Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Из первых двух уравнений (8.42) найдем 4 зл. Усчовия Авселютноя Устопчивости 281 условию О+ 4 ()/г+г)з>О. Учитывая, что Г ) О, достаточно в скобках взять верхний знак. Таким образом, при 0 ( О система регулирования будет абсолютно устойчива, если параметры системы г, Г и 0 удовлетворяют условию (Г --, '')/ г)' ) .
— 40. (8.45) Если вместо параметра Г ввести новый параметр Ч'=-Г+ ~' г== ег е, =- ~/ г + — ' + — ' + )/ г, Хз (8.46) -лгу и Рис. 8.3 то достаточное условие абсолютной устойчивости системы при 0 ( О принимает вид Ч" ) — 40. (8.47) К атому условию необходимо присоединить обп(ее условие (8.36). Область абсолютной устойчивости на пчоскости параметров 0 и Ч' иаображена на рис. 8.8, Пример.
Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. На рис.84 и 8.5 показаны принципиальная и структурная схемы непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной связью. Отличие от прямого регулировзвия (см. пример 3 $ 4.5) состоит в том, что перемещение муфты цеитробежкого устройства (измерителя угловой скорости двигателя) передается иа дроссельиую заслонку ие прямо, а через золотиик (суммирующий прибор) и сервомотор (гццравлический двигатель). Кроме того, песок серводвигателя, воздействующий иа дроссельную заслонку, свяави с рычагом жесткой обратной связи Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения системм.
Уравнение двигателя было получено рапее при рассмотревяи примера 3 4 4.5. Пренебрегая моментом сопротивлеиия Мз (ы) и полагая, как и прежде, х = ю — ю„где ые — угловая скорость двигателя в установившемся движении, будем иметь Из те — = — й 5. ~й Здесь Тз — постояииая времеви, характеризующая момеит ииер- цик вращающихся частей двигателя. 282 ГЛ. Ч111. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСНОГО РЕГУЛИРОВАЕИ1Я Напашем уравнение центробежного регулятора вместе с демпфером (см. равенство (4.45)): Тзх'+ Те+х=йзз, Фхиеззиезеиь иизер иие ииижзиии дз Рис. 8.4 Рис, 8.6 Уравнение золотника (суммирузощего прибора) выест енд о=х — 4, а уравнение сервомотора $ =-1(а).
Тз Если ввести обозначения х, .= —,- з,,тз =.. х, хз — — х, то урав- хз пения движения всей системы приводится к виду (8,6): хз = — а ез = азиз+ 2азхз+ ззхз, ез = хз, а = 1 (а), о = хз — ч, $ 8.5. услОВия АБсОлютнОЙ устОЙчиВОсти где 414в у, а,=- —, 2а,= — —, ав= — —, (8. 48) Твт ' ' тз' ув' 1 Е 1 1 Выпишем матрицы А, Е и с.
Имеем А= ас 2аз аз, Ь= О, с= 0 Составим уравнение (8ЛО) и найдем его корни: — Х . 0 0 с)ет (А — ХЕ) = а, 2ав — Х аз = — Х (Хз — 2авХ вЂ” аз) = О, 0 1 — Х (8. 49) Х, = а ~ )Га + , Х = О. Отсюда Хв + Хз = 2ав, Х1Хз = — ав, Хв — Хз —— 2)l а'"' + аз. (8.50) Пользуясь формулой (8Л7), составим матрицу В: в=о х,о Вычислим проквведевия ВА н ЛА: Так как матрицы ВА и ЛА, согласно (8Л4), равны, то должны быть равны соответствующие элементы: Хтссп = ~~сзм Хвс'ы = ~савы аваев = О, Хсссзв = 2авссвв + асв Хвсс„= 2авцвв + авв 2азссвз + ссвз О, Хвсс,з — — авссв„ Хса з = аваев аваев = О.
