Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В силу непрерывности бесконечно малый высший предел имеет всякая не зависая(ая от 1 функция У. Но функции, зависящие от г, хотя бы и ограниченные, могут не иметь его. В качестве примера рассмотрим три функции: з(пз [(хз +... + хз)1]; (хат +... + хз)з1пз Г; С (хт + хт)— — 2 соз с х х . Первые две функции огрангжены и польояптельны, по только вторая из них допускает бесконечно малый эысппгй предел. Заметим, что ни одна из этих двух функций не является знакоопределенной (так как прн бесчисленных значениях с опи могут обратиться д ьг. Основные теОРемы НРямого метОдА 219 е нуль).
Третья функция оиределеиио-положительяа, ло ова иеогаиичеиа и, следовательно, ие имеет бесконечно малого высжего редела. В заключение етого параграфа отметим, что полная производная функции г' (х, г) по времени Ф, взятая в предположении, что переменные х; удовлетворяют днфференцнальным уравнениям возмущенного движения (1.16), вычнсляется по формуле 1 = — д Хг+.:+ д, Хя+ д, . (7.10) дп дР ди дю я Читателю полезно сравнить зто выражение с равенством (2 12).
й 7.2. Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем читаются н доказываются почти так же, как н соответствующие теоремы для автономных систем. Поэтому мы приведем сразу все' основные теоремы и докажем только одну нз ннх.
Теорема Ляпунова об устойчивости двнжения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию )г, производная которой и' в силу этих уравнений была бы знакопоспюянной функцией противогюложного знака с Ьг или тождественно равна нулю, то невозмущенное двилсение устойчиво. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения молсно найти знакоопределенную функцию )г, допускающую бесконечно малый высший предел, производная которой 1г в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с )г, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения.
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию )г, допускающую бесконечно малый высший предел, производная которой )г в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция Ьг в окрестности нуля переменных хз и при всех С ..--. ~) гю где ьг сколь угодно велико, может принимать зна- 220 гл.
тгь кстоичивость нилвтономных снствм чения того же знака, что и производная, то невозмугценное движение неустойчиво, Прежде чем перейти к теореме Четаева о неустойчивости движения, необходимо дать дополнительное определения области Р ) О (см. $ 2.4). Совокупность значений переменных хк, удовлетворяющих в области (7 1) неравенству У (х, 1) ) О, называется областью У ) О, а поверхность И (х, г) = Π— границей последней.
Для функции У (х, г), зависящей явно от 1, граница области Ф') О и сама область изменяютсн с течением времени 1. Может оказаться, что область У (х, т) ) О, изменяясь с течением времени, перестанет существовать. Функция У (х, 8) называется определенно-положительной в области г') О, если для произвольного полон~ительного числа е, как бы мало опо нм было выбрано, найдется такое положительное число 1, что прн всех хю удовлетворяющих условию И:л е, н для всякого г ) 1„игчеет место неравенство У (х, 1) -- 1. Теорема Четаева о неустойчивости движения.
Если дифференциальные уравнения возмуи1енного движения таковы, что можно найти функцию У, ограниченную в области У ) О, существующей в сколь угодно малой окрестности нуля переменных хк при всех С = Рю производная которой $' в силу этих уравнений была бы определенно-положительной функцией в области У ) О, то невовмущенное движение неустойчиво. Докажем для примера теорему Ляпунова об устойчивости двинсения (доказательство других теорем можно найти, например, в (35, 49, 37)).
Пусть У вЂ” определенно-положительная функция, а Р ~( О. По определению знакоопределенной функции, найдется такая не зависящая от 1 определенно-положительная функция Иг, что при достаточно большом и достаточно малом и в области (7.1) будут иметь место неравенства д' ~< О, У (х, 1) ь Иг (х). (7.11) Выберем произвольно малое положительное число е (конечно, е ~( р). ~а сфере з пространства хь (рис.
7.3) ~хе=.е (7.12) к значения функции И'(х) отличны от нуля (так как функция И' определенно-положительная и обращается в нуль Э 72. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА 221 только в начале координат 0). Поэтому точная нижняя граница 1 функции И' на сфере в положительна и не может равняться нулю. Согласно определению точной нюкней границы на поверхности сферы е будет иметь место неравенство Пользуясь теперь вторым условием (7.11), найдем, что.в любой точке сферы в функция Г(х, 1) не меньше й )7,(х, С) ~ 1. (7 13) Рассмотрим функцию Г' (х, 1) при фиксированном значении вре- Рис. 7.3 мели Ф=гю т. е.
функцию К (х, 12). Эта функция не зависит от 1 и при х = О она обращается в нуль. В силу непрерывности этой функции по числу 1 найдется такое число б ) О, что для всех точек, находящихся внутри или на поверхности сферы 6, ~х'„=6, значения функции К (х, 1и) будут удовлетворять неравенству (7.14) К (х, Ео) Покалсем, что изображающая точка М, начав движение из сферы б, никогда не дойдет до сферы з. Действительно, так как начальная точка М, берется иа сферы би то значение функции К (хю 1и) в атой точке должно удовлетворять неравенству (7 14)с 7 Э = 7' (ХО сО) ~ 1.
Воспольауемся очевидным равенством К вЂ” рэ=. ) РФ й или, принимая во внимание соотношения (7.11) и (7.15), 7' ~( Ро (1 (7.16) Это неравенство выполняется в течение всего времени движения. Следовательно, изображающая точка М, начав двюкение из положения Мю находящегося в сфере 6, 222 гл.
