Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 47
Текст из файла (страница 47)
На с. 251 было показано, что при малом е критические точки длн 6 определяются равенством 6 = лз/4, или /гз/юз = лз/4, где и = 1, 2, 3,... Отсюда получим го = 2з/и, т, е. формулу (7.124). В заключение этого примера заметим, что условие устойчивости (7,122) справедливо и для случая, когда одно из чисел 6, 6 р е = = йз. и 6 — з = й' илн зсе ови отрицательны. Для этого достаточно перейти от тригонометрических функций мнимых аргументов к гиперболическим функциям действительных величин. ГЛАВА ЧШ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ й 8,1. Введение В большинстве случаев системы автоматического регулирования представляют сложные устройства, состоящие иэ объекта регулирования и регуляторов.
Назначение последних состоит в том, чтобы непрерывно поддерживать в объекте регулирования установившийся режим работы или режим, изменяющийся по заданному закону. Все отклонения от заданного режима, возникающие в системе регулирования, должны быть с течением времени сведены практически к нулю. Иначе говоря, система регулирования должна быть асимптотически устойчива.
Начиная с работ И. А. Вышнеградского, о которых рассказывалось во введении и третьем примере з 4.5, при исследовании устойчивости систем автоматического регулирования применяется метод линеаризации с дальнейшим использованием рааличных критериев (Гурвица, Рауса, Найквиста, Михайлова и др.). Обоснованием этого метода служат теоремы Ляпунова об устойчивости двиясения по уравнениям первого приближения (см. 4 4.3). В 1944 г. появилась небольшая заметка А. И, Лурье и В. Н. Постникова (34), в которой для исследования устойчивости движения конкретной системы автоматического регулирования был применен прямой методЛяпунова. Устойчивость рассматривалась в целом, т.
е. при лзобых начальных возмущениях и любой нелинейности сервомотора, подчиненной некоторым условиям (такая устойчивость получила название абсолютной устойчивости). В дальнейшем А. И. Лурье в ряде работ развил идеи, заложенные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33), опубликованной в 1951 г., А.
И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию ЕЗ2 гл. Тш. системы Автомхтпческого Регулиговхния абсолютной устойчивости регулируемых систем до хорошо разработанного алгоритма. Результаты, полученные А. И. Лурье, послужили отправной точкой для дальнейших исследований абсолютной устойчивости. В этой работе приняли активное участие ученые различных стран. Не имея возможности упомянуть всех авторов, отметим прежде всего работы советских ученых А.
М. Летова (3[], Е. А. Барбашина [5, 6), М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [2], В. А. Якубовича [50, 5$, 52, 53], работы американских ученых Р. В. Калмана [55], Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца [29, 32], румынского ученого В. М. Попова [43]. Последнему принадлежит введение частотных методов в исследоваяие абсолютной устойчивости, позволивших расширить класс рассматриваемых систем.
Учитывая характер настоящего руководства, в этой главе мы кратко изложим основные идеи и результаты А. И. Лурье. й 8.2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем автоматического регулирования Во многих случаях система автоматического регулирования состоит из объекта регулирования, чувствительных элементов (измерителей), суммирующего прибора, сервомотора и механизма обратной связи. Структурная схема такой системы изображена на рис.
8.1. Под регулятором понимается совокупность измерителей и суммирующего прибора; иногда в регулятор включают и сервомотор с механизмом обратной связи. Параметры, характеризующие состояние объекта регулирования при нарушении устаяовившегося режима работы, замеряются чувствительными элементами (измерителями), показания которых вместе с сигналом Ь механизма обратной связи подаются на суммирующий прибор. Последний вырабатывает команду а, управляющую серводвигателем, который в свою очередь устаяавливает в надлежащее положение регулирующий орган объекта регулирования и воздействует одновременно на механизм обратной связи. Обозначим через х„ ..., х„ параметры, характеризующие состояние объекта регулирования, а также координаты и скорости чувствительных элементов.
