Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Примечаиие. Теорема доказана для линейной аетоиомиой системы, ио оиа справедлива «для линейной пеавтоиомиой системы, когда гироскопическая матрица 6 завасит явно от времени (равеиство 6й д =. О, яа котором базируется доказательство теоремы, справедливо для любой кососимметричиой матрицы, зависящей «вимм образом от времени), а таки>е для нелинейной системы (см. статью В. В. Румянцева (45)). Устойчивость равновесия определяется, конечно, яе только устойчивостью в скоростях, ио и устойчивостью 184 гп. чь Влипнпг стгуктугы снл в координатах. Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия устойчивости системы (6.51) относительно совокупности координат и скоростей.
Теорема 2. Для того чтобы равновесие линейной автономной системы, находящейся под действием одних гироскопических сил, было устойчивым относительно координат, необходимо и достаточно, ч>пабы определитель матриуы гироскопических сил не равнялся нулю [38). Докавателъство. Докажем вначале, что если пес 6 чь О, то невоэмущенное движение в = О, я == О устойчиво относительно координат я (устойчивость относительно скоростей доказана предыдущей теоремой при любом значении де16). Проинтегрируом уравнение (6.79) одпп раз по времени (6.81) где .Π— постоянная интегрирования матрица-столбец определена равенством (6.82) .Р =..
во + 6яо. Перейдем к новой переменной матрице у по формуле (6.83) (так как по условию матрица 6 неособенная, то обратная матрица 6 ' существует). После подстановки в уравнение (6.81) получим д+6у+66'лл =.сЭ или, учитывая тождество 66 'лл = Еог = Хг, (6.84) Согласно теореме 1 этого параграфа, движение устойчиво относительно скоростей й. Из совпадения форм уравнений (6.79) и (6.84) следует, что движение устойчиво относительно у, На основании равенств (6.82) и (6.83) заключаем, что движение устойчиво относительно координат я (при достаточно малых по модула~ я„и хо элементы' матрицы лл будут также малы). Докажем теперь необходимость условии теоремы. Для этого достаточно показать, что при бес 6 .—.-.- О система неустойчива.
Составим характеристическое уравнение а с7. Ги1'Оскош!чкские и диссииьтивные силы 7яз для дифференциального уравнения (6.70): Лв диЛ...ИИЛ яввЛ Х' Д вЂ”. бес(ЕЛв + СЛ) —... — (6Я5) йиЛ Е,,Л...Л оии общий множитель Л: Вынесем из каждой стр Л Уи =6 д Лв и разложим полученный определитель по степеням Л: Д Лв(йв+ +о) =О. Очевидно, что хи о, =- .. 4е177. ЛМ Хв...О Из условия де1 6 = 0 и последних двух равенств следует, что уравнение (6.85) имеет ие менее г + 1 нулевых корней.
Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической матрицы (см. $ 5.3) ХввЛ... Х„Л вв1Х Хв ° ° вввЛ ~в1 ~вв Обозначим через ив общие наибольшие делители всех миноров й-го порядка. Очевидно, что 771 == Л, ввз делится на Лэ, хвз делится на Лэ и т.д. (так как все элементы этой матрицы имеют общий множитель Л).
Поэтому все инвариантные множители Е„.= — О (77=-1,2,...,з; свв= 1) а-1 делятся на Л, т. е. каждый инвариантный множитель Е1(Л) имеет по крайней мере один нулевой корень. Воспользуемся формулой (5.28): И бе$ Р (Л) = Е1 (Л) Еэ (Л).... Е, (Л), Гл уг Влияние стРуктуРы снл Так как число нулевых корней левой части не менее г + 1, а в правой части имеется» инвариантных множителей Е» (Х), то хотя бы один на них содержит нулевой корень кратностибольшепервой.
