественных переменных 4, л, Е определены в области Г > 4„хз+ Ез~((4 (7. 24) (4„— некоторые положительные постоянные).
"4 ункцию и (4, х, г) можно трактовать как нелинейный, зависящий явно от времени обобщенный коэффициент демпфирования, а функцию р (е, х, й) — как нелинейную, зависящую явно от времени обобщенную жесткость системы. При любых, но постоянных и положительных коэффициентах 44 и р невозмущенное движение х = О, Е = О асимптотически устойчиво. Если же эти коэффициенты, оставаясь положительными, изменяются, то существуют режимы их изменения, при которых движение становится неустойчивым. В тех случаях, когда закон изменения коэффициентов а и Р известен, можно применить тот или иной метод и исследовать устойчивость движения.
Однако в приложениях встречаются случаи, когда характер функций о и Р не определен и известны только границы их изменения в области (7.24) а ~( се (Ю, х, Е) ~( А, д ~( р (4, г, Е) ~( В, (7.25) где а, А, Ь,  — заданные положительные числа (случай а = 0 или Ь = 0 считаем исключенным). Поэтому представляет интерес определить условия для а, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение х = О, й = 0 будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций и и р в заданных границах. (Считая, что функции и и р изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех 4, х, и из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения (7.23).) Заметим прежде всего, что условие а ' О, Ь ) 0 необходимо.
Действительно, если, например, Ь ~( О, то, пользуясь произвольностью 44 н Р, полагаем а = сонары, Р =-Ь ~( О. При этих значениях а и () движение неустойчиво при Ь ( О и устойчиво, но не асимптотически при Ь=О и а=сопз$)О. Перейдем к рассмотрению поставленной задаяв С иомощью подстановки г = х„г = Сл, + Х)х„ (7,26) 8 Д. Р.
Меркез 226 гл. Т11. устОЙчиВОсть нвьвтономных систкм где С и Р— некоторые постоянные, которыми мы распорядимся в дальнейшем соответствующим образом, заменим уравнение (7.23) эквивалентной системой 'х, = Сх, + Рх„х, = ух, + бх,. (7.27) В этих уравнениях функции у и б определены равенствами 7 =- — ", +, б.= — (а + С).
(7.28) Очевидно, что из асимптотической устойчивости относительно переменных х, и х, следует ас1гчптотическая устойчивость относительно х и х, и наоборот. Возьмем функцию у' в следующей форме: $ =-,' (х',+ х'.). Полная производная по времени функции 1', вычисленная в силу уравнений (7.27), после очевидных преобразований приводится к виду Р = Сх~ + (Р + 7)х1х + бх, (7.30) Функция г' определенно-полоя1ительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два -чис1)а С и Р, при которых производная Р будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотическн устойчиво.
Составим матрицу коэффициентов функции с ~ У+у) 1 (11+ 7) и подчиним главные диагональные миноры обобщенному критерию Сильвестра (7.7) Ь =-С~~ — ц "О, Ь1=Сб — — „(Р+у)'>У >О, (7.31) 1 где ц и т — сколь угодно малые положительные постоянные числа. Положив С = — ам где а1 = соввс ) О, мы выполним первое условие (7.31), если потребуем, чтобы число Е 7о.
условия ьсимптотичвсноя устойчивости 227 аг удовлетворяло дополнительному условию 0<3<а,<а = ш(а. (7.32) Пользуясь равенствами (7.28), приведем второе условие (7.3о) к виду Е (Р) = Во — 2 (Е + ~ — 2Т)Ро + (Š— ~)о ~( О, (7.33) где функция Е (~, х, х) = а, (а (~, х, х) — а,) (7.34) на основании (7.32) принимает только положительные значения. Составим уравнение Г (Р) = Р' — 2 (Е + р — 2т)Ро + (Š— р)о = О.
(7.35) Постоянное положительное число т во втором условии (7.3Х) может быть сколь угодно малым. Поэтому будем искать корни уравнения (7.35) в виде ряда Р =Во(о+оот+ ° ° ) (7.36) где Р, — корень уравнения (7.35) при т = О, о( — некоторый коэффициент, а точки означают члены, содержаоцие число т в степени выше первой. Имеем Во=Во(1+ 2оот+...), Р Р (т + 4оХТ +... ). Внесем эти выражения для Р' и Р' в уравнение (7.35) и сгруппнруем члены. Тогда с принятой точностью будем иметь Ро — 2 (Е+ р)Ро+ (Š— р)'+ + 4Ро ((Ро — (Е + ~)Ы + () т + ° ° = — О. Учитывая, что т — произвольное число, получим Ро — 2 (Е + ЯРоо + (Š— ~)' = О.
(Р; '— (Е+ РЫ+ ( =- О. Из первого равенства найдем коони уравнения (7.35) при т=-О: Во Ро )ХДУ + ) гЕ Во Ро ~/Я )/'Е (7 38) 228 ГЛ, У!1. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ Из второго равенства (7.37) определим 17: 1 Е= Е+ б гЭ~о Подставляя сюда значения Р» из (7.38), получим 1 171=ос=в 2 (/ Е(1 1 112 = Ео = 2) ЕР Возвращаясь к равенству (7.36), найдем корни уравнения (7.35) Ро(( У + 2 1/Еф ' ' '/ ' Рг= — Ро= — Рг (1+ + ...) . (7.39) При достаточно малом положительном числе т (его можно сделать сколь угодно малым) выписанные члены определяют характер корней уравнения (7.35).
