Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это означает, что корни отиосительио Л» должны быть отрицательны и вещестаевиы. Зтим условиям можно удовлетворить, если подчинить ковффициеиты аг критерию Гурвица (4.30) а, > О, аз> О, а» > О, А» = а໠— а»а„> 0 (672) и условию вещественности корпей кубического относительно Л' а, уравневкя (6.70).
Для этого с помощью подстановки преобразуем уравнение (6.70) к виду та+ рч (-6==0 и потребуем, чтобы выполинлось неравенство ') Выражая с помощью указаипой подстаиовки р и д через коэффициенты а», а, и а, преобразуем последнее иеравеиство к виду () — — а' (4а, — а') + 27 а'+ 2а,аз (2аз — 9аз) < О. (6.73) Выразим с помощью формул (6,71) условия (6.72) и (6.73) чеРса ПаРЗМЕтРЫ и И Р И ВЫДЕЛИМ В ОбЛаетИ П тУ ЕЕ Чаетть В КОтОРОй осуществляется гироскопическая стабилизация. Для атого иапомиим прежде всего, что параметры и и [) положительиы и, следовательио, иеравеиство а, > 0 выполияется автоматически. Кроме того, в области П ковффициеит аз > О, а иа прямых ! и 2 ') Существуют критерии, при вмполиеиии которых все корни уравиеиия а,х" + а»ха ' (-...
+ а„х+ а„= 0 вещественны к отрицательны (см., например, [14[). ГЛ. Чг ВЛИЯНИИ СТРУКТУРЫ СИЛ РЛО (рвс. 6.3 и 6.4) а, = О. Построим отреаки кривых аз (а, ))) =- О, Лз(а, ()]=О, , (,6) =:о, находящиеся в области )( (вне атон областк стабплиаация невозможна). При построения полезно отметить, что все зти кривые пересекают прямые 1 и 2 в одних и тех же точках А (6!О, (!9) и Рис. 6,4 В (4/3, 6(3). Действительно, на зтих прямых аз = 0 и функцив Л, и (2 обращаются в нуль одновременно с аз (при аз = 0 имеем Лз = 3 2 3 = агат П = 4ат — атаз).
Лико устаяовить, что левее кривых аз =- 0 и Лз = 0 функции аз и Л, отрицательны, а правее — положительны. Кроме того, О .ь 0 левее кривой С) = 0 и С) ( 0 правее атой кривой. Таким обрааом, в области 11 правее кривой 4) = 0 одновременно выполняются все неравенства (6.72) и (6,73) и, следовательно, в этой области осуществляется гироскопическая стабилиаация (кривые аз = 0 и Лз -— — 0 пересекают область 11 только по линиям, изображенным на рис.
6 гн часть кривой () = — О, кроые той, что показана на рисунке, находится в области 11, но оиа расположена левее кривых аз = 0 и Л ==- О, где а,(0 и Л ( 0). Пример 3. Г и р о с к о п и ч е с к и й о д н о р е л ь с о в ы й в а г о н.
В первой четверти ХХ столетия появились опытяыс образцы однорельсового вагона и двухколесного автомобиля, центр тяжести которых был выше рельса (дороги) (рис. 6.5). Вертикальное положение самого вагона (автомобиля) неустойчиво, к для стабилиаации использовался гироскоп Г. Прежде чем установить количественные соотношения, которым должны удовлетворять параметры системы для того, чтобы обеспечить стабилизацию вертикального положения вагона, рассмотрим вопрос с качественной сторопы.
Центр тяжести П вагона находится выше рельса, поэтому угол 2), определяющий отклонение вагона от вертикали, является неустойчивой координатой. По первой теореме Томсона — Тета — Четаева гироскопическую стабилизацию можно осуществить только при четном числе неустойчивых кооГ- 6 6.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТЕТА — ЧЕТАКВА 13) динат. Из этого следует, что вторая координата системы О (угол поворота кольца К, в котором установлен гироскоп) должна быть тоже неустойчивой.
Для атой цели к верхней части кольца прккрепляют грузик С. Таким обравом, система нлбеет две неустойчивые координаты ф и 6 н гироскопическая стабплнзация в прннпппе может быть осуществлена. Учтем теперь силы сопротивления, возникающие прп колебаниях вагона н кольца с гироскопом (зтп силы возникают за счет сопротивления среды и трения в опорах). Согласно четвертой теореме Томсона — Тета — Летаева, зги силы разрушат гироскопическую стабилизацию (так как без гироскопа система неустойчива).