чп. устОЙчиВОсть пннвтонОагиых систнм никогда не дойдет до сферы е (так как на сфере е, согласно неравенству (7.13), функция Ге (х, 1)~ )1). Теорема доказана. Из приведенного доказательства, принадлежащего А. М. Ляпунову, виден метод, с помощью которого по выбранному е можно найти число б. Действительно, зная е, нужно .найти на сфере е точную нижнюю границу 1 функции И'(х) (если функции И не зависит от времени 1 явно, то точную нижнюю границу функции р (х)). Число 6 найдется теперь из неравенства (7.14) (подробнее об этом см. Статью Н. Г. Четаева, перепочатанную в книге [49[). Закончим иалоягение общих теорем прямого метода Ляпунова следующим замечанием. Во всех тооремах этого метода можно определить характер устойчивости движения только после того, как найдена функция Ляпунова, удовлетворяющая определенным условиям.
Естественно' возникает вопрос об обратимости этого метода. Иначе говори, можно ли утверждать, что для всякого устойчивого (неустойчивого) движения имеется соответствующая функция Ляпунова. Исследованием этой проблемы занимались многие ученые. Подробное изложение, основные результаты и историю вопроса можно найти в книге Н. Н. Красовского [27[. б 7.3.
Примеры построения функции Ляпунова для неавтономных систем Пример 1. Устойчивость движения гирогор п в о н т к о м п а с а. Чувствительный элемент гирогоризопткомпаса состоит из двух идентичных гироскопов 1 и 2, установленных в сфере и соединенных между собой (рис.
7.4). А. Ю. Ишлинский в своей работе 1221 показал, что если на гироскопы подавать управляющий момент 4Вз 7Ч = — — сов з з1пг, ю1В где з — угол отклонения осей гироскопов от оси Я вЂ” Д1 гиросферы, т — ее масса,  — кинетический момент гироскопа, 1 — расстояние от точки подвеса О гиросферы до ее центра тяжести, и — радиус Земли, принимаемой за шар, то в установившемся двнзкеиии чувствптельпый элемент будет показывать плоскость горизонта п плоскость меридиана при любом движении ло поверхности Земли корабля, на котороы установлен прибор. Восточная составляющая 1' скорости корабля относительна Земли прп плавании в не очень высоких шпротах исиьше переносной скорости Во" сое ф, где В -- угловая скорость вращения 3 тв.
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ШУИиции ЛппхегОВА 223 Зеылп, а ~р — широта л~еста плавания. Поэтому ) Гн ) ( В // соа а. (7.17) Уравнения возмущенного движения спстемы в упрощающих, но вполне оправданных предположениях имеют впд (вывод мои<но найти н упомннутой работе А 10, оу Цшлинского) ~1 та 2В з1п и т, — - — т() — о~ - б=о, ф о — +ч „а — ыу.=О, р/г/1 бу 2В атв с — „, .(-об)+ б=о, (7.18) т11/дВ с~ 2ВПпп б о — 11 ы а — ту=-О. 11/гВ 1,/г/1 В атих уравнениях а, (), у, б — координаты системы, опредсляю- Рис. 7.4 щие ее положение в возмущенном движении, и(1) — абсолютная скорость точки О, причем з = (т/ оз р + 1 )з + 1"., (7.19) где уп — северная составляющая скорости точки О относительно , Земли, ы (1) — вертикальная составляющая угловой скорости трехгранника Дарбу, относительно которого определяетси положение гнросферы, и (т) — значение угла е в установившемся движении, т =- р/у//1 — частота, соотвгтствузощая периоду 1Пулера, Х вЂ” ускоренкс гильз тяжести.
Отметим, что и (1), о> (1) и а (з) — заданные функции вргмспп, причем по своему физическому смыслу и (1) -= > а, == ппп и > О. Умпожим первое уравновпо (7.18) па пх/1/ЛВ, второе на третье па у и четвертое па 2В з)п и б/~а1рггВ и сложим почлснно все уранненпя. Тогда поело очсвщшых упрощений получим оа В га ф еу 23 з)п з ° Ь Л 2В з)л з.б нлн, иитегрир1я, гз 4Ве з1па с р = — — В аз+()~+ уз+ жз)з В ба= сонат. (7.20) Из соотношений (7.17) и (7,19) следует оз (1) )~ (В(/ соз ~р — шах ( у ( )з > О, Кроме того, из условия и (з) та пг > О вытекает, что з(пз и (1) > > з)пз и > О. Этн неравенства означазот, что выполнен обобп1енный критерии Сильвестра (7.5) п, следовательно, функция Р является определенно-положительной в смыоло Ляпунова. Полная 224 гл.
уп. устоичпвость нвавтономных снствм производная Р функции р по времени на оспонанпи интеграла (7.20) равна нулю. Согласно нервой теореме Ляпунова $ 7.2, возмущенное движонве гпрогоризонткомпаса устойчиво относительно а, б, у и б. Пример 2 (математнческий). Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид хг = Ьт(1)хт + бгз (1)хз +... + Умах„ (7.21) хз = Км (1)хт+ Уэз (1)хз + + Ьэ (1)хз где коаффициенты ут) (1) удовлетворяют условию косой симметрии уг1 (1) = — у1э (1). (7.22) Составим определеняо-положктельную функцию 1 Р = 2 (х~ г з+.
"+ х~) Вычислим полную производную от этой функции по времени Р = хтет+ хзез + .. + х,дз и внесем сюда значения производных ха из уравнений (7.21). Тогда учитывая равенства (7.22), получим Р = Ь, (1)х'„+ Ь, (1)хэ' +... + Ь, (1)х,'. Если при 1) й все коэффициенты Ьх (1) неположительны Ьа(1)~(0 (а=1,2,...,г), то производная Р будет отрицательной функцией и, следовательно, невозмущенное движение хэ = 0 будет устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
