Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(6.115) Зти уравнения можно рассматривать как результат наложения на потенциальную систему х + с,х — — О, у + сэу — — 0 !6.116) неконсервативных сил ру и — рх с кососимметричной мат- рвцей коэффициентов Составим характеристическое уравнение системы (6.115) РР+ с1 — р Р Л2+ сэ или, раскрывая определитель, Ль + (с + сз)Л8 + с сэ + рэ = О. (6.117) Система будет устойчива, если оба корня относительно Ла будут вещественны и отрицательны.
Для этого необходимо потребовать, чтобы коэффициенты и дискриминант уравнения (6,117) были положительны: с, + сэ» О, с,сэ + р' ) О, (с, + сэ)' — 4 (с,се + р ) ) О. Преобразуя последнее неравенство, приведем условие устойчивости к виду с1 + сэ ~ О, с1сэ ) — рз, ~ с1 — се ( ~ 2 ! р !. (6 118) При р = О, т. е. при отсутствии неконсервативных позеционных сил, этн условия дают с, ) О, с, ~ О, что непосредственно следует и из уравнений (6 116).
На плоскости параметров с„и с, область устойчивости потенциальной системы (6.116) заполняет весь первый квадрант (рнс. 6.6,а). При р =~ 0 область устойчивости показана на рис. 6.6, б. Границами этой области слуя1ат пря мая .1 (с, + сэ = 0), ветви гиперболы с,с, = — рз и прямые 2 и 2 (с — с8 — — .+ 2р), касаалциеся гипербол в их вершпнах. Из рнсу81ка видно, что значительная часть области Гч. уь Влияние стРуктуРы сил устойчивости потенциальной системы (6.116), занимающая весь первый квадрант (рис. 6,6, а), при добавлении неконсервативных позиционных сил переходит в область неустойчивости (коридор между заштрихованными областямн рис.
6.6, б). Одновременно видно, что небольшие части области устойчивости рассматриваемой системы (6.115) расположены во втором и четвертом квадрантах, Рис. 6.6 где одна потенциальная система (6.116) неустойчива. Таким образом, неконсервативные позиционные силы могут разрушить устойчивость потенциальной системы, но в некоторых случаях онн стабилизируют ее. На рассмотренном примере (6.115) покажем, как могут влиять диссипативные силы на устойчивость движения системы с потенциальными и неконсервативными позиционными силами. Для етого присоединим к системе (6.115) силы — Ь,х и — Ьзу, где Ь, и Ьз положительны. Тогда получим х + Ьгх + сгх — ру = О, (6.119) у+Ьзу +сау +рх = О.
Составим характеристическое уравнение: †-0 ~ +,.й+„(=- нлн, раскрывая определитель, Ль + (Ь1 + Ьз)Лз + (с1 + сз + Ь1Ьз)Лз + (сгЬз + саЬг)Л + + с,сз + рз = О. Нани|нем для етого уравнения критерий Гурвица (4.32): Ьг+ Ьз)0, с1+сз+ Ь1Ьз)0, с1Ьз+сзЬ|)0, с,сз + р') О, (6.120) $6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВИЫХ СИЛ 697 йз — (Ьг + Ь,)(с, -+ с, + Ь,Ь,)(с,Ь, + с,Ь,)— — (сгЬг + сгбг)г — (Ьг + Ьг)г(сгсг + Рг) ) О, Преобразуем последнее неравенство: Лг = Ь,Ьг (Ь, + Ь,)(с,Ь, + с,Ь,) + Ь,Ь, (сг — сг) — (Ьг + Ьг)'р' ) О. (6.121) Покажем прежде всего, что диссипативяые силы могут при некоторых условиях стабилизировать неустойчивую систему (6.115).
Действительно, при с, =- сг =- с ) 0 критерий Гурвица примет вид Ь, + Ьг ) О, 2с + Ь,Ь, ) О, с (Ь, .+ Ьг) ) О, сг + рг ) О, Л, =- (Ь, + Ьг)г(Ь,Ьгс — Рг) ) О. Первые четыре условия выполеяются автоматически (по предположению, с ) О, Ь, ) О, Ьг ) 0), а последнее неравенство будет выполнено, если подчинить диссепативные силы условию Рг ь,ь, > —. с Таким образом, неустойчивую систему, находящуюся под действием потенциальных и неконсервативных позиционных сил, можно стабилизировать диссипативными силами (при с, = сг, р ~ 0 и Ь, = Ь, =- 0 система (6.115) неустойчива — см.
рис. 6,6, б). Покажем теперь, что диссипативные силы могут разрушить устойчивость системы, находящейся под действием потенциальных и неконсорвативных сил. Действительно, пусть выполнены условия (6.118). Тогда система (6.115) будет устойчива. Присоединим к этой системе диссипативные силы, положив Ьг = О, и Ь, = Ь ) О. Тогда условие (6.121) ггг = Ьгр' ( 0 принимает противоположный смысл, что свидетельствует о неустойчивости движения (см. примечание к условиям Гурвица (4.32)).
