Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Разбивая ее па симьютричную и кососимметричную части по формулам (6.5), найдем где сг, — — е~ = с~+се — Р1н ее+ сз 1 сгз = си = — 2 —.-- 2 (Г1~ — 2сз) Р = — 2 (ез — сз) =- 2 Г11. сзз == сю Иа этих выражений видно, что следящая сила Ю' соадает не- коисервативиые позиционпые силы 1 1 Р1 =- 2 Г1 1р„Р = — 2 Р111рг. В потенциальную энергию всей системы П =. 2 (сп111 + 2сгз1Р11(з + сзз'Рз) входят слагаемые, зависягцие и от следящей силы (см.
выражения для са1). Составим характеристическое уравнение аг),з+ е1 аийз — е ( '~ = о, азяме — сз ази) з+ сз ~ нлп, раскрывая определительэ аЛз 1- ЬХз + сэ = О, где а = а а з — аг „ Ь =- аис1 + аз е1 + агз (ез .)- сз), сс =- сз (ег — ез) = сзсз. 1'ассматриваемая система будет устойчива в первом приближении, если все корин относительно Ьз будут веществеввымп отрицательными числами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Ь)0, о = Ьт — 4асэ)0 (6.129) (а ) 0 н с, ) 0 при любых значениях следящей силы Р) Из этих неравенств можно найти наименьшее значенае следящей силы, при котором сохраняетси устойчивость системы (легко проверить, что при отсутствии следящей силы система устойчива).
Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая идентичных стерл1ней 9 с.э. сггстпьтьг с пкпОисппнлтпппшмп снллмм 207 и пружин. При ть = т = т, 1, = 1. = 1 и сь = еь —— с получим ап — = ьььзтЕ5 аьь =' ь(а пыл, ам = ь1з т)з, а = — ь1з та)ь, еь — — 2с — Г1, ез = с — Л. После подстановки в (6Л29) получим 5 Ъ =- тР(Зс — — Л) )О, 6 а = тЧ" ~(Зе — 6 Л) — 4 3 ез~ ) О. Отсюда находим, что рассматриваемая система будет устойчива в первом приближении при С Р < — (3 — ~ь —.) — = 0,504 —, 5(,!3) Если модуль следящей силы будет больше этой величины, то второе неравенство (6Л29) приобретает противополояшый смысл и система сделается неустойчивой.
Пример 2. Неустойчивость ротора, вращающегося в аэродинамической среде, Как показывает опыт, вращающийся в кожухе ротор при наличии трения об аэродинамическую среду приобретает неустойчивое поперечное движение. Это явление, хорошо иллюстрирующее первую 41 часть 4 6.8, впервые исследовал П, Л. Капица (24]. ,, аь На рис.
6.8 изображен ротор 1,ф: льу массой М, вращающийся с угловой 1,, °,ф скоростью ы в кольцевом кожухе 2, 4 ь 'н 0 П4ьостРанство междУ РотоРом и ко- .ь~~~~~ ~т ььь. жухом заполнено гидродинамической средой, например газом. Если центр О, ротора совпадает с центром О кожуха, то трение о газ вызовет тольио тормозящий момент, который Р с. 6.8 не скажется на положении оси ра- ис. тора. Покюкем, что при смещении оси Оь ротора возникают неконсервативные силы (мы пользуемся объясненьгем П. Л. Капицы; заметим только, что он не классифицировал силы по их структуре). Пусть для принера центр Оь ротора сместился вправо вдоль оси а на величину 00ь=а.