Это доказывает неустойчивость системы (см. $ 5.4 с. 146). Следствие. Если на сиоп»ему действуют только гироскопические силы и она имеет нечетное число координат, то равновесие такой системы всегда г еустойчиво (если г— нечетное число, то йеС 6 тождественно равен нулю (см. ~ 5.2, с. 129)). Примечание 1. Так как невозлгуигеггное движение устойчиво относительно скоростей при, любом значении йег 6, то из доказательства неустойчивости, системы следует, что кри йес 6 = О сиспюла теряет устойчивость только в координатах.
Примечание 2. Если йе$6 Ф О, то харакпгеристический определитель системы и.ивет ровно г нулевых корней. Лз устойчивости системы следует, что гти корни простые для элементарных делителей. Примечание 3. Уравнение (6.79) во многих случаях представляет уравнение первого приближения нелинейной системы, на которую действуют только гироскопические силы.
Конечно, иэ устойчивости движения при йе$6 ~ О, определяемого уравнением первого приближения, не следует устойчивость исходной нелинейной системы, б. Гироскопические и диссипативн ы е с и л ы. Прежде чем перейти к исследованию влияния диссипативных сил, приведем один результат теории определителей, который понадобится нам и в других рааделах (доказательство будет приведено в конце параграфа). Пусть даны две квадратные матрицы одного порядка г: одна матрица Вг — внакоопределенная диагональная и вторая 6 — кососиыыетричная. Составим определитель А матрицы В, + 6: гг = йес (В, + 6). Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Матрица В, + 6 неособенная, т. е. гг = йег(В,+6)ФО. (6.86) 2. Если матрица Вг определенно-полоягительна, то Ь = йес (Во + 6) ) О. (6.87) в в.7. гигоскопические и диссиплтианые силы 1цт 3. Если матрица Вв определенно-отрицательна, то при в четном 7» = бес (Вв + 6) ) О, (6.88) при в нечетном»» = Йе1 (Вв + 0) ( О. (6.89) рассмотрим теперь влияние диссипативных сил. Теорема 3. Если »шмимо гироскопических сил действуют силы полной диссинаиии, то равновесие системы асимптотически устойчиво относительно скоростей и просто устойчиво относительно координат (38).
Доказательство, Приведем уравнения возмущенного движения к виду (6.46), учтя, что по условию теоремы имеются только гироскопические и диссипативные силы, й + Ввв + 6я =-О. (6.90) В этом уравнении 1' — кососимметричная, а Вв — определенно-положительная диагональная матрнць1 (так как диссипация является полной). Умножнм обе части этого уравнения на матрицу й: й.й ) Ввй.й+Вй.й= О или, преобразуя первое слагаемое и принимая во внимание, что для кососимметричной матрицы Сй й = О, будем иметь 1  — — ( ' й) =-' — Ввя й. 2 в7 В развернутой форме что равенство имеет вид 2 2 2 — Ю (зт+ + г»)=- — (Ь»г»+ +о 2).
Функция У.== — й ° я --. — (2» +... 6 г,) удовлетворяет 1 .. 1» .2 всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости — она определенно-положительна относительно скоростей Й» и ее полная производная по времени в силу уравпепия воамущенного движения (6.90) является определенно-отрицательной функцией тех же величин й, (по условию теоремы дяссипация полная и, следовательно, все Ь» ) 0). Таким образом, движение аснмптотнческн устойчиво относительно скоростей з„. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Проинтегрируем уравнение (6.90) один раз по времени: й+ (В„+а)я =.О, (6.91) гзв гл.
Уг. Влиянии стРуктуРы сил где постоянная матрица 1> определена равенством 1' йз + (Вз + 6) из (6,92) Согласно равенству (6.86) матрица Вэ + 6 неособенная, вследствие чого существует обратная матрица (В, +6) '. Введем новую переменную матрицу гу, определив ее равенством и = д + (В, + С) 'Ю. (63)3) После подстановки в уравнение (63И) получим д + (В + 6) д + (Вз + 6) '(Вз+ 6) 1е = 1е или, учитывая, что (В, + С) ' (В, + 6) 1) = 1), д + (В, + В) д = О.
(6.94) Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей а. Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94) следует, что движение асимптотически устойчиво относительно д. На основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но не асимптотически) относительно координат я. Примечание.
