Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 52
Текст из файла (страница 52)
«1ХСТОТЛЫЕ МЕТОДЫ 9 9.5. ПРимеРы Пример 1 (математический). Рассмотрим сначала чисто математическую задачу. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид тйл< + *л = хй <р (хй) тййй + хй = хл. (9П7) где т, ) 0 и т, ) 0 — постоянные времени, а функция <р (х ) непрерывна л удовлетворяет условию (9.13) при 7< = со. Найдем передаточную функцию от «входа» ( — <р) к «выходу» я = х,. Для етого введем прежде всего оператор р:=- <)7<)< и перепишем систему (9.17) в следующей форме: 4(т,р + 1)х, = хй — <р (хй), (ййр + 1)хй =- хл Рхй = хй.
Исключая из зтих уравнений х и хй, найдем Р т<тйрй+ (т, +тй) рй+ р+ 1 Следовательно, передаточная функция для данного примера равна (напомним, что «вход» равен ( — <9)) Р ар'+ ()рй+ р+ 1 где а —.— тлт„() = т, + т . Пусть ()) а. (9.18) Тогда, применяя критерий Гурвица (4.30), лайдем, что все пол<осы передаточной функции (корни ее знаменателя) имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 1.
Составим левую часть условия (9.14). Проведя несложные преобразования, последовательно получим (по условию й =- со) Ие ((1 + <юО) В' (<юЦ = (1 + люб) <ы олй [(О() — а) <ей+ (1 — О)] 1 — (' й+< (1 — й) (1 — (1 2)й+ й(1 й)й Для выполнения неравенства (9.14) пря всех ю > 0 необходныо и достаточно, чтобь< число О удовлетворяло условиям 0() — а ) О, 1 — О > О.
Отсюда — <0~(1. Такое О найдетоя ввиду (9.18), Следовательно, в <ллу теоремы 1 облаоть абсолютной устойчивости системы (9.17) определяется неравенство»< (9П8) плз, переходя к исходным коэффициентам, условием '< ) Ъ«'й. 1 9.5. пРимеРы На рис. 9.6 показана область абсолютной устойчивости системы (9.17) (она ограничена прямыми т, = О, т, = О и одной ветвью гиперболы тг -! тз == т,тз). Пример ул Исследование устойчивости самолета с курсовым автонилотоы, При регулировании курса самолета (объект регулирования) на нем устанавливаются два чувствительных элемента (Ч.Э.). Первыи (Ч.Э.1) представляет свободный гироскои — он измеряет отклонение самолета от курса (угол ф).
! 5+та=; гг Второй чувствительный элемент (Ч.Э.11) представляет гироскопический тахометр — он Оказать измеряет скорость изменения 1 а7)салютипй угла ф, т. е. ф. С помощью потенциометров измеренные вели- йс'баии сагайии асти чины (ф и ф) вреобразуются и в соответствующие напряжения (7, в Г„которые подаются Р с. 9.6 ис. на усилитель (суммируииций прибор) (рис. 9.7). Усилитель вырабатывает напряжение (7, воздойствующее на электродвигатель. Последний с помощью редуктора поворачивает руль самолета (регулирующее устройство) яа угол $, в результате чего вмраввивается отклонение самолета от заданного курса.
Одновременно Рис. 9.7 угол з поворота руля регистрируется механизмом обратной связи, который преобразует сигнал $ в напряжение (7;1 это напряжение подастся в усилитель — см. (44). Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения всей системы. Уравнение отклонения самолета от заданного курса в простейших предположениях имеет ввд Тф+ Ф= — й. Здесь Т вЂ” постоянная времени самолета, характеризующая его инерционность, й — постоянный коэффициент, характеризующий момент сил, создаваемых рулем, 298 гл.
гх. члстотнык ыктоды Чувствительные алемопты (гироскопы с потенциометрами) практически беэыиерционпы, и вырабатываемые пми напряжения Е1, и Пз пропорциональны иамеряемым величвналс ( 1 )ссф ба !сзф Будем считать, что механизм обратной связи жесткий. Это означает, что вырабатываемое им напряжение П, пропорционально углу $ отклонения руля: оз = йза.