Иэ этих девяти уравнений независимых только шесть (в каждой группе среднее уравнение является следствием верхнего и нижнего уравнений, а также уравнения (8.49)). Положвмцтв = ас, цвв — — ав, ссзв = $. Тогда атв = Хв, сс,в = ав, пзв == Хз, ссвз = аз, изз = ссзв = 0 н, следовательно, Л= а Х вл= о х о Л А = авс аез пвв пас = Хвазв Хахзв Хзссм 0 0 ~ ') асам 2аатвв+ ссм азсссз ) 2ав ав = аваев 2авсзы -(- ссю аввы 4 0 авива 2аваас+ сзм азссзз 281 Гл Т1И системы автомвтическОГО РеГулиРОВАиия Для вычисления обратной матрицы найдем Л = без Л н соответствующие алгебран зескпе дополнения: Л «- йе1 Л = аз (Х, — Х ), Л11 = О Л11 = О Лз1 = аз (Х1 — Хз) Лзз = аз Лы = — аз Лзз =' О Лзз = — «з Лзз = Х1, Лзз =- — аз (Хз — «-1). Отсюда Л ;(Х,— ХВ Непосредственной проверкой убеждаемся, что ЛЛ-' —..— Е.
Для перехода к уравнениям (8.18) найдем по формулам (8ИЗ) матрицы яид: — аз~ «з=ль= — а,~, — 1 д = (Л-')'с = Теперь мозкно перейти к уравнениям в переменных из, ию из, о (см, уравнения (8.18)). Имеем 81=Хи +611(о),й =Хи +61(о), йз = Хз«(о), 8 = Хзиз + азиз + азиз — 1(о), где Ьа и га — элементы матриц й и д соответственно. По формулам (8,19) перейдем к каноническим переменным. Полагаем из ='= Хззг "з = "ззз.
из = Аззз. После подстановки получим канонические уравнения 11 =- Х,зз + « (о), з, =- Х,з, + 1 (о), зз = 1(о), б =- е,з, + еззз + еззз — «(о). В этих уравнениях азХз аз (Хг — Хз) азХ1 ез = Ьгаз = (8.51) аз (Х1 — Хз) аг «ез«ез аз Тз Ез — ЬЯЗ = В рассматриваемом примере и = 3 и один корень нулевой. В соответствии с общей теорией коэффициент е„= ез должен быть отрицательным, что и имеет место в данном примере (с .
примечание к уравнениям (8.28)). О 1 Х,— Х, Хз О 1 — Г;:Хз Х1 аг аз (Хз — Хз) аз ! Хз ,(Хз — Х ) Х, аз («'1 з) а, 6 8.8. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Для получения достаточных условий абсолютной устойчивости подчиним прежде всего параметры з, и е„условию (8.36): сг сг Х +т+г>О. С помощью формул (8.51), (8.50) и (8.49) зто условие приводится к виду г — Н>О (8.52) Е= — -4-(~ — Р—," ), со где с = Т~/Тз. 1 3 йу Абсолютиая устойчивость будет обеспечена при следующих условиях (в рассматриваемом примере г = 1): 1) Р(1, )с+1(т>4; Рис.
8,6 2) Р(1, (Р'1 — Р+1)з> > 4 — Р— 1/т. Первый случай отвечает условиям (8.36) и 9 > О. Второй случай отвечает условиям (8.36) и (8.45). Комбинируя зти условия„ можно получить более простые условия абсолютной устойчивости кепрямого регулирования двигателя с «кесткой обратной связью: 1) Р(1, т ~<; 1!2; 2) Р ( 1/т — 1/4тз, т > 1!2. (8.53) Область абсолютной устойчивости показана ка рис.8.6. Конечно, все выводы справедливы при сделанных предположениях. тг дг (в дп бл з=-) г, где р = "с)туз)Т Заметим, что при отсутствии обратной связи (г = 0) условие (8.52) яе будет выполисио, Вычислим по фоРмУлам (8.43), (8.51), (8.50) и (8.49) параметр 8. Получим ГЛАВА |Х ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ $ 9.1.
Введение Частотные методы исследования устойчивости линейных к нелинейных систем весьма удобны дчя ищкенерных расчетов, поскольку частотная характеристика инвариантна относительно линейного неособенного преобразования координат и легко определяется как по уравнениям системы, так и аксперимептально.
