Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Заметим, что в некоторых случаях (см. пример 1 2 7.7) параметр е может не зависеть от ю. В этих случаях прямая, показанная на рис. 7.8, будет параллельна оси 6, однако вывод о чередовании устойчивых и неустойчивых состояний системы при увеличении частоты возбуждения остается справедливым. з 7.6. Решения уравнении хиллА и млтье 257 Если при данных значениях парамотров Б и е имеет 'место неустойчивость, то говорит, что наступает параметрический резонанс.
Из приведенных рассуждений видно, что параметрический резонанс имеет место прн бесчисленном множестве значений частоты возбуждения 1о. При малых з параметрический резонанс наступает вблизи значений б = лв74, где л — целое число (см. описание рнс. 7.8). Между обычным и параметрическим резонансамн имеются существенные различия.
Действительно, если на систему с линейным упругим элементом действует возмущающан сила, изменнющаяся по гармоническому закону, то дифференциальное уравнение движения приводится к виду У + КВХ = УХ СОЗ Овй При совпадении частоты возмущающей силы ю с частотой собственных колебаний й частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, будет н х = — р з1' и о78.
2ю Из этого решения и его графика (рнс. 5.1) видно, что обычный резонанс представляет неограниченное возрастание вынужденных колебаний устойчивой системы (см. пример 3 з 5.4), возникающих под действием возмущающей силы, Резонанс появляется только при одной частоте возмущающей силы ю = й и любых, в том числе и нулевых, начальных условных '). Амплитуды вынунвденных колебаний возрастают практически по закону арифметической прогрессии, разность которой приближенно определяется равенством д = Ни!(2юв) (если не считать нескольких первых колебаний, то зто равенство дает очень хорошее приближение).
Параметрический резонанс — это возрастающие колебания около неустойчивого полонения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном множестве значений частоты возбуждения в результате появления неизбшкных начальных возмущений (при нулевых началь- 1) Прн ю + Ь частное решенно имеет внд л = и , совы лв — ыв н, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний но возрастают.
252 ГЛ. Ч11. УСТОНЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ных условиях система находится в состоянии неустойчивого равновесия). Характер движения системы при параметрическом резонансе практически определяется соотношением (7.82) (см. также рис. 7.6) а (г) = Се'-((р ((), где а ) О, а (() (() — периодическая функция, период которой равен периоду возбуждающей функции Т. Амплитуды колебаний при параметрическом резонансе, как зто следует из последней формулы, возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой (фактор возрастания) определяется равенством у=-о т)о Остановимся теперь на вычислении зависимости 6 = 6 (е) при условии, что ! е ! ч': 1.
Ограничимся в бесконечном определителе (7.96) Хилла сначала двумя строками и двумя столбцами () о Л (е)= =О или Ьо (е) =- 6 (6 — 1) — — ' = О. Положим е = О. Тогда Ь(О) =6 (6 — 1). Это нулевое приближение имеет два корня 6(о) () 6(о) Для определения первого приближения положим 6( ) 6(о) + о 60) 6(о) + о или, учитывая значения 6,' и 6(), 6Г~ = а,е', 6(') = 1 + а,е'. Составим теперь из (7.96) определитель Ло; О Ьо (е) = — 6 †2 253 5 ьа Решения уРАВнений хиллА и ИАтье раскрывая определитель, находим Аз(е) =-.6(6 — 1)(6 — 4) — ~ (36 — 8) = О.
Внесем сюда сначала б,н = о1Е: со 2. ЕЯ а1е'(агез — 1) (а1ез — 4) — -- (Зогзз — 8) =. 0 4 или, ограничиваясь членами не выше второго порядка малости, 4а,е' + 2е' = О. Отсюда находим 6 Аналогично найдем и, и 6",~: 12 ' ~ + 1А н1 з з Можно показать, что если придерживаться прияятой точности, то вычисления с помощью определителей более высокого порядка не внесут улучшения в найденные значения а, и аз. Это следует из очевидного равенства, получающегося из определителя (7.96) для конечного п при раскрытии его по элементам последнего столбца или строки: А„= [6 — (и — 1)') А„1 — — А,, Поэтому будем считать, что при малых е два решения уравнения (7.98) определяются равенствами: 6 =- — —, 6 =-- 1 + — е'.
