Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 48
Текст из файла (страница 48)
о~ (о) ) 0 при любьзх а ~ 0; другими словами, функция ( (о) имеет тот же знак, что и а, и в нуль обращается только в начале координат; 4. Интегралы о 266 гл. ъ1п. системы АвтОмАти'1кского Регулиговлиия При прямом регулировании связь между выходной $ и входной а величинами серводвигателя осуществляется не через производную, а непосредственно: $ =~(о), Поэтому уравнения возмущенного движения системы прямого регулирования имеют вид хс.—.. ~ а»,хт+ дгс (О), (8.>) О=. ~ С1ХР 1=1 Сформулируем теперь постановку вопроса. Задача Лурье.
Независимо от начального состояния системы и конкретного выбора допустимой характеристики ~ (о) сервомотора >сайтсс необходимые и достаточные условия устойчивости системы (8.6) в целом. Иначе говоря, требуется найти условия абсолютной устойчивости системы (8.6). 2 8.3. Преобразование уравнений возмущенного движения системы регулирования к канонической форме Прежде чем перейти к определению условий абсолютной устойчивости системы (8.6), займемся преобразованием ее. В матричной форме уравнения (8.6) имеют ввд со= — Ам+ дс, с= у(о), (8 8) о = с'м — гс. Здесь А = сс ас;'и — квадратная матрица, в, д и с— матрицы-столбцы (о' — матрица, транспонированная с с, т. е.
матрица-строка), г, ь, о и ) (О) имеют прежние зна- чения. В уравнениях (8.8) неизвестными функциями времени являются матрица-столбец х и скалярная величина Перейдем к новым переменным по формулам: д = Ах + $д =.-. л>, а = о'м — гь. (8.9) Э ЭЛ, ПРЕОВРАЗОВАПНК К КАНОННЧКСКОИ ФОРМЯ 267 Будем иметь у =-: Али + ай, а = с'ж — гй. Принимая во внимание уравнения (8.8) и равенства (8.9), получим у = — Ау + Ь) (а), (8ЛО) а = с'у — г) (а). Потребуем, чтобы определитель линейного преобразования (8.9) был отличен от нуля (см. понятие о сложных матрицах в $ 5.2): бег))Л '~)~О или более подробно и1 ...ии (8Л1) и1 ''' ии и И1 ...И и В этом предположении дифференциальные уравнения возмущенного движения (8.8) и (8.10) будут взаимно эквивалентны.
Это означает, что иэ абсол1отной устойчивости относительно переменных у и а следует абсол1отная устойчивость относительно переменных ш и $ и наоборот. Заметим, что условие (8.11) не является жестким, так как элементы определителя зависят от параметров системы, которые всегда можно выбрать так, чтобы это условие выполнялось. Условия устойчивости системы (8ЛО) можно искать в матричной форме, польауясь некоторыми матричными соотношениями (см. [51, 52)). Коли считать эти соотношения известными, то вывод условий абсолютной устойчивости будет простым.
Однако простота вывода и самих условий устойчивости является кажущейся, так как доказательство матричных соотношений, на которые опирается вывод, и их явное выражение через параметры системы достаточно сложны. Поэтому остановимся на методе Лурье [33], состоящем в переходе к каноническим переменным. Сделаем линейное преобрааование тт =.
ЛУ а З.Э. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 269 В сделанных предположениях матрица В имеет вид ') (8Л 7) Запишем уравнении (8.12) в скалярной форме й» = А»и» +Ь»7'(а) (Ь = 1, ..., п), а==. Х э»и» — гт (а) (8.18) В этих уравнениях некоторые коэффициенты й» могут равняться нулю. Введем новые переменные г», полоткив и» вЂ”.— Л ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ч ~ ~~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ] Ь»г», если Ь» ~- О, (8Л9) г,, если Ь»=-0.
