Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Рассмотрим теперь, нельзя ли с помощью тех >ке колебаний стабилизировать верхнее неустойчивое положение маятника. Для получения дифференциального уравнения малых колебаний маят-' нш1а около верхнего положения равновесия достаточно в уравнении (7 107) заменить Х на — йч 9 7.7. системы с пдвяметвпчГским ВОзвуждГ1М1ем 257 Теперь 6 = — Л/(/1оз), г. =- аП. Вудеы считать, что амплитуда а колебаний точки подвеса мала по сравнению с длияой маятника й Тогда е ( 1, и можае использовать диаграмму, изображенную яа рис. 7.9,.Из этой диаграммы видно, что для стабилизации верхнего положения маятпика при отрицательном 6 точка М с коордвватами 6, е должна находиться выше параболы 6 = — зэ/2 и ниже прямой 6 = 1/4 — е/2, т.
е. должны выполияться неравенства 1/2 — 26 > с > Р— 26. Внесем в это двойпое иеравопстео значения 6 и е; Л а 1,, à — +2 — » — 1/' 2 —, 2 . )юз 1 - У йе'' или, пропаводя простейшие преобразования, (ю д 2 + 1е >ею>7/ При а 41 леван часть неравенства выполняется всегда и остается только правая часть, которая означает, что верхнее неустойчивое положение маятпика можно стабилизировать высокочастотными колебавиями точки подвеса при условии, что ее максимальпая скорость аю превышает скорость свободпого падепия маятника с высоты, равиой его длине (Г' 2л().
Впервые это свойство было установлено П. Л. Капицей (23). Пример2.Исследование устойчивости пулевого решения уравнения Хилла при нара- метрическом возбуждении ко закову квазипрямоугольпого синуса. Рассмотрим простейшую Рпс. 7.12 систему, уравпепие возмущенного движения которой оппсываотся уравпепием Хилла (7.70) й + [6+ еф (с))х = 0 (7П09) с функцией возбуждения ф (1), измепяюп1ейся по закону квази- прямоугольного сипуса (рис. 7.12).
Период Р функции возбужде- 258 гл. уы. устойчивость пклвтопоьспьсх сссстем а для второй частк периода й + (й — е)х = о (т, ( с ~ т). (7АИ) Рассмотрим сначала уравиепие (7.ИО). Полагая, нак и прежде, хс = х, хз = х, мы сведем уравнение (7.ИО) к системе двух уравнений первого порядка г = — й'х, (О~ с~( т) (7.И2) где й,' = йз + с. (7.
ИЗ Система (7.И2) решается элемептарио, Два линейно независимых решения етой системы, удовлетворяющих условиям (7.55), будут 1 хм = й е1в й~с г хп = соз й,с, (7. И4) хм = — й, з)п й,с, хм = соз йсс (напомним, что первый индекс означает номер функции, второй— помер решения), Таким образом, иа первой части периода фундаментальная матрица решений (7.51) принимает вид 1 соз й,с — з1п й,с 1 ~ — й, з(п й,с соз й,с Очевидно, что Х (О) .=- Е (условие (7.55)). Перейдем ко второй части периода Т, ~ С ~ Т. Уравнение (7.И1) при прежней подстановке перейдет в систему вида (7.И2) с заменой йз = й'+ е иа й,' = й' — з: 1 3 хс =,тю сз = — й.;хс (Тс ( С ~С Т). (7.1 10) иия ф (С) складывается из времени Т„когда функция ф (С) равна +1, и времени Тю когда ф (с) =- — 1.
Прн Тс = Тз имеем обычный прямоугольный синус. К уравнению (7.109) сводится, в частности, изучение систем, жесткость которых периодически изменяется с помощью релейного устройства. Для нас зта задача представлиет интерес ие только потому, что ее решение может быть использовано для анализа устойчивости движения конкретных систем, но также потому, что иа нев будет покааано построение для одного периода [О, Т) фундаментальной матрицы решений Х (с), удовлетворяющей условию (7.55), костроеиие матрицы А = Х (Т), характеристического уравнения (7.64) н определение условий устойчивости решейкя х = =О, х=о.
В ураввешси (7.109) число е равно глубине пульсации, а число 6 равно при 6 > 0 и е = 0 квадрату частоты й собственных колебаний, т. е, 6 =-- й'. Совместим начало отсчета времени с с началом какого-либо периода Т. Тогда для порвой части периода 0 ~( с ( Т, уравнение (7.109) принимает вид й + (й' + е) ° = О (О ( С ( т,), (7.ИО) 6 7.7. системы с пАРАметРи'1еским ВОЭБУждениез! 259 В общем решении этой системы хг = С, соя йз (7 — ТВ 7Р Сз я1ц йз (! — Тг), х = — йзС1 юп й, (! — Т,) + ЙзСз соя йз (/ — Т,) (7,И7) подберем постоякиые интегрирования Сз и Сз тав, чтобы оио определяло первое частыое решение.