Кроме того, частотные методы позволяют расширить класс рассматриваемых систем. Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [43! получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т. е. ка языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной части системы. В 1962 г.
В. А. Якубович [51[, а затем в 1963 г. американский математик Р. Калман [55) опубликовали работы, из которых следует эквивалентность методов А. И. Лурье и В. М. Попова. В этой главе кратко излагаются основы частотного метода В. М. Попова для исследования систем с непрерывными нелинейностями. Анализ систем с разрывными нелипейностями, скользящим рел»имом и неединствеиным положением равновесия (»отрезкол» покоя») мол»но найти, например, в работах [15, 156, 29, 30[. ~ 9.2. Передаточные функции и частотные характеристики Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений й а — ~ ' аа|ай+ Ь„и (и =.
1,..., и), (9.1) а= ~ с;хе 5»л. пегедлточиые Функции 287 Исключив из этих равенств переменные х„..., х„ и выразив о через и, придем к формуле о= »у'(р)и, (9.2) где (! (Р) Р' (Р) ' (2„(Р) (9.3) Здесь г,! (р) и ()„(р) — полиномы относительно р степени т и п соответственно. Очевидно, т ( и и ф, (р) является характеристическим многочленом однородной системы, получающейся из (9Л) при и =- О.
С! Г $ !б е,! д;! Рис. 9Л Дробно-рациональная функция гу' (р) называется передаточной 9!уивцией системы (9Л) от «входа» и к «выходу» о. Это название вытекает непосредственно из равенства (9.2): передаточная функция И'(р) передает (преобразует) «вход» и в «выход» о (рис. 9Л, а). Заметим, что для определения передаточной функции не надо предварительно приводить систему к виду (9Л), разрешенному относительно производных. Если с2«стема содержит производные вылив первого порядка, то для вычисления передаточной функции надо заменить Ы !йГ на р".
где а„;, Ьа, с! — постоянные коэффициенты, и — некоторая заданная функция времени. Будем называть функцию и «еходом» системы, а функцию о «еыходом» системы. Заменив в системе (9Л) формально оператор !»/!»» на р, получим соотношения »>ха=- ~з оа>х~ + даи (и —. ( и) ! ==! гп тх, ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ Пример (. Найдем передаточную функцию от «входа» и к «выходу» т в уравнении х + Зх = — и.
Заменяя г на рх, получим рх + Зх = и. Следовательно, передаточная функция имеет вид Н(, + З). Пример 2. Найдем передаточную функцию от «вход໠— 7 к «выходу» а в системе тф+ ф = — ьз, 4=у, (9А) а =. с«»9 ( с«ф — г«, где Т, 7«, с„с, г — постоянные. Делая элементарные выкладки,, последовательно найдем (Тр» + р)ф = — 7«ь, рь = Л а = (с,р + с»)ф — г$.
Отсюда 7« й й Е ф Тр+р» р(Трэ+ ) 7«(с«р+с») г 1 )игр+7«с»+Тгр +гр Тр»+ р«р ) г = р»(Тр+1) — --,1 =- Следовательно, лакомая передаточная функция вмеет внд Тгр' + (7«с, + г) р + 7«с» (Р) =- «(Т (9. 3) Покажем, что передаточная функция не изменяется при линейном преобразовании системы. Для этого запигцем уравненин (9А) в матричной форме — =-- Ах+ Ьи, а=с'х, Зх Й (9.6) где А — квадратная постоянная матрица, Ь вЂ” постоянная матрица-столбец, с' — постоянная матрица-строка, х (() — матрица-столбец, и — скалярнан функция. Найдем передаточную функцию от «входа» ( — и) к «выходу» а. Введя оператор р — -- «лгс»т и единичную матрицу Е, последовательно получим рх — --Ах + Ьи,х:= — (А — рЕ) 'Ьи, а =- — с' (А — рЕ) ' Ьи. Следовательно, передаточная функция для системы (9,6) будет Иг (р) =- с' (А — рЕ) »Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