Тогда уравнения (8Л7) примут свой окончательный вид эти уравнения называются ка>шническими уравнениями истемы регулирования) й» =- А»г» + 6»у (а) (й = 1,..., п), в а= ,'~~~~~ е»г» — гг(а), (8.20) »=1 где множители 6» равны единице или нулю » ~ ~ Г 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ || если й» =г-. О, 8»= О, если Ь».=.0, (8.21) а коэффициенты е» определяются равенствами ~ ~ » ! г ~ ~ Л ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ О г~ д»й», если Ь» Ф. О, (8.22) г», если й». =.О.
Отметим, что веществе»нтым корням А» отвечают вещественные канонические переменные г„и вещественные числа е», 'комплексно-сопряженным корням А» = Х»тт отвечают комплексно-сопряженные канонические перемен- НЫЕ г». —— гс М И КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛа Е» .=- = е„ы. 1) См. (5.35) н (5.32). В случае простых корней характеристического уравнения числа »1 = е» = ...= »„-.-. 1, поэтому каждая клетка Х» состоит нз одного элемента А».
270 гл е1п. системы АвтомАтического РегхлиРОЕАнпя Уравнения (8.20) совпадают по своей форме с уравнениями (8.18), но отличие их состоит в том, что в уравнениях (8.20) коэффициенты бв удовлетворяют соотношениям (8.21). В заключение этого параграфа отметим, что существуют различные методы приведения уравнений систем автоматического регулирования к канонической форме (8.20). Здесь изложен наиболее общий метод, основанный на матричных уравнениях (8Л4). Практическое применение этого метода будет разъяснено на примере. з 8.4.
Построение функции Ляпунова 11усть имеется г пар комплексно-сопряженных корней ().„),,), (Л„Л„),..., Р„„2„), которым отвечают г пар комплексно-сопряженных координат (хм хх) (зэ х1) ° ~ (хм-н зы) и п — 2г вещественных корней )'23+1 ~ М'-М 'з 1'в которым отвечают вещественные координаты г„„, г„АЬ..., ХВ. Для нахождения достаточных условий абсолютной устойчивости движения А, И. Лурье предложил использовать функцию Ляпунова в следующей форме: в Ф в в — и в 1 =' ~~~,т А А — 3 ~~1 зм 1зж — — ~~~ хм,х — ~1(О)по Ь=-1 1 — -1 1;=1 1=1 0 (8.23) Здесь ам11,..., а„— вещественные, а а1, аз,..., аз, 1, аа, — попарно-сопряженные комплексные числа, которыми мы распорядимся в дальнейшем соответствующимобразом; положительное число е может быть выбрано сколь угодно малым. Докажем прежде всего, что функция Г определенно- отрицательна.
Действительно, из условия О( (а) ) 0 следует, что последнее слагаемое представляет определенноотрицательпую функцию переменной О. Совокупность членов, содержащих множитель е, определенно-отрица- 272 гл уп1. спстямы Автомлтнческого РегулиРОВлнпн Внесем в зто выражение для !и значения производных г и О из уравнений (8.20). Получим и и )к=2~~! ~~ л и к а,(Л!г,+б71(о))— к-! 1=! н+ ! — е ~2 (г!к (Лы-!гнн-! + б!и-!1 (о)1+ гнн-! Глл!г!н + бгн1(о)])— и — 2$ г — е ~ гмнн (Лн нкгнинн + бм к1(о)) — 1(о) ) ~ енгк — г1(О)~ К=н н=! или, группируя члены, и и и — ни В=2 Р ~~ Л Л акгна;г, -!-Р11(о) — е~ Лм+кг',.!в к.=! 1=! г ! !лк+л; 1= — 1 8 — е 2', (Лы 1+ Л !.) гн';-!гнн— к=-! Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функции 1 (а) на двойную сумму и на параме*ры ен, суммирование по й разбито на три суммы.
Займемся теперь преобразованием двойной суммы. Имеем и и лк 2 ~ ~ =- ~н ~~ ' а!!г!а,гг+ ~' ~ — кан ка,г,=- Н=! 1=1 1=! 1=! и и и и и ~)~~ангканг; =- ~~ ангн 1! а!г1 —. ( ~~ акгкн) . 1 1 1=! !.=! 1=! Присоединим к двойной сумме слагаемое н11 (О) и — ~ ~~ ! г!н ~ебнк ! + ~~~~ г,к, 1еб н + 1=1 + ~1, гмы ~вбниик иб. +е к — 2а!к,з„л. +л 1+ !н+ ! е,к ! — а!1-! н !†+ л ~ + — 2 1=1 11-1 +'и'н 2ам+нХЛ ' ' л 31(о)' 272 Гл.
