Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Сделав в системе (9.6) линейное преобразование х =- = Лу, где Л вЂ” квадратная неособенная постоянная матрица, получим Лу =АЛу+Ьи, а=с'Лу, Отслода 5»л, пеРедАтОчные Функции у == Л 'АЛу + Л 'Ьи„о =- с'Лу. (9.8) Полагая у =ру и выполняя последовательно очевидные преобразования, получим у= — Л '(А — Ер) 'Ьи. Теперь находим а=.. — с'ЛЛ л(А — Ер) 'Ьи == — с'(А — Вр) 'Ьи. Из этого равенства видно, что передаточная функция преобразованной системы (9.8) равна передаточной функции Иг(р) исходной системы, иными словами, передаточная функция инвариантна относительно линейного преобразования, Если в передаточную функцию (9.3) подставить р = ио, где 1 = уг — 1, а ел — вещественное число, то получим функцию И'(ив), называемую частотной характеристикой системы (9.1). Функция И'(1вл) имеет простой наглядный смысл, Действительно, пусть «вход» и (г) представляет воз- 6 Х мущение, изменяющееся по т=- т=д и гармоническому закону.
Представим его в комплексной форме и = ге'"', где г — амплитуда возмущения, а г'ис. 9.2 еоы — комплексный гармонический сигнал частоты ье Подставим это значение для и в равенство (9.2), заменив в нем предварительно р на 1«л. Имеем о = И' (1ы)ге'"'. Равенство (9.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (9А). При гармоническом возмущении частное решение этого линейного уравнения будет определять вынул<денное колебание той же частоты «л, но другой амплитуды В прн сдвинутой фазе (предполагается, что знаменатель передаточной функции (9.3) не имеет корней, равных ы).
Из этого следует, »то «выход» о можно представить равенство»~ а =- Ве'<""+«>, гл »х члстотньяв ма»оды где «9 — сдвиг фазы, Сравнивая полученные два выражения для «выходю> о и представляя частотную характеристику в следующей форме: И'((ю) = ) И'((ю) ! в'э"в»т, получим х( = ) И~ ((ю) ( г, <р = агн И~ ((ю). Таким образом, модуль частотной характеристики равен отношению амплитуды вынул«денного колебания на «выходе» системы к амплитуде гармонического возмущающего воздействия па ее «входе», а аргумент частотной характеристики равен сдвигу фазы вынужденного колебания. Выделим в «г' ((ю) вещественную и мнимую части: Иг((ю) = и (ю) + (и (ю). (9,9) На плоскости (и, о) при изменении ю конец вектора И' ((ю) описывает кривую, представляющую собой годограф частотной характеристики (она называется также амплитудпо-фаза«ой характеристикой системы).
Для примера 1 нмеем (с. 288) 3 — и» (р (и«) = —. и»+ 3 вэ+ 9 Поэтому 3 (О «э«+ 9' " (~) «»э+ 9 н годограф частотной характеристики прн нзмененнк «» от О до + ии представляет полуокружность, нзображенную на рнс. 9,2 Действнтельно, исключая нэ последних равенств параметр «1, по- лучнм (и — е) +»«=(о) . 9 9.3. Критерий Найквиста устойчивости линейной системы Положив в системе (9Л) и = — )со, где й — постоянная, получим однородную систему и и фи= Х аагг )сиьи Х с«х, (а = 1, ..., и), (9.10) )=ь которую, в отличие от разомкнутой системы (9.1), называют замкнутой.
Если система (0.1) схематично изображается рпс. 9Л, о, то замкяутой системе (9 10) соответствует рис. 9Л, б. 291 5 вл. кгитвгия найкяистх Попытаемся выяснить,при каких значениях параметра й. замкнутая система (9ЛО) асимптотически устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, лежат в левой полуплоскостн. Например, для асимптотической устойчивости уравнения (9.И) х+Зх = — Йх необходимо и достаточно, чтобы й > — 3.