Газ в кожухе увлекается вращением ротора и приобретает скорости г, и аь. Так как зазор между кожухом и ротором в направлении сдвига становится меньше, а количество газа в круговом движении постоянно, то аь)эь. Поэтому трение поверхности ротора о газ не будет одинаковым с, правой и с левой стороны; очевидно, что опо будет больше в тех частях его поверхности, где разность между периферийной скоростью ротора и газа больше. В сделанных предположениях о направлении смещения центра ротора левая его сторона будет испытывать большее трение о газ, чем правая, в результате чего появится сила 208 1'Л. Ч1. ВЛИЯНИЕ СТРУ1ГТУРЫ СИЛ Ву (кроме силы Юю перпендикулярной смещению, воапвкают еще сйлы в направлейин передвгокения; зги силы, вызванные явлением Бернулли, малы и для простоты изложения нами не учитываются).
Вычисление силы Яу произведем в простейших предположениях, а именно: когда скорость газа велика и его движение можно принять полностью турбулентным; кроме того, предполагаем, что трение ротора от вязкости газа в первом приближении не зависит. Обозначим величину зазора между ротором н кожухом при совпадении нх центров через е. Пусть центр ротора сместился по оси х на величину 00г = х. Проведем иа точки Ог прямую ОгМ под углом О к оси х. Величину зазора КМ при смещенном положении ротора обозначим череа е, (рис. 6.8). Из треугольника ОМО, по теореме косинусов найдем (радиус ко~пуха ОМ, очевидно, равен В + е, где Л вЂ” радиус ротора) (В + е)з = хз + (В + ег)з — 2х (В - е,) соз (я — О), или, раскрывая скобка„ 2Ве + е = х + 2Ве, + ез + 2Вх соз О + 2хгч соз О.
Считая величины х, е и, следовательно, ег малымп по сравнению с Л, пренебрежем членами второго порядка малости: 2Ве = 2Ве + 2Лх соз О. Отсюда ег= е — хсозО. Среднюю скорость гааа при несмещенном роторе принимают равной Вю/2, т. е. половине скорости точек ротора, лежащих на его периферии. При смещении ротора скорость и газа в зазоре будет меняться, по количество газа, проходящего через любое сечение, равняется тому, которое было до перемещении ротора. Следовательно, Вю ие1 = — е1 2 где 1 — толщина ротора.
Пользуясь выражением для гд и сокращая иа 1, получим Лы з (е — хсоз О) = (6.130) При болыпих скоростях сила трения 88, действующая па злемент наружной поверхности ротора В1 80, будет приближенно пропорциональна квадрату относительной скорости (Лы — с)з и плотности окрузкающей среды р. Сила зта направлена по касательной к ротору (см. рис. 6.8). Проектируя ее на ось у и интегрируя но О от 0 до 2я, получим зя Вз — — — коВ1 ~ (Вю — ю)зсоз 080, о где к — козффицпент трения. 9 6.9, систумы с некОнсеРВАтивными силаыи 209 Найдем скорость и иа равенства (6.130) и внесем ее в это выражение Длк Яьс е Яу — — — крЯЧаз ~ (4 — 2 — — — -„—,д) соз 0 00.
о Будем считать, что смещение х мало по сравнению с величиной зазора е. Тогда, разлагая подынтегральиое выражение в ряд по степеням х и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим после очевидных преобразований якр Иеаз Я = — ° — х. У 2 Аналогично получается составляющая - Ях: яко Иза" е 'х 2 К ротору, кроме сил трения Ях и Яю нриложеиа сила упругости Ю, проекции которой на оси координат будут гх = — сх и г„= — су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на нагиб (на рис. 6,9 изображены силы Я и Я), Пользуясь теоремой о движении Я центра масс, составим дифференциальные уравнения движения точки О,: Яг Мй = )ех + Ях + Х 0 Х Му = хе+ Яе+ У.
Здесь Х и У вЂ” неучтенные нелинейные члены, содержюцие х, у в у в степени вьппе первой. Внесем значения Рх, гю Я„и Рис. 6.9 Яе, разделим на массу ротора М и перенесем часть членов в левые чести уравнений. Тогда, введя обозначения с яко Исае йз = — Р = — ' М' ' 2 еМ получим х+ йзх — уу = Х, 9.( йзу ) „х = У. (6Л3() В этих уравнениях слагаемые й'х и й'у, полученные от упругой силы 2е, представляют потенциальные силы, слагаемые — ру и рх (проекции главного вектора Я сил трения, взятые с обратным знаком и отнесенные к единице массы) — некоисервативные силы, Х и У вЂ” нелинейные члены. Левые части уравнений (6Л31) совпадают с уравнениями (6.ттб).