чп1 системы АВтОмАтическОГО РегулиРОВАнин Внесем в зто выражение для )З значения производных г и о из уравнений (8.20). Получим зз=2 ~К ~ к к„а, [Хзг;+ 6,/(о)[— К=з 1'=1 — е ~ (г к [Л.„,г„, + 611-1/(о)) + гзк, [Л„!гзк + бзк/(о)))— и-23 и — е 21 гмкк [Л111кгмзк+ бз„к/(о)] — /(о)~ ,'Я екгк. — Г/(о)~ К=-1 1=1 или, группируя члены, 'Уи == 2 ~~к > ' акгка;г, -)- Г/з(о) — е ~~ Х„1кг~„ив 1="1 1=1 К+Лз К=1 — е Х (Лзк 1 + Лзк) гз'1-1гзк— Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функцяи / (о) на двойную сумму и на параметры ек, суммирование по /з раабито на три суммы.
Займемся теперь преобразованием двойной суммь1. Имеем и и и и 2~ ~ = ззз ' 'зз . ' акгкалг + ~з зз к акгка!г,=. 1=1 3=! 1+ 1.=1 1=1 к+л; и и и и и ~~)~~акгка;г;=- ~~ акгк ~ а!г;=( ~~ акгк) . К 11=1 К=1 1=1 1=1 Присоединим к двойной сумме слагаемое г/з (о) и з — ~ 5 гзк [ебзк 1 К=1 + ~з гзк 1 [ еб к + К=1 и — и +,з гзи<.к ~збмз к а 6. +езк — 2азк У Л ','Л [+ 11 1.=1 и 6. е,з,— 2а„, > л '' 1+ 11-1+ ! .1 1=1 а,а, + е111 — 2аз,!к з ',' ~~/(о). в-1 г Л. 6 8«ь постровнив Функции ляпунОВА 273 представим оба члена в следующей форме: 2~~~~~ + г)г (О) = ( Х акгк)' + г/1(О) = н н = [~ акга+ )~ ге~(о)~' — 2 У'гГ'(О) ~ акгк.
К=1 К=1 Отнесем выделенную здесь группу слагаемых с произведенинми гк) (О) к соответствУющим слагаемым в пРоизводной (Г. Тогда получим и У = — ~ 2,' акгк + У' г~(о)~— «1 — е ~ ~ (Лнк-1+ Л«1)гн«-1гнк+ ~ Лк««кг« «~— «=1 «=1 н и — гкк [ ебкк 1 + екк + 2акк ( у' г — ~~ — — ' — 1-~-) ~ + К=-1 1=1 а4 + З гкк 1»ьебкк + ег«1+ 2а»«-1 (К 'у' г — ~ ' ',, 1 ~ + «=1 1=1 1« — 1+ 11 + 1» гг«+к ~ебм««+ ем,«+ «=1 н + 2аг"к ()ег —,~ л 2+ лГ) ~) У(О) (8'24) 1=1 Длн того чтобы знак производной »к не зависел от функции ~ (О), выберем постоянные числа а„аг, ..., а„так, чтобы множители при гг»., г,к »и гк,+к обратились в нуль, т.
е. подчиним зти числа п условиям; а4. сбц 1+ егк+- 2акк(У'г — (« ' '„) =.О (й=1,...,г), ;=.' +' 1К+ н наг ай«к + егк, + 2аы, ( у' т — ~ „' ' „= О (й = 1, ..., г), Лкк-1+ Л; ) 1=1 но. аб„,«+ е„+к+ 2а« «к (~/1 — 7„ В«К+ 1) ,=1 = О (й = 1,..., и — 2г). (8.25) ! 3 Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
