Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Р. Мнрннн 274 Гл. тпь снствмы Автомлтичвскохо Ркстлиэовлния При таких аг, аг,..., а„производная»» примет вид в =-. [~ аггг+ )Гг)(о)1г— г-1 г и — гг — е [;» (Хт, д + )»гг) ггг дггт + ,"~~ Х„,гг,'в,г1. (8 26) с=1 г=г Первое слагаемое не отрицательно (по условию комплексные слагаемые входят в сумму Еа»гг попарно с сопряженными, поэтому эта сумма представляет вещественное число). Кроме того, по условию е ) О, числа ) гг, + Хгг и Хи~в отрицательны (Хгг = Хгг,и Ве Х„( г (О), а множители ггг дяга и г„„г — положительные вещественные числа (по условию ггк = ггггы яг.м вещественны). Отсюда следует, что при всех а,, аг,..., а„, удовлетворяющих уравнениям (8.25), производная Р будет определенно-полоявительпой функцией переменных г„... ..., г„н и независимо от вида допустимой характеристики 7 (о).
Кроме тото, функция Г определенно-отрицательна и при выполнении условия (8.5) она удовлетворяет всем требованиям теоремы Барбатина — Красовского (см. т 2.3) (квадратичные формы, входящие в функцию (8.23), стремятся к бесконечности при ! г ( —: оо, а интеграл стремится к бесконечности при ) о ) —.- оо в силу условия (8.5)). Прежде чем перейти к выводам, сделаем одно замечание относительно уравнений (8.25). Положительное число з можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов наличие числа е не может изменить характера этих корней. На этом основании слагаемые ебг можно просто отбросить и вместо уравнений (8.25) рассматривать следующие уравнения (при е = О все уравнения имеют одинаковую структуру): ее + 2ав ()Гс — ~~ г ' [ =О,'(/с==1,..., и). (8 27) Хг )-Х. »=г Теперь можно сформулировать теорему.
Теорема Лурье. Если система квадратных уравнений (8.27) имеет хотя бы одно решение а, а„..., а„, в котором комплексно-сопряженным значениям Хг = Хг~г (к = 1,3,..., 2в — 1) корней характеристического уравне- $ З.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА 275 (8.28) Число б„не должно равняться нулю, так как в противном случае 1„= — 0 и г„=- сооз1, т. е. будет отсутствовать асимптотическая устойчивость. Поэтому на основании условия (8.21) полагаем 6„= 1. Докажем теперь, что коэффициент е„должен быть отрицательным.
Действительно, рассмотрим линейную ха- рактеристику 1 (О) =- )со, принадлежащую к классу допустимых характеристик. Из условия О1 (О) = уо~ ) 0 следует, что й ) О. Составим характеристическое уравнение системы (8.28) при 1 (О) =- 1со (напомним, что Л„== О, 6„= 1): л — л,... о о — ао, о ...л — л„, о — ао„, О ... О Л вЂ”  — ее ... — е — е Л+/ее е-1 я Ь(Л) = Если раскрыть определитель, то коэффициент при старшем члене будет равен -! 1. Найдем свободный член 10е ния (В.Ы) отвечают комплексно-сопряженные числа ая = = аче1 ()с =- 1, 3,..., 2г — 1), а вещественным корням Л„ег ()с .=- 1,..., и — 2г) отвечают вещественнъ1е числа аз +в ()е = 1,..., и — 2г), то система регулирования (8.20) абсолютно устойчива, Заметим, что определять корни уравнений (8.27) не нужно, достаточно найти условия, которым должны удовлетворять параметры системы, чтобы соответствующее решение существовало.
До сих пор мы предполагали, что зсе корни характеристического уравнения (8.16) различны и имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим теперь случай, когда среди этих корней имеется один нулевой корень, а остальные корни удовлетворяют прежним условиям. В этих предположениях уравнения возмущенного движения (8.20) примут вид (предполагаем, что ),„= — О) гг = Леля + бт1 (О) ()с = 1,..., и — 1), г„— — 1 (о), ч — 1 О= ~л егг1. + е„г„— г((О). 1=1 276 ГЛ. Чнг. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГРЛИРОВАНПЯ аи ии Ь (0).