Действительно, в этом случае корень — (Й + 3) характеристического а) Рвс. 9.9 уравнения будет отрицательным. Для систем более высокого порядка поставленный вопрос не тривиален. Ответ на него и дает критерий Найквиста. Оказывается, об асимптотической устойчивости замкнутой системы (9.9) можно судить по поведению частотной характеристики И' (1ы) разомкнутой системы (9Л). Ограничимся случаем, когда полипом О„(р), стоящий в знаменателе передаточной функции (9,3), имеет все корни в левой полуплоскости, т. е, разомкнутая однородная система асимптотически устойчива.
На плоскости и, о построим вектор Л, выходящий из точки ( — 1/1с, О) и оканчивающийся в точке (и (ы), о (ы)), лежащей на годографе частотной характеристики. При изменении ы угол ф между этим вектором и осью абсцисс будет меняться. Критерий Найквиста утверждает, что для асимптотической устойчивости замкнутой системы (9,10) необходимо и достаточно, чтобы приращение Лф угла ф при игменении ы от 0 до +со равнялось нулю.
На 9.3, а, очевидно, Лф = О, а на рис. 9,3, б Ьф = 2я. 292 гл. тх, чхстотньтк методы $ 9.4. Частотные критерии абсолютной устойчивости систем с непрерывной нелинейностью Рассмотрим систему па>хт + т'аи (м = 1,..., и), лт ,? з=т и=. — тр(ст), и о= ~з схя (9.12) где тр (а) — непрерывная функция, удовлетворяющая при о чь 0 условию (9Л3) а ас;, (тк, с — постсянные коэффициенты, Для частотной характеристики, изображенной на рис. 9.2, Ьтр = О, если точка ( — 1%, 0) лежит вне диаметра полуокружностн, и Ьтр = я, если эта точка лехтит на интервале (О, 1/3).
Таким образом, для асимптотической устойчивости уравнения (9Л1) необходимо и достаточно, чтобы — 1 От ( 0 либо — 1ттт,> 1!3. Отсюда получаем неравенство тт ) — 3, установленное ранее нз элементарных сообраткений. Доказательство сформулированного критерия Найквиста можно найти в книге Е, П, Попова (44].
То обстоятельство, что устойчивость замкнутой системы (9.10) определяется по годографу частотной характеристики разомкнутой системы (9.1), является сильной стороной критерия Найквиста. Недостатки этого критерия состоят в том, что он требует реального построения годографа частотной характеристики системы (9.1), что в свою очередь требует знания численкых значений всех коэффициентов передаточной функции. Таким образом, критерий Найквиста дает возможность проверить устойчива или неустойчива рассматриваемая система при выбранных численных значениях коэффициентов, но в общем случае с его помощью нельзя построить область устойчивости в пространстве коэффициентов. В следующих параграфах будут рассмотрены частотные методы, применимые не только к линейным, но и к нелинейным звеньям замыкания и свободные от этих недостатков.
9»л, чАстотные кРитеРии АБсОлютнОЙ устОЙчиВОсти 293 Условие (9.13) означает, что на плоскости (О, ~Р) график функции го = ~Р (о) должен находиться в секторе, ограниченном осью о и прямой ~Р =- йо (рис. 9.4), причем закон изменения функции ~Р .— — ~р (о) может быть любым, в частности оп может иметь вид, изображенный на рис. 8.2, а. Как видно, отличие системы (9.12) от (9.10) заключается в том, что (9 12) получается из системы (9.1) путем замыкания через ее нелинейное звено и = — ~р (и). Поэтому критерий Найквиста к системе (9.12) неприменим. Рас. 9.4 Вместо него для нелинейной системы (9.12) установлен следующий частотный критерий абсолютной устойчивости.