Для носледиих было показано, что при равенстве коэффициентов сг и с (в данном примере с = с, = йз), движение неустойчиво при любых значениях р + 0 й любых нелинейных членах. Поэтому при отсутствии демпфирования поперечное движение оси 210 гл, чп влипипв стррктрррл сил ротора, вращающегося в гидродинамической среде, всегда неустойчиво. Ограничиваясь случаем Х =- У =- О, рассмотрим характор неустойчивого движения более подробно. Для етого умиожим второе ураниение (6.131)ка 1 = ре †1 сложим почлеико оба уравиеиия: х + )у'+ йа (х + )у) + р ()х — у) = 0 е' + ()еа + )р) х = О, (6.132) где коиплекская переменная х определена равенством х = х + )у.
Решение уравнения (6.132) будем искать в обычной форме: х = Ае л) где А — иекоторое комплексное число. Внося = Ае в уравяел) кве (6.132), получаем () л ())е (р)) Аех) О Отсюда Будем считать, что р (( ле, Тогда, извлекая кореиь па комплексного числа — йе — )р, находим с точиостью до р')Ае Р Р Х = —. — )е), Хе = — —: -(- )е)„ 2)) ' ' 2/) Общее решение уравнения (6 132) прпмет впд р р — е та — —,с х = Ае е-1а) +Ве еж, 2г где А и  — проиэвольпые постоянные интегрирования.
Второе слагаемое быстро убывает по леодулю, поэтол)у, преисбрегая им, получим р х —. Ает е-ж). По своему определению х является комплексной координатой точки Ол. Свяаь между полярными координатами г п )р точки Ол и переменной х определяется равенствами г=-(х~, )р= агйх. Следов ательпо, р г=(А)еат ' )у=а), Таком обрааом, точка О, ивин)ется по логарифмической спирала, а полок)еиие равновесия цевтра ротора является поустойчивым фокусом.
На рве. 6.10 приведена фотография, ваимство- 6 е!!. системы с никог!сеРВАтивиымгг сичамг1 211 ванная из работы (24), на которой воспроизведена траектория точки Г~,, полученная П, Л. Каяицеп при постановке эксперииента. Для стабилизации поперечного движения оси ротора устанавливается кольцевой деипфер, создающий силы сопротивления, Рис. 6.10 пропорциональные скоростяи с одинаковым коэффициентом демпфирования Ьг = МЬ. Уравнения движения (6Л31) принимают вид х + Ьг + Ьтх — ру = Х, у+ Ьу+Ьту+рх=-У.
Пользуясь условием асимптотической устойчивости (6.122), получим Ь> рПа Это неравенство определяет основное требование, предъявляемое к демпферу. ПриыерЗ.Гировертикаль с радиальной кор р е к ц и о й. В авиации широкое распространение получали гировертикали с радиальпой коррекциои.
Прибор устроен следующиъз образом. Гироскоп (на рис. 6.11 он не показан) помещен в кожух г. На кожухе установлены два уровня 1 и 2, заполненных токопроводящей жидкостью г). При отклонении оси гироскопа от вертикали ь в уровнях создается разность потенциалов, которая усиливается специальным устройством и подается на датчики моментов Дг и ') Вместо двух линейных уровней, как правило, устанавливают один шаровой уровень. Тот же эффект в конструкциях более старого выпуска создавался с помощью струй воздуха. 2рй РЛ. УЕ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ Д,. Уровень 1 управляет датчиком Д„а уровень 2 — датчиком Дз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