З 8 х уРАВнения Возмущенного дВижения 883 Будем считать, что изменение этих величин при разпмкнутой цепи (отключенвом серводвигателе) описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами йз = ~~~~~ ал х1 (й == 1, ..., и). При замкнутой цепи на изменение величин х„..., х„ будет влиять регулирующий орган. Обозначая через Рвс. 8.1 параметр, характеризующий положение последнего, и учитывая предположение о линейности системы, получим днфференпиальные уравнения объекта регулирования н чувствительных элементов при включенном серводвигателе: хл=- Х алзхз+ Ьлз (Й==-1,..., и). (8.1) 1=-л В конкретных системах некоторые из коэффициентов аьт и Ь, будут, конечно, равны нулю, в частности, в уравнениях, соответствующих чувствительным элементам, постоянные Ьл = О.
Будем считать, что механизм обратнойсзязи осуществляется с помощью жесткого выключателя. В этом случае выходная величина ь механизма обратной связи будет пропорциональна его входной величине 264 Гл. Рпь спстГмы лвтОМАТП'1яскОГО РеГГОПИРОВАппя Суммирукпций прибор, складывая показания чувствительных элементов, дает на вход сервомотора величину а=-,~~ с;х; — г$, (8.3) 1=1 где с; и г — передаточные числа. Передаточное число г называется коэффициентом обратиой связи. В разумно построенной системе регулирования коэффициент обратной связи положителен, т, е. Рис. 8.2 г О.
При отсутствии механизма обратной связи г = — О; кроме того, передаточные числа сгь соответствующие параметрам объекта регулирования, также равны нулю. Связь между входной величиной а серводвигателя и его выходной величиной в случае непрямого регулирования выражается зависимостью 4 = 1(а), где функция) (а) называется характеристикой сереомотора.
Характеристика сервомотора может быть линейной, но значительно ча1це она носит нелинейный характер. На рис. 8.2 показаны некоторыв типичные примеры нелинейности функции / (а). Характеристики а и 6 непрерывны, а другив две разрывны. В дальнейшем будем предполагать, что характеристики ) (а) удовлетворяют следующим условиям. 1. Функция ~ (а) определена и непрерывна при всех значениях а; 2.
) (О) = О; е 8 з углвнения возмущенного движвния 265 ~ г(о)е(а, ~ ~(а)е(а (8.5) расходятся. Характеристики типа б и г имеют зону нечувствительности (в промежутке (ам аг) значения функции Г (о) равны нулго при о ф= 0). Анализ решений и устойчивости систем, дифференциальные уравнения которых содержат функции с зоной нечувствительности и разрывной нелинейностыо, нельзя рассматривать в рамках общей теории. Они требуют специального исследования, выходящего за рамки настоящей книги. Второе и третье условия не требуют пояснения.
Заметим только, что третьему условн1о не удовлетворяют характеристики с зоной нечувствительности, так как произведение а) (о) равно нулю во всем промежутке (о„оз), где о имеет значения, отличные от нуля. Последнее, четвертое, условие практически всегда выполняется.
Действительно, геометрически это условие означает, что площадь под характеристикой неограниченно возрастает при а — э оо. Так как участки характеристики, параллельные оси а, для реальных сервомоторов неограниченно продолжаются вправо и влево (эти участки практически образуются за счет того, что орган, управля1ощий сервомотором, ложится на упоры), то четвертое условие фактически реализуется всегда. Однако мыслимы и другие сервомоторы, поэтому зто условие следует предусмотреть (значение его будет объяснено в следующем параграфе). Функции ) (о), удовлетворя1ощие перечисленным условиям, называются допустимыми характеристиками. Уравнения (8.1), (8.3) и (8.4) определяют возмущенное движение системы непрямого регулирования с одним регулирующим органами жесткой обратной связью. Выпишем эти уравнения еще раз, собрав их вместе х„=- ~ аззхг + 6,Д, г-1 4=.) (о), а =.— ~ с,хз — гс. (8.6) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