Обозначим через И' (р) передаточную функцию системы (9.12) от «входа» ( — ~Р) к «вытоду» О. В зависимости от расположений полюсов ') передаточной функции И' (р) различают некритический случай, когда все полюсы лежат в левой полуплоскостя, а также критические случаи, когда имеются полюсы на мнимой оси. Приведем без вывода основные теоремы, определяющие достаточные условия абсолютной устойчивости систем рассматриваемого класса при условии, что нелинейность непрерывна (доказательство можно найти в [2, 53)). Теорема 1 (некритический случай). Пусть выполнены следую и4ие условия: 1) нелинейная функция ~Р (О) удовлетворяет условию (9.13); 2) все нолюсы И" (р) имеют отрицательные вещественные части; г) То есть корасй яслмяома, стоящего в знаменателе И'(р). 294 гл, гх. члстотныи мвтодьг 3) существует таноевещественное число гг, ипо >гри.
всех в ~~~ 0 выполнено частотное условие — + Ве ((1 + гвй) И' (ио)] ) О. (9Л4) Тогда система (9,8) абсолютно устойчива, Частотный критерий (9.14) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Так как И'(гв) =- и (в) + + ги (в), то условие (9.14) равносильно неравенству — -]- и(в) — Ово(в) ь О. (9Л5) Построим видоизмененную частотную характеристику, изображающая точка которой определяется координатами и>=и Рис. 9.5 и (в), ви (в). Если ввести новую плоскость иг = и, о, = во и на этой плоскости построить годограф видоизмененной частотной характеристики при в ~ )О, то условие (9.14) означает, что должна существовать прямая 1>)с + и, — Оиг = О, проходящая через точку ( — 1>н, 0) и лежащая левее этого видоизмененного годографа (рис. 9.5).
Частотный критерий (9.14) гарантирует абсолютную устойчивость системы (9.12) в том смысле, что начало координат устойчиво в целом, какова бы ии была непрерывная функция >р (и), график которой заключен в сектор (9ЛЗ). В частности, будет устойчива в целом любая линейная система, получающаяся из (9.12) при г]> (о) = )гсг, 0 с:й ()с. й о о члстотпыв кгитввни авсол1отпои гстоичпвосттг 299 Теорема 2 (критический случай одного нулевого полюса). Предположим, что выполнены следующие требования: 1) нелинейная функция ор (о) удовлетворяет условию (9 13); 2) передаточная функция Иг (р) имеет один нулевой полюс, а остальные ее полюсы (если п ) 1) имеют отрицательные вещественные части; 3) р = 11пх ртер (р) ) 0 и существует такое вещесзпеенное число $, что при всех аз .в 0 выполнено частотное условие (9.14). Тогда система (9.12) абсолютно устойчива. Теорема 3 (критический случай двух нулевых полюсов).
Пуста выполнены следующие условия: 1) функция ор (о) удовлетворяет неравенству (9.13) при й = оо') и соотношению ~а ~ ~р (о) до = оо; о 2) передаточная функция имеет два нулевых полюса, а остальные ее полюсы (если и ) 2) имеют отрицатель ные вещественные части; 3) я = 1]ш рзИ' (р) ) О, р о р = Пш — ]рзИс(р)] ) О, е г-о ер п(ео)=ео1ш И',(ю)(0 при всех ю) О, 1пп п(ео)(0. и О Тогда система (9.12) абсолютно устойчива. Прежде чем перейти к примерам, заметим, что крите- рии абсолютной устойчивости, установленные теоремами 1 — 3, косят аналитический характер и для.
проверки ях не нужно строить годограф передаточной функции )т' (оео) н не нужно знать численные значения коэффициентов си- стемы (9.12). Поэтому с их помощью моя~но строить обла- сти абсолютной устойчивости, что нельзя сделать, даже для линейного звена замыкания, применяя критерий Найквиста. ') Случай в .= оо озяачаот, что сектор, изображеииый ва рис. 9.4, образован координатными осями о, у, т. е. полвоетыо заполняет первый и третий квадранты, ГЛ. 1Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