(7.102) Аналогично получим решения уравнений (7,97)— (7.99): причем улучшить эти результаты за счет повышения.порядка определителей нельзя, если только вычисления вести до первого члена, содержащего е. На рис. 7.9 показаны области устойчивости для малых з. Если в систему ввести демпфирование, то уравнение (7.89) примет вид — + 2Л вЂ” +(6+есозт)х=О, (7.104) Н~л Нз где 6)0.
25Т Гл. Т!1. устоячивость неАВтОнОмных систем С помощью подстановки х=-з "г (7ЛО5) приведем уравнение (7Л104) к виду —, + (6 — 6'+ зсозт)г=О. (7ЛОО) Это уравнение совпадает с уравнением Матье (7.89), если положить 6, =6 — Й'-, Предположим, что при заданных 6, Ь, с уравнение (7ЛОО) определяет устойчивое движение относительно г. гг Тогда, согласно равенству (7Л05), движение будет асимптотически устойчиво относительно переменной г. $ 7;7. Примеры исследования устойчивости систем с параметрическим возбуждением Параметрические возбуждения встречаются во многих системах.
Так, например, они возникают в системах, на которые действуют псриодичесни изменяющиеся силы (см. пример 1), при периодически изменяющейся жесткости упругих элементов системы, при качке судов [71, при вращении валов с различными л1оментамв инерции и т. п, Большое значение имеют рассмотренные в этой главе методы при исследовании устойчивости периодических колебаний нелинейных систем. Мы ограничимся рассмотрением двух простейших при- меров, я 7 7. системы с плгаыетрическим ЕОзеужденпем 255 Пример1.Влияние вибрацпп точки кодвеса н а устойчивость равновесия маятника.
Пусть материальная точка М массой т укреплена иа конце стержня, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Очевидно, что такой маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верюгее неустойчивое. Иссйедуем влияние колебаний точки подвеса О на характер равновесия маятника. Рассмотрим сначала влияние горизонтальных колебаний точки подвеса О на устойчивость нижвего положения равновесия маятника (рис.
7.10). Присоедиииы к силе тяжести маятника тх переносную силу пнерцяи Ф, = — ту, где з = х(1) — вакон движения точки О. Воспользуемся теоремон об измене- ) нии момента количества движения относительно оси вращения маятника (массой стержня пренеброгаем): а' — (о~)з<р) = — ~ал1 Мп ю — тз1 сов зр. Ф Вудом считать, что точка подвес» маятника колеблется по гармоническому закону х = а сов юг. Тогда для малых углов последнее уравнение примет вид д аюз Ф+ 1 Ч'= — 1 сов юс Рис. 7,10 Это уравнение обычных вынужденных колебаний системы, находящейся под действием возмущающей силы (аюз(1) сов юг. Резонанс возиожен только при совпадении частоты возмущаюп1ей силы с частотой собственных колебаний, равной р' Е(1, т.
е. при Рассмотрим теперь влияние вертикальных колебаний точки подвеса на устойчивость нижнего равновесного положения маятника (рис. 7Л1, а). Присоединим к силе тяжести маптанка тд переносную силу инерции Ф, =- — тд где у = а сов ом — закон движения точки О но вертикали, н снова воспользуемся теоремой об изменении момента количества двпжения относительно оси вращения вгантиика Н (т)в~р) =- — т (а . У) 1 в)п й, илп, считая угол 1р малым, I Л ей зр+ ( — + а — сов ю1) ю = О.
Для того чтобы привести ото уравнение Матье к канонической форме (7.80), положим юв= с. 286 ГЛ. 1'1!. УСТОЙ'1ПВОСТЬ Е!ЕАВТОНОМПЫХ СИСТЕМ После очевидных преобразований получим — + ) — + — соэ т) 17 = О. (7.!07) Сравнивая это с уравнением (7.89), находим б = д/()юз), е = а/й (7П08) Параметрический резонанс при малых е наступает вблизи значений б = йз/4, где й — целое положительное число.
Поэтому у/// ту' /У/,и а/ Рис. 7.И прн частоте вертикальных колебаний точки подвеся, близких к значениям ы == 21л )/ Х/) (и -= ), 2, 3,...), устойчивое нюкнее положение маятника сделается неустойчивым. Отметим, что обычный резонанс будет только прн частоте ы = = 7/бП, в то время как параметрический резонанс наступает вблизи частот 2р'Х/1, р/'у/), з/ )/'Г/), 1/. ~l'Х/), — +) — — з -1- ) соз т)Т вЂ”.— О. Проведенный анализ показывает, что устойчивость нюкнего положения маятника может быть разрушена вертикальными колебаниями точки нодвеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