Так как все корни Р» уравнения (7.35) оказались вещественными, то при фиксированных 8, х, х график функции Г = г" (Р) имеет вид, изображенный на рис. 7.5. При изменении 1„ х, х корни Ро и график функции Р" = г (Р) будут также Рис. 7."о изменяться. Предположим, что области изменения корней Ро имеют Вид, показанный на рис, 7.5. В этом случае для любого числа Р, находящегося между точками юг и М, имеет место неравенство г'(Р) < О.
6 ьа головня лснмптотичвскои тстоичнвостн 229 Это означает, что для случая, изображенного на рис. 7.5, существует постоянное число Р, при котором выполняется второе обобщенное неравенство Сильвестра (7.31) н, следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво относительно х, и хз илн х и х. Из приведенного рассуждения очевиден путь дальнейших действий: для получения асимптотической устойчивости достаточно подчинить корни Р» условиям, прн которых области изменения корней Р, и Р„а также .Р» и Р, не сомкнутся. Иначе говоря, для асимптотической устойчивости достаточно потребовать, чтобы в области (7.24) выполнялись неравенства епр Р, ( 1п1 Р „еир Р з < 1п1 Р,.
Считая, что при достаточно малом т корни (7.39) уравнения (7.35) определяются выписанными членами, приведем последние неравенства к виду (1 + е) зпр Р', (1 — е) 1п1 Р'„ (1 + з) зир Р,'((1 — е) 1п1 Р,', где число т е —— 2!в1 У'ЕВ за счет уменьшения параметра т можно сделать сколь угодно малым. Согласно (7.38), (7.32) и (7.34), будем иметь ,„»д,— г~р ~ — г~» — гв — »" д: зпр14= 1/епр Р— )/1п1 8 = )/аг(А — аг) — )/Ь, (п1Р»»=)ГЫЦ1 -(-)/1ЫР=)/Ь+ )/аг(а — а,).
Теперь условия (7.40) принимают вид з +,дав — »Бди:та <о — ~от -.- ч" .( —,», (1 + е)(1/а»(А — ад) — )/Ь)((1 — з) ()/Ь -)- )/ аг(а — аг)) или )/  — )/Ь ( 2 )/а, (а — аг) — бм (7.41) 1/аг(А — а,) — )/ ц~(а — аг)(2)/Ь вЂ” 6, 230 гл. чп. устОЙчиВОсть неАВтОнОмных систем где положительные числа Бг==е()/Ь + 1/В), Б„= —.
е()/ат(а — аг) + )/аг(А — аг)) можно сделать за счет уменьшения параметра е сколь угодно малыми. Так как все члены, входящие в неравенства (7.41),— постоянные числа, а параметры Б, и Бв моясно выбрать сколь угодно малыми, то последние можно отбросить и заменить неравенства (7.41) на следующие '): )/ — )/Ь с" 2 )/ а, (а — аг), (7,42) 2 Ь~Ь ) )/аг(А — ат) — )/аг(а — ат).~~ Таким образом, если границы а, А, Ь, В функций св (Ь„х, х) и р (г, х, х) удовлетворяют условиям (7.42), то невозмущвнное движение х = О, х = О будет асимпто- тически устойчиво. Число ат в промежутке (Ч, а), где ц сколь угодно мало, можно выбрать проиввольно.
Поль- зуясь этим обстоятельством, условия (7.42) можно уси- ливать в желаемом направлении. Рассьготрим три частных случая. 1. Жесткость системы постоянна (р = сопе1). В этом случае В = Ь и оба неравенства (7.42) будут выполнены, если верхний предел функции а (1, х, х) конечен. Действительно, первое неравенство (7.42) при В = Ь выполняется для всех а ) О. Если взять число а, достаточно малым, то второе неравенство будет также.
удовлетворено при любом Ь ) О и любом конечном А = = зпр а (1, х, Х). Таким образом, при постоянной жост- костп системы (р = сопеЬ) невозмущенное движение х = О н х = О асимптотически устойчиво при любом перемен- ном, но ограниченном коэффициенте демпфирования а (1, х, Х). 2. Коэффициент демпфирования но- с т о я н е н (а = сопзФ). В этом случае А = а и второе условие (7.42) выполняетсн автоматически. В первом усло- вии положим а, = а/2 (при а, = а/2 выражение а, (а — а,) достигает максимума). Тогда первое условие (7.42) при- водится к виду а) у  — угЬ. (7.43) т) Если два числа в и Ь связаны неравенством а ( Ь, то между ними всегда можно вставить чнсло а + б такое, что а + б < Ьили о<Ь вЂ” б, где б>0. е гл.
системы с пкгиодическими КОЭФФицивптами 231 Таким образом, невозмущенное данн<ение х = О, в = = О будет асимптотически устойчиво при любой переменной жесткости р ((, л, и), если только постоянный коэффициент демпфированпн сь = а удовлетворяет условию (7.43). 3. Если считать В и Ь заданными, то, пользуясь свободой выбора числа аы можно установить нижнюю границу а для а ((, л, й) и соответствующую верхнюю границу А. Для этого снова полагаем а, = а/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