Имеем — ΠΠ— ЗО, а„—.. г.'г(0)= О ...— Хи, Π— ЗО, О ... ΠΠ— ге — Ег... — Š— Е ЗЕ и-1 и раскрывая этот определитель по элементам предпоследней строки, а полученный при этом минор — по элементам последнего столбца, найдем аи =- — Йеи ( — 1)и 1)т)а 1~и-г. По условию все вещественные части корней Х„..., Хи, отрицательны, следовательно, произведение ( — 1)и-11111... ... Хи 1 будет положительно, Учитывая к тому же, что й ) О, найдем, что знак свободного члена характеристического уравнения для линейной характеристики совпадает со знаком — е„.
Из условия Гурвица должно быть аи ) О, следовательно, еи(0, что и доказывает сделанное замечание. Функцию Ляпунова для этого случая можно взять в следующей форме (ср. с уравнением (8.23)): и †1 и в е ' ' — з ~~ ггг-ггге— 1.— -1 1=1 ' 1.=1 и — -и- ~г гм 1 + — еиги — ~ У(а) гга. (8.29) 1=1 о При еи ( 0 это будет определенно-отрицательная функция всех и + 1 переменных г„.. „ги „ги, а. Производная по времени от функции г', вычисленная в силу уравнений возмущенного двия'ения (8.28), будет иметь тот же вид, что и (8.24), воли заменить в ней и на и — 1; переменная же ги в выражение г' не войдет.
Поэтому если ПОдЧИНИтъ ПОСтаяННЫЕ ЧИСЛа а„аг, ..., аи, уСЛОВИяМ (8.27), то производная г будет знакоопределенной функцнвй И ПЕРЕМЕННЫХ г„..., ги 1, а И ЗиаКОПОСтаяииай функцией всех и + 1 переменных г„..., г„„ги, а. Производная г обращается в нуль при г, =... ... = ги, = а =- О, т. е.
На оси ги. Так как эта ось нв является целой траекторией возмущенного движения (функции г, =... = ги „= а = 0 не обращают урав- з в.з. ьсловия лвсолютноя встончивсстн 277 пения (8.28) в тождества), то выполнены условия теоремы Барбашина — Красовского об асимптотической устойчивости в целом (см.
з 2.3), Из всего изложенного следует, что при и личии одного нулевого корня критерии абсолютной уетойчиеоети получаютея из квадратных уравнений (8.27), но с заменой и на п — 1. Кроме того, нужно потребовать, чтобы коэффициент е„ удовлетворял условию (8. 30)' ел<0. В заключение этого параграфа остановимся кратко на системе прямого регулирования. В канонических переменных уравнения (8.7) имеют вид зг =- Хзз„+ 6„) (о), л о= — ~ еззт. Функцию Ляпунова для этой системы можно взять в форме (8.23), только без интеграла.
Тогда, повторяя почти в точности все выкладки, придем к следующей системе квадратных уравнений для определения постоянных а„..., а„: — 2аз 5 ~ ', р ез==0 ()е=1, ..., п). (8.32) с~ зч —, 1=-г Если существует решение этих уравнений, удовлетворяющее вышеупомянутым условиям, то система регулирования (8.31), а вместе с ней и система (8.7) будут абсолютно устойчивы.
$8.5. Определение условий абсолютной устойчивости. Пример В общем случае решение системы квадратных уравнений (8.27) представляет значительные трудности. К настоящему времени существуют обозримые решения для и ( 6. Мы рассмотрим частный, но имеющий большое значение для многочисленных приложений случай двух квадратных уравнений (8.27); при этом будем предполагать, что 6, =- 6, = 1 (см. равенства (8.21)).
Положив 278 гл, шп. системы АвтомАтического Регтлигования в уравнениях (8.27) «2 = 1, а 1 2 — — + 2а1 )гг — 2 л, — — + 2а )гг — 2 ватам «2 = 2, получим а,а2 + е1==0, (8.33) а122 11+12 +'2=". (++ — ') — 2)гг ( " -(- „"' ) Е1 ее О Х2 Это равенство можно записать еще и так: ( — 1 + — 2 — )/ г ) == Г2, (8.34) где Г2= — + — + г. (8.35) Если Х1 и Ха вещественны, то числа а1 и аа должны быть тоже вещественными, если же «ч и Х2 комплексно-сопряжены, то а, и аа дол«кны тоже быть комплексно-сопряженными числами, Поэтому величина, стоящая в круглых скобках равенства (8.34), вещественная, а ее квадрат должен быть положительным числом.