Из рассмотренного примера (6 115) с двумя степенями свободы видно, что при равенство коэффициентов устойчивости с, и сг добавление любых неконсерватнвных позиционных сил ру и — рз разрушает устойчивость потенциальной системы. Покагкем, что это свойство справед- 198 ГЛ. УЬ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ,СИЧ лпво для системы с любым числом степеней свободы.
Для этого рассмотрим устойчивую потенциальную систему с равными коэффициентами устойчивости с, = сг =... —.— с„= с. Напомним, что для устойчивой потенциальной системы коэффициенты устойчивости равны квадратам частот собственных колебаний, Теорема 3. Если в устойчивую потенциальную систему с равными собственными частотами вводятся линейные нееонсерватизные силы, то устойчивость будет разрушена вне зависимости от нелинейных членов (38), Доказательство. Уравнение движения системы, на которую действуют линейные потенциальные н неконсервативные позиционные силы, возьмем в форме (6.45) й + Сох + Ря =.- Я. Прн равных коэффициентах устойчивости Сз = сЕ, где Š— единичная матрица, и наследное уравнение примет впд й+ ох+ ря —.— я.
Составим характеристическое уравнение аИ(ЕР, +с)+Р) =О. Это уравнение совпадает с уравнеяпем (6.106), если в последнем заменить Хг на )г + с. Поэтому не равные нулю корни последнего уравнения относительно Хг + с будут )Р+с=+ а1. Отсюда у аз+ с'+ с 1/ у а~+ сз — с 2 2 Наличие корней с положительной вещественной частью служит доказательством теоремы. Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под действием произвольных потенциальных и неконсервативпых позиционных сил и линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что возмущенное дви1кение определяется уравнением (6.50). Теорема 4.
Если в положении неустойчивого равновесия консервативной систем и по1пенц валь ноя элер г ия П (д) имеет 8.8 Влияние нгкопсеРВАтиВных сил 199 максимум, определенный наинизшими членами разлоясения ее в ряд по степеням д, то при добавлении произвольных неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил равновесие останется неустойчивым[38]. Доказательство. Уравнение возмущенного движения (6.50) в сделанных предположениях имеет вид — „, (Ад)= — дгадП+ В(д) - Вд.
(6Л23) Здесь вь (д) — произвольная неконсервативная позиционная сила,  — постоянная неотрицательная, а А (д)— определенно-положптельная матрицы, П (д) — потенциальная энергия системы, имеющая при д = О максимум. Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням д: П(д) =П (д)+..., (6Л24) где П,„(д) — однородная форма степени т, а точки оз- иачают совокупность членов, содержащих координаты в степени выше т. Так как по условию теоремы максимум потенциальной энергии П (д) определяется наииизшими членами разложения ее по степеням д, то однородная форма П (д) должна быть определенно-отрицательной функцией координат д, причем число т, конечно, четное. Возьмем следующую функцию г', 1г =- Ад д + — Вд д, 1 и вычислим ее производную ио времени в силу уравнения возмущенного движения (6.123).
Тогда, учитывая равенство (6Л5), получим Р = Ад д — д ягад П. На основании теоремы Эйлера об однородных функциях и равенства (6.124) будем иметь Б д дгадП=-лз д„— =тП (д) +... дП Д Зчв 1=1 Следовательно, Ф' = Аф д — тП~ (д) + Первое слагаемое в этом выражении представляет определенно-положительную функцию,'скоростей, а второе слагаемое — тП (д) — определенно-положительную функцию координат. Поэтому в окрестности нуля д = О, 200 ГЛ, У|. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СНЛ д = О производная $> функцип У будет определенно-положительной функцией координат и скоростей. Так как сама функция У может принимать положительные значения (например, при о = д), то доказательство теоремы является прямым следствием теоремы Ляпунова о неустойчивости даня>ения (см.
$ 2.4). Заметим, что условие, по которому определяется максимум потенциальной энергии, можно ослабить. в. О б щ и й с л у ч а й. Перейдем к рассмотрению случая, когда на систему действуют линейные потенциальные, диссипативныо, ускоряющие, гироскопические, неконсервативные позиционные и нелинейные силы. Уравнения возмущенного двия1ения возьмем вначале в форме (6.46) й+ Вой + Сй+ Сх+ Рх=-Я (6Л25) Составим характеристическое уравнение Л = йе1 (ЕЛэ + В„Л + СЛ + С + Р) = О (6.126) или, более подробно, Лй+ Ь1> + с11 ...
г>,Л+ с1, + Р1 г 1Л+с +р ... Л1+Ь Л-)-с раскроем определитель и сгруппируем члены по степе- ням Л: Л = Ли + а>Л>1-1 + .... + ам,Л -+ аю = О. (6.127) Очевидно„ что а = (>1+ .... + 1>, =- Яр В =- Яр В„ аю = де1 (С + Р) =- йе1 С>, (6.128) где В> и С1 — матрицы исходного непреобразованного уравнения (6.42). Пользуясь этими равенствами, докая1ем теоремы, определяющие необходимые условия устойчивости движения. Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипативными, то система будет пвустойчива при любых других линейных и нвлипсйных силах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