Усилитель, суммируя входящие в него напряжения, дает ва выходе напряжение П, определяемое равенством й451 + йв('с йв!'э где йв, йв н йв — коэффициенты усиления. Учитйвая значения 5гю !сс и (сз, получим 5г = сдф + сзф — 4, где с, = йвйв, св = йсйв, г = йзйв. Электродвигатель с редуктором и рулем представляют мелинейный элемент, уравнение которого имеет вид э = г'(П). Перепишем полученные уравнения в виде системы, заменив предварительно бг на о: Тф+ ф= — йф, В = ( (о), о = ссф + сзф — га. Передаточнуго фумкцию от — ( к а для атой системы мы нашли в ! 9.2 (см. (9,4) и (9.5)); Тгрт -(- (йс, + г) р+ йсз И" (Р) = рз(тр+ 1) Она имеет два нулевых полюса, и, следовательно, можно восполь- аоваться теоремой 3. Подчиним коэффициенты системы условиям 2, 3 этой теоремы, После очевидных креобразованпй получим сс = Псп рзрр (р) = йс„ и. в с! р = 1!т — (рзИ' (р)] =.- г + й (с, — ссТ), и о йсз — гТюс -(- ее(йсс+ г) гТюз+ г+ й (с, — с,Т) (1+Т ) 1+ !!ш и(ю) = — г.
Я«ю Поатому условия 2, 3, теоремы 3 выполняются, если йсз ) О, г+ й (ст — сзТ) ) О, г ) О, (9.19) 9 а.а, пРимеРы Следовательно, рассматриваемая система абсогпотно устойчива нри выполнении неравенств (9И9), если нелинейность удовлетворяет условию 1 теоремы 3. На плоскости переменных Х = (о,Т вЂ” о,)й и г последние два неравенства (9Л9) обраауют ааштриховаиную область, изображенную на рис. 9.8 (условие йо, > 0 выполняется всегда). Пример 3. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. Сравннмчастотный метод исследования абсолютной устойчивости с методом А. И. Лурье. С этой целью рассмотрим систему непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной сзяаью, описываемую уравнениями (сы. пример 1 8.5) Т,о'= — йД, Тоу+ То+а =йго, (9.20) 5=1(о), о=а — 3, Рис. 9.8 где То, Тг То йо йг — положительные параметры.
Сначала найдем передаточную функцию от ( — 1) к а. Имеем Торо =- — йД, (Т р' + Тзр + 1)з = йго, р3 = ( (о), о = з — $. Из первого и третьего уравнения найдем й, й. $ = — ) о== — — 3= — — о( р ' Тор Торо Согласно второму и четвертому уравнениям, получим йой~ ' = — Т,ро (Т,р -Г Т,р ( 1) 1 йойо Т,р (Т,'р +Т,р+1) Следовательно, передаточная функция йойо 1 И (р)= То1Р (Т~р~ + Тор + 1) Р имеет два нулевых полюса. Воспольауемся теоремой 3 п подчпвны коэффициенты системы условиям теоремы.
После несложных преобразований получим йц)с~ и =. )(го роИ' (р) =: —, Реж Т о йгйгто Р =. 1нп — [роИг (р)) =. — — -(- 1, лр То ГЛ. 1Х. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ йсйг '1 л (ю) = ы !ш - „,1. .-гц уме' (~,'~' — — Тт л) й.й,т, — 1. тэ ((т;'ют - 1)т+ Г,";юс) Согласно теореме 3, для абсол1отной устойчивости системм достаточно, чтобы выполнялясь условия а>0, р>0, я(ю)(0 при всех ы>0, Пш и (ю) ~ О. и м Первое и последаее условия выполняются, очевидно, всегда.
Второе условие р > 0 будет выполнено при р (1, где р = йсй,Тт(уэ. Третье условие равносильно неравенству т,'ют-;- (тэ * — 1)' — 9>О. Коли ввести обозначения т = Ттт(Т,-'„ыт Тат =- у, то это нера- венство приводится к виду чтут (- (1 — 2т)у + 1 — и > О. (9.21) Так как условие я (ю) ( 0 должно выполняться при всех ю э>ь О, то неравенство (9.21) должно быть справедливо при всех у гв О. При т ~~ 'lт средкпи коэффициент левой части этого нера- вейства будет неотрицателен при двух положительных других коэффициентах (р и 1).