На этом основании правую часть равенства (8.35) необходимо подчинить условию Г'= — + — + г) О. «"1 «г (8.36) Считая в дальнейшем, что это условие выполнено, положим Г = + )1 Г2. Тогда одно квадратное уравнение Требуется определить, каким условиям должны удовлетворять числа «1, «.2, е„еа и г, чтобы эти уравнения имели решение указанного ранее вида. Следуя А. И. Лурье (см. [33]) преобразуем уравнения (8.33). Для этого разделим сначала первое уравнение на «ч, а второе на Ха и полученные результаты сложим почленно.
Тогда получим «„2 «2/ ~Л1 Л2 1 2 Третий член, очевидно, равен — 2а1С2/«1«2. Объединяя его с первым членом, получим М 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 279 (8,34) распадается на два линейных уравнения — + — '=Г + )/г, — ' + -~-'- — — — Г + )/г. (8.37) 1 1 1 1 2х = )Iг — Г, 2х = )/г + Г, (Хд — Л,) (хд — уд) — 2(Л, + Х,) худ = г (Л, — Х,)'+е, — е,.
(8.40) Разделим третье уравнение на (Л, — Лд): Ед — Ед хд — уз+ 2хху=г+ —, л,— л,' где в сделанкых предположекиях козффициент Л,+ Лд К=-А — — 1 является вепдвственным, Последнее уравнение представим в следующем виде: (8.41) (1 + ка)хд — (кх — у)8 =г + л, 'л', Введем еще одну переменную 8, положив кх — у=)/1+ каем, Вычтем теперь почленно из первого уравнения (8.33) второе уравнение 2 / ад ад — ~ — — — ) + 2 у'г (ад — ад) + ед — ед = О. 'лл, л,) Легко видеть, что ато равенство можно представить в следующей форме: — Лд/()/г — — ') + Л ()/г — — ) = г(Л,— Лд) + еа — ед.
л) в( л,)= (8.38) Два линейных уравнения (8.37) и одно квадратное уравнение (8.38) зквивалентяы двум квадратным уравнениям (8.33). Рассмотрим вначале случай, когда оба корня Лд и Лев комплексно-сопряженные числа. Введем новые переменные х и у, определив их равенствами )/г — — ' = х -)- ду, )Iг — — ' = х — ду. (8.39) 1 1 В новых переменных уравнения (8.37) и (8.38) примут вид 2ье гл. ч!!! системы Автомлтического РегУлиРОВИ1шя Теперь уравнения (8.40) примут свою окончательную форму 2х= )"г — Г, 2х= )Ре+ Г, (8.42) гг — х' =. О, где вещественное число О определено равенством ! ! ее — е! Л е (Ле — Л!)е+ (ее — е,) (Ле — Л!) О= — — !!г+ ! -)- Ее Л Ле — Л! ) 4Л»Ле х= — ()/'е -)-Г).
Внесем это выражение для х в последнее уравнение и ре- шим его относительно г'» ° =О+ —,' (р' ° -)-Г)'. (8. 44) Из етого равенства видно, что при О ) О величина гг будет положительна, а г вещественно. Это означает, что при О ) О система регулирования абсолютно устойчива. Рассмотрим теперь случай О ( О.
Из равенства (8.44) видно, что для вещественности переменной г нун»- но потребовать, чтобы параметры Г и 0 удовлетворяли (8.43) Уравнения (8.42) получены из уравнений (8.33) в предположении, что корни Л, и Л, комплексно-сопря1кенные. Легко видеть, что точно такие же уравнения мы получим и при вещественных корнях Л, и Л,. Нужно только в равенствах (8.39) заменить х ~ !у на х +- у, в равенстве (8.44) отбросить число 1, а переменную г определить равенством нх + у = )» х' — 4 г. При етом параметр О будет по-прея»нему определяться выражением (8.43). Таким образом, уравнения (8.42) зквивалентны уравнениям (8.33) при любой структуре корней Л, и Л, (общие предполон»ения о том, что Ке Л, ( О и Ве Л, ( О и что Л, ~! Л„ остаются в силе). На основании теоремы Лурье можно сделать следующий вывод: если уравнения (8.42) имеют хотя бм одно ее- и)естеенное решение относительно переменной г, то система регулирования абсолютно усп»ойчива (переменная х, согласно первым двум уравнениям, принимает только вещественные значения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
