Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(7.81) Так как решение е (1) является вещественной функцией, то произвольные постоянные Сг и Сю а также периодические функции ~р, (г) и е7, (г) должны быть вещественными величинами. Второе слагаемое в равенстве (7.81) быстро затухает (а ) О) н практически можно ограничиться первым членом е (7) = С,е 'р, (7). (7.82) ыз этого решения видно, что максимальные значения (амплитуды) функции е (г) возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен е'т =- = р ) 1. Примерный вид графика решения (7.82) показан Рас.
7.С на рис. 7.6 (этот график зависит от вида периодической функции ч7, (г), которая, как правило, нам неизвестна). Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров е и б из области устойчивости. Как было установлено, в этой области оба корня р, и р, уравнения (7.78) — комплексно-сопряженные числа, причем ) р, ) = ) р, ) =- 1. На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (р, = р) 7 а'л- г ()п~р~-+7агйр) или, учитывая, что 1в ( р ) = 1п 1 = О, е, Ь аг =- — „1, а7 ==- — — 7, Т ' Т (7.83) 244 ГЛ.
У11. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ где (7.84) й=- )агар(. ~е ~1 А ( — 1 тшео)1 — ( — Н- Кис) х(4), у(Г) [а~т ' .~ е т Пользуясь известной формулой 2 ( + )=-соз", н получим х(Г) .—.Ау(~)соз ~ —,Г+ У(г)+ ~~ (7,86) х(1) =-. )1(1)соа( —,, 1+ ~) + 11(Г)з1п ( — „Г+ ~), (7 87) или где функции р (1) и 11 (1) определены равенствами )А (Г) =- Ау (Г) соз У (Г), ц (~) = — Ау (Г) з1Н т (Г). (7,88) В общем решении(7.86) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа А и р определяются из начальных условий движения, а у (Г) и у (1) или )1 (1) и ц (1) — вещественные периодические функции, период Т которых равен периоду возбуждающей функции ф (1).
Как правило, функции 7 (~) и т (~) (тем самым и функции р (1) и ц (1)), а также число )е = ) агя р ( определить в замкнутой форме мы не можем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из этих равенств мы можем составить общее представление о характере устойчивых решений уравнения Хилла.
Действительно, из равенства (7.87) видно, что общее решени1 Гак как а1 и а, — комплексно-сопряженные числа, а решение х (Г) является вещественной функцией, то постоянные интегрирования С, и Се, а также периодические функции 1р1 (8) и 1ре (~) должны быть комплексно-сопряженными величинами. Представим их в показательной форме С1=- —. Аеа1, С =- —, Ае З1„ 2 ер, (г) =. 7 (г) е'1О', 1р, =- 7 (1) е-'1'и. (7,85) Внося выражения для а;, С, и 1р1 в равенство (7.80), най- дем з 7.6.
Решения уРАВнениЙ хиллА и НАтье 245 представляет комбинацию периодических функций с пе- 2я риодами Тд = Т и Т„= — Т. Если периоды Т, и Т, = й несоизмеримы, то устойчивое решение уравнения Хилла не является периодической функцией времени. Если >ке отношение Т, Тд 2я представляет рациональное число, то устойчивое решение уравнения Хилла является периодической функцией. Из равенства (7.86) можно составить и общее представление о графике устойчивого решения.
Для случая, когда Т, (~ Т, (й <= йл), примерньдй график решения (7,86) Рис. 7,7 изображен на рис. 7.7 (он напоминает график колебаний при биении). Заметим, что колебания системы, вызванные возбуждающей функцией, называются параметрическими колебаниями. Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, по имеющем большое значение случае, когда разлондение (7.74) функции р (д) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е. Ае 2л 2я р(Г)= — + А>сов — 7+ Вдздп — Г, 2 Т Т Положим А, = А соз 7, Вд — — А здп 7, где А и 7 — некоторые постоянные. В этих обозначениях будем иметь р (1) =- —, + А сов ~ — Т Г вЂ” 7) Ап д 2к 246 Гп. Т11, устОЙчиВОсть неавтономных систем Внеся р (4) в уравнение (7.73), получим -~-; + ~ — ' + А сов( — г — 7) ~ х = — О.
Перейдем теперь к безразмерному времени т по формуле 2я — 4 — у =- т. Т Отсюда 1(4 == — Йт Т 2а и последнее уравнение примет свой окончательный вид Нее — „,, +(6+ есозт)х=.О, (7.89) где Те А» Те 6== — —" з=.— А. 4ае 2 ' 4не Уравнение (7.89) называется уравнением Матье; оно является, конечно, частным случаем уравнения Хилла (7.76).
Возбуждающая функция равна соэ т, а ее период равен 2п. В соответствии с примечанием к (7.79) будем искать те значения 6 и е, при которых существуют периодические решения периодов 2и и 4и. Из самой формы уравнения (7.89) видно, что если функция х = х (т) есть решение уравнения (7.89), то функции х = х ( — т) и х = = — х (т) будут также решениями этого уравнения.
Из этого следует, что среди периодических решений уравнения Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решения периода 2п будем искать в форме х= — '+ ~ аесоейт, (7АИ) 1'=1 а нечетные периодические решения того же периода— в форме х=. ~ Ь„а1айт. (7.92,' а=1 Периодические реп1ения периода 4п представим аналогич.