Поэтому при т А Пт неравенство (9.21) будет справедливо при всех у й> хО. ПУсть тепеРь т > г~т, КоРни полинома, стоЯщего в левой части (9.21), определяются форлгулой 2т — 1+ ~/(2т — 1)т — 4тт(1 — р) Уцэ 2тэ Коли подкореипое выражение положительно илп равно нулю, то условие (9.21) нарушается при у =- уг > О. В случае отрицатель- ности подкоренного выражения корпи полинома мнимые п, следо- вательно, (9.21) справедливо при всех у > О, Поэтому при т Чт должно выполняться неравенство (2т — 1) < 4т' (1 — р), которое равносильно следующему: 1 1 4тт ' Таким обрааом, согласно теореме 3, область абсолютной устой- чивости системы (9,20) имеет вид Р.С.
1 пРи тя,г м р(1/т — 1/4тт при т>'П н совпадает с областью, найденной в предыдущей главе прп помощи метода А. И. Лурье (см. (8.53) и рис. 8.6). Сравнение двух методов исследования абсолютноп устойчи- вости, проведенное на этом примере, пскаэывает, что частотный метод, пе ивменяя области устойчивости, более экономичел с точки эрения количества необходимых вычнслений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. А б г а р я н К. А. Устойчивость движения па конечном интервале П Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— Мл ВИНИТИ, 1976.— Т. 3. 2. Айверман М. А. и Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.— Мл АН СССР, 1963. 2а. Анапольский Л. Ю., Иргетов В. Д., Матр о с о в' В. М.
Способы построения функций Ляпунова П Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— Мл ВИНИТИ, 1975.— Т. 2. 3. А н д р е е в В. Д. Теория инерциальпой навигации. Автономные системы.— Мл Наука, 1966. 4. Андронов А. А., Витт А. А. н Хайкин С. Э. Теория колебаний.— 2-е ивд.— Мл Фивматгнз, 1959. 5. Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости движения.— Мл Наука, 1967. 6. Б а р б а ш и и Е. А. Функции Ляпунова.— Мл Наука, 1970.
7. Б а с ип А. М. Качка судов.— Мл Транспорт, 1969. 8. Б е л л м а н Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений: Пер. с англ.— Мл ИЛ, 1954. 9. Б е л л и а н Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. — Мл Наука, 1969.
10. Б о л о т и п В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — Мл Гостехивдат, 1956. 11. Б о л о т ни В. В. Неконсервативные вадачн теории упругой устойчивости, — М.: Фивматгиз, 1961. 12. Бутенин Н. В., Лунц Н. Л., Меркин Д. Р.Курс теоретической механики.— Т. 2.— М.: Наука, 1971. 12а. Вектор-функции Ляпунова и их построение ! Под род. В. М, Матросова и Л. Ю. Анапольского.— Новосибирск: Наука, СО, 1980. 13. В ы ш н е г р а д с к и й И. А. О регуляторах прямого дей- ствииПД.
К. Максвелл, И. А. Вышнеградский п А. С т о д о л а. Теория автоматического регулироваиия.— Мл АН СССР, 1949. 14. Г а п т м а х е р Ф. Р. Теория матриц.— 3-е изд.— Мл Наука, 1967. 15. Г е л и г А. Х. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем автоматического регулирования с неединсзвенным равновесным состоянием П Автоматвка и телемеханика. — 1964. — 79 2. 15а.Гелиг А. Х., Кома рннцкая О. И. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с иеедипственным положением СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ равновесия в критических случаях Я Автоматика и телемеханика.
— 1966. — № 8. 156.Г е л и г А. Х., Л е о н о в Г. Л., Я к у б о в и ч В. А. Устойчивость нелинейных систем с неедкнственныы состоянвем равновесия.— Мл Наука, 1978, 16, Д а м и д о в п ч Б. П. Лекции на математической тоории устойчивости.— Мл Наука, 1967, 17. Д и и е н т б е р г Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов.— Мл АН СССР, 1959. 18, Д у б о ш и п Г. Н. Основы теории устойчивости движения.— Мл МГУ, 1952.
19. Е р у г и н Н. Н. Приводимые системы.— Мпнск: Наука и техника, 1966. 20 Я1 у к о в с к и й Н. Е. О прочности движения Я Собр, соч. — Мл Гостехиздат, 1948. — Т. 1. 21, 3 у б о в В. И. Устойчивость движения.— Мл Высшая школа, 1973. 22, И ш л н н с к и й А. 1О. К теории гпрогорнзонткомпаса Я ПММ, 1956.— Т. 20, вып. 4. 23, К а п и ц а П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ.— 1951.— Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