Для этого решение (7.И7) должно совпадать с решением хг„хзг иа (7.И4) при ! = Т,. Имеем соя Й1Т1 = С1, — йг яш йгТ1 = Й,С . Подставляя зыачеиия С, и С, из этих равенств в (7.И7), найдем первое частиое решение уравяеыий (7,И6) иа втором участке пе- риода Т, ( г( Т (мы выписываем сразу второе частное линейыо независимое решение, ыолучеиыое аналогичным образом): йг хц = соя йгТ1 соя йз (! — Т1) — й я!и Й1Т1 з!и йз (/ — Т,), хи = — йз соз Й~Т, з!и йз (1 — 7',) — Йг з1п Й,7'1 соз йз (7 — Т,), 1 1 хгз =- — я1п й,Т1 соя йз (! — Т,) + — соя Й,Т, з!п йз (! — Т,), (7.
И8) Йг ' й, йз х = — з!пй т яш/сз(! — тг)+ соя йгтг соя йз(7 тг), й, Эти выражеыия определяют элементы фупдамеытальыой матрицы х (!) на втором участке периода т, ~( 7 ~( т. если в (7.и8) положить 7 = Т, то получии элемеитй матрицы А = Х (Т)— см. (7.61). Составим характеристическое уревиеыие (7.64), учитывая, что аг/ = хг/ (Т): хц (Т) — р хщ (Т) ! хз, (Т) хзз (Т) — р ( ~ =О.
Подставляя в это уравнение значения хг; (Т) из (7Л18) и учитывая равенства йз =. й'+ е, йз = йз — е, Т вЂ” Т, = Т„иеяосредст- 1 вепиыми вычислениями вайдам рз+ар !-1=0, (7. И9) где 1 а = 2( з!и Й1Тгвш йзТз — соз Й,Т1 соя йзТз~, (7.120) )/1 — рз 9 = е/йз = з/б. (7.121) В этом примере все коэффициенты характеристического уравнения получены с помощью непосредственных вычислеиий.
Как и следует из общей теории уравнения Хилла, свободный член ураввеиия (7Л19) равен едииице (см. (7.78)). Для того чтобы движение было устойчивым, веобходюш и достаточно, чтобы выполнялось перавепство ) а ) ( 2 (см. с, 242). В вашем случае условие устойчивости (цростой, ыо ые асимытотичсской) принимает вид 1 з!и Й,Т, я!и йзТз — соз Й,Т, соя йзТз~ (1. (7.122) )/1 Н 260 гл.
уг1 устойчивость нкантспсмпьгх систнм Еслп все числа 6, е, Т, и Т, заданы, то проверить это условно не представляет труда. Не останавливаясь на более подробном анализе неравенства (7.122), установим только условия возникновения параметрического резонанса при )з — — е/6 <~ 1. Пренебрегая в (7.122) всеми членами, содержащими р в степени выше первой (отметим, что число р входит в яг и йз), и учитывая, что параметрический резонанс для уравнения Хилла возникает уже ва гршшце области устойчивости (см.
с, 241 — 242), получим ) соз (й, Т, + /гзТз) ) = 1. Отсюда й„Т, + йзТз = па (и = 1, 2, 3,... ). (7.123) Учтем теперь значения й, и й й, = )/ Р+ з = )г р' 1 + р, /гз =- р' йз — з = й рг1 — р. При р = з//гз = е/6 достаточно малом будем иметь " =-/г(1+г/зР) ' "з=/ (1 — '/з)г). Подставлян эти значении длн /гг и Усз в (7.123), найдем (Тг + Т, = Т) йт ( /,рй(Т,-Т,) = или, с точностью до главных членов, й ы =- 2 — (в = 1, 2, 3,...), (7.124) где ю = 2я/Т вЂ” частота пульсации, а й = ргб — частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения.
Из выражения (7.124) видло, что при достаточно малой глубине пульсации е параметрический резонанс наступает при бесчисленных значениях ее частоты еь Заметим, что выражение (7.124) для критических значений частоты пульсации цри параметрическом воабуждении по закону квазипрямоугольного синуса ве зависит от соотношения частей периодов Тг и Тз и что оно в точности совпадает с соответствующими значейиями критической частоты при параметрическом возбуждении но закону обычного синуса (косинуса). Действительно, если уравнение Матье записать в следующей форме: з + (й' + е соз еп)х = О, где з — частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения, то при переходе к безразмерному времеви по формуле ап = т мы получим каноническую форму (7.39) етого уравнении, в котором 6 =- /гз/оР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