ными рядами: х= — + т аа соз —,, х — ~()аа1 —, (7.93' 1=1 5 7л. Решения уРАВнений хиллА и НАтье 247 Остановимся более подробно на решении (7.91). Продифференцировав обе части уравнения (7.91) два раза по времени т, найдем аак — — еаа. соя Ет. ата— 2=1 Внеся это выражение и выражение (7.91) для а в уравнение (7.89), получим а — й'а, соя йт+ (б+ есоят)( 2 + ~ аксояйт) =О. К=1 1=1 Раскроем скобки и воспользуемся формулой 7 соятсояйт —....— (соя(й -]- 1)т+ соя(й — 1)т]. Тогда последнее уравнение примет вид — ао+ 2 (б — я )аксояйт + 2 + — ] ао соя т + ~~ як (соя (12 + 1) т + соя (й — 1) т]~ = О.
(7.94) Преобразуем выражение в фигурных скобках. Имеем а (...) =аосоят+ Д аксая(а+ 1) т+ ~ а, соя(й — 1)т= 1'=1 К=1 — аосоят+'~ ак асояйт + ~ ака,соя йт. 1=2 к=о Слагаемое ао соя т внесем в первую сумму, а из второй суммы выделим первое слагаемое, после чего объединим обе суммы. Тогда получим (...) =. ак+ ~ (аа-1 -]- ак+1) соя йт. 1=-1 Теперь равенство (7.94) можно записать в следующей форме: 6 о — ао+ —,а1 "; 2 2 — а, + (б — й ) ак + — ак,а~ соЯ йт = О.
Ч7Г к 2 2=1 248 гл. тн, гстоичнвость ивхвтоиомиых систвм Так как это равенство должно выполняться для всех значений т, то отсюда следует бае + еа, = О, е е е. — ае-г+ (6 — йе)ае+ — 'аее,— О (й=-1, 2, ...). Запишем эту систему равенств более подробно, учиты- вая, что индекс й принимает значения 1, 2,...: бае + еае = О, — . + (6 — 1) ~ + —,' ., = О, (7.95) — а1+ (6 — 4) а.
+ — 'аз=О, 2 Эти линейные однородные уравнения относительно а„ а„а„... должны иметь решение, отличное от нуля (так как существует периодическое решение (7.91)). Поэтому определитель этой системы должен равняться нулю' е е о о о е е — 8 †2 2 о о е е Π—. Π— 4 — О 2 2 = О. (7.96) о о — ',, о — о 2 о о о —, о — 18 2 Это уравнение, содержащее в левой части определитель с бесконечным числом строк и столбцов (он называется определиаылеэе Хилла), устанавливает искомую зависимость между 6 и е: 6 =-6(е), при которой существует периодическое решение вида (7.91).
В явной форме зту зависимость можно установить следующим образом. Раскроем определитель (7.96) при конечном и. Тогда получим обычное алгебраическое уравнение, из которого найдем приближенное решение 6„= бе (е). Точное решение получается при п — э. оо (это решение можно представить в форме сходящихся рядов). График функции 6 = 6 (е) определяет одну из границ области устойчивости решений уравнения Матье в ф 7 б. Решения уРАВненин хиллА и ИАтье 249 пространстве параметров б и е (ниже будет дано решение уравнения (7.96) прп ~ е ! (~1). Аналогкчпыми методамя получаются три других уравнения для периодических решений вида (7.92) и (7.93): 6 — 1 — 0 0 2 -2- 6 — 4 2 0 =. О, (7.97) 0 — ' Ь вЂ” 0 2 2 ΠΠ— ' 5 — 10 2 1 е 6 — — +— г 2 9 6 —— 4 2 25 5 —— 4 = О, (7.98) 2 49 6 —— 4 1 е Ь вЂ” — —— 4 2 е 2 9 5 —— =О, (7.99) е 2 49 Ь вЂ” —, 4 з 2 Таким путем определя7отся области устойчивости для уравнения Матье; результаты приведены на диаграмме Айнса — Стретта (рис.
7.8), где областям устойчивости соответствуют заштрихованные поля, а областям неустойчивости — белые поля. Диаграмма дана только для е ~) О; для е ( О она получается зеркальным отображениеи относительно оси б. Отдельные области смыкаются между собой в точках 6 = — из74 и е = О, где и — целое число. Как видно из диаграммы, область устойчивости существует и прн отрицательных б. Очевидно, что аналогич- 250 Гл. У!1 устончиВОсть неАВтОКОмных систем ными методами можно построить соответствующую диаграмму и для уравнения Хллла (7.78), разложив предварительно возбуждающую функцию 1Р (1) в ряд Фурье. Проследим за изменением свойств параметрических колебаний при изменении частоты ю = 2тй~Т возбуждении. Пусть частоте о1 на диаграмме Айнса — Стретта б 7 Ю Я,1Р Рис. 7.8 отвечает точка ЛХ (см.
рис. 7.8). Соответствующие значения параметров 6 и е найдем ич формул (7.90): Ао А 6 =.— —., е —— 2оР ' он (7 100) Из этих равенств видно, что при увеличении частоты возбуждения ю параметры 6 и е будут уменьшаться, а точка М будет перемещаться по прямой (7.101) аснмптотически приближаясь к началу координат (на рис. 7.8 эта прямая показана пунктиром). Из рисунка видно, что прямая (7.101) пересекает области устойчивости и неустойчивости, Зто означает, что нри увеличении частоты возбуждения ю устойчивые и неустойчивые состояния системы будут чередоваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