Теорема остается справедливой и в неллпейной постановке задачи (36, 38). Пример. Исслодоваиие устойчивости движеиия электрона в постояииом магиитиом п о л е. Ксли т — масса электрона, е — ого заряд, Н вЂ” иапряжепиость магиитиого поля, с — электродвиамкчсская постоянная, равная скорости света (с = 3 10ш смгсск), то урависиие движения алектроиа при Н = сопз$ будет аЪ е — г=- —,( х уг), (6.95) эр р — Н с е — — Нс- 6 с (6.9Г) е е ют — — Н -6 Н с з с где с — вектор скорости электрона (46), Запишем это уравнение через проекции на оси иокодвижной системы координат: и т — — — х р у -. О.
Нх Нэ Отсюда найдем е, е ягх — — н,у'+ — и д —. о, с * с 1'" 5 е.т. гивоскопические и диссипатииеые силы 169 В атих уравнениях матрица сил, ливейио аависящих от скоростей е, у, С, кососимметричяая. Гледозательио, зти силы гироскопические. Так как другие силы отсутствуют, то иа осиоваиви теоремы 1 етого параграфа заключаем, что вевозмущеивое движение электрона устойчиво отпосвтельио скоростей г, у, г, а ва основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупиости всех коордвнат х, у, г (так вак число коордииат равно трем). Если ось г направить караллельво вектору Н, то Не = О, Ну — — О, Н, =- Н и уравнения (6.96] примут впд е евг — — НУ=О, с ту) + — Не =О, =О, Рассмотрим первые два уравяеяия отдельно (они яе зависят от третьего уравнения).
Определитель матрипы гироскопических козффициептов для этих ураввенвй е — — Н е ег е ег е — Н е отличен от нуля, поэтому, согласно теореме 2, движеяие злектроиа устойчиво относительно координат г и у. Что же касаеы я координаты г, то из третьего уравиеиия имеем г = ае! -). ге, откуда сразу видпа неустойчивость по этой коордивате. В заключение этого параграфа докажем сооткотпепия (6.86) †(6.89). Введем вспомогательныи параметр )! и составим определитель РЬ, ум ув, РЬ,... (6.
97) Ь ()!) = Оет (РВв + С) = ув! увг Очевидпо, что искомый определитель А получается из й (р) при )! = 1: а =- и (1). (6.96) Вычислим а ( — р) = йес ( — РВе+ С). Помевяем в этом определителе строки иа столбцы в наоборот (определитель от этого пе измевится). Эта операция равносильна замене матриц Ве и С из травспоиировавиые: й ( — р) = де! ( — РВе + С) =.
бес ( — РВ„+ С'). Учтем теперь, что матрица Ве диагональная, а С восо! пмметрпчвая. Поатому В„' =. В„С вЂ” — С . гл, тг, влиянии структуры сил Внося эти вырахзепия в 71 ( — р), получим 961 ''' г1з Л ( — 11) = йе1(- РВз — С) = — й ". — РЬ 11 3 Выяесем из каждой строки обп1ий множитель — 1: Вь, 6( — р) -( — 1)' лз, рь, дз, им ... )зЬ, илп, принимая во внимание равенство (6.97), получим Л ( — р) = (- 1) Л (9).
(6.99) Отсюда следует, что ври з четном Л (р) содержит р только в четных степенях, а при з нечетном — в нечетных степенях, т. е. Л ()з) =. зз)з + аз)з" 1+... + аз )зз+ а, (з =- 2Ь), А (р) = — р (за)1' 1+ азрз з .(-... + а з(зз+ а. ) (з =- 2/с + 1) (6.100) где аз — некоторые коэффициенты. Пользуясь теперь равенством (6.98), з.олучпм Л =- аз + аз +... -)- аз, + а, [з = 2/с), 71= аз+а,+...+аз +а (1-=29 91), Рассмотрим теперь структуру коэффициентов аг. Параметр р содержится в определителе (6.97) множителем элементов, стоящих на главной диагонали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