Позтому для стабилиаации необходимо ввести силы другой Т природы. С этой целью на оси )у — Л" Г М .Г М Ь вращения кольца К устанавливалось ~~ б):Ф~ специальное злектромагнитиое устройство (иа рисунке оно не показано), которое создавало ускоряющий момент 8 —— йзй, действующий в сторону вращения кольца н пропорциональный угловой г скорости вращения его (в теории колебаний такие моменты и силы называются отрицательным трением). Установив с помощью теорем Томсоиа и Тета характер сил, которые должны обеспечить устойчивость однорель- Рис. 6.5 сового гироскопического вагона, перейдеы к количественному анализу.
Для этого воспользуемся дифференциальными уравненинми возмущенного движения системы [зги уравнения без труда составит читатель. воспользовавшись уравнениями Лагранжа 1! рода нлн уравнениями моментов (см. также (42))): Адф + Ьтф — Н() — сгф =. Ч.', А,Π— й,ф+ Нф — с,б= Е, (6.74) где Аг = Х + (М+ Мо)аз + А + Сз, Аз=-Аз+А, сг=-Р.с, сз=р Ь. (6.75) А,ф — с,ф О, Азй — сзб = О Здесь А, и Сз — моменты инерции кольца, М, — его масса, А — зкваториальийй момент инерции гироскопа, М вЂ” его масса, 1 — момент инерции вагона относительно оси рельса, Р— вес вагона, р — вес добавочного грузика С, Н вЂ” кинетический момент гироскопа„ Ь, — коэффициент сил сопротивления, действующих на вагон, йз — крутизна характеристики устройства, создающего ускоряющую силу Ьзб; значения постоянных а, Ь и с видны из рис.
6.5 (С вЂ” центр тяжести всей системы, исключая грузик 7,), 'р и 6 — нелинейные члены. Уравнения (6.74) можно рассматривать как результат наложения иа неустойчивую потенциальную систему ГЛ. Уп НЛИЯНИК СТРУКТУРЫ СИЛ (82 гироскопических скл — НО н Нф, дисскпативкой снам (41Т, ускоряющей силы — йцЬ и нелинейных сил Ч' н О соответственно. Составцццц характеристическое уравиенио А,лц+ й,л — с, — НЛ НЛ А,Лц — Лц) — с или, раскрывая определитель и группируя члены, ацЛ4 + атлц + ацЛ4 + ацл + ац -- О, (6.76) ац — — А1Ац, а, =.
й,Ац — )ццА1, ац — Нц — сцА1 — сцА ц — йцйц, ац = й,сц — й,с„ац = с,сц. (6.77) Воспользуемся критерием Гурвица (4.32) для системы четвертого порядка (цц ) 0): ац)0, ац)0, а,)0, ац)0, ац = а,аца, — ацаз — аца4 ) О. В нашем случае условия ац ) 0 и а4) О выполняются автоматически, а условие ац ) 0 следует из неравенства Ац ) О. Подчиняя с помощью формул (6.77) параметры системы оставцпимся условвям (а, ) О, ац ) О, Лц ) 0), легко найдем 44 Ац — й,(йц( — Цй„ сц ' '-' А, А4А4 (й,с — йцс;)ц ' с,сц (йцА4 — ЛИА4)ц Нц '4А +с А +" йц+ (йу, й'„,)(й,"'..', й,'А,) ' (6.78) Первое условие устанавливает пределы для крутизны й, характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Н. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению одиорельсовый вагон асиыптотически устойчив независимо от членов высшего порядка Ч' и 9.
Из формул (6.77) видно, что при йц ( 0 (вместо ускоряющего момевта имеется обычная сила сопротивления) коэффициент а будет отрицателен и система в соответствии с четвертой теоремой Томсона — Тета — Четаева сделается неустойчивой '): ') Во многих вузах имеются модели однорельсового гироскопического вагона. Прп децюнстрации необходимо следить за тем, чтобы грузик кольца занимал верхнее вертикальное положение; при колебаниях кольца нужно слегка подталкивать его в сторону движения, имитируя ускоряющее устройство.
в в 1. Ригосиопи~1«скин и диссипьтивные силы $ 6.7. Устойчивость равяовесия под действием одних гиросиопичвсяих и диссипативиых сил. Пример До сих пор рассматривались системы, в которых диссипативиые и гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами.
Между тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативиые и гироскопические силы действуют без потеициальных сил. Изучеиию устойчивости таких систем посвящен зтот параграф. а, Одни гироскопические силы. Рассмотрим виачале случай, когда иа систему действуют только гиросиопичесиие силы, считая, что уравнения возмущенного движеяия приведены я форме й +бй =О. (8.79) Теорема 1. Равновесие системы, на которую действуют одни вироскопичвскис силы, всегда устойчиво относительно скоростей (38). Доиазательство. Умио>ким справа обе части уравнения (8.79) иа матрицу й. Тогда, учитывая, что для кососимметричиой матрицы С имеет место равенство 6$ й = — О (см.
формулу (5.25)), получим й.й=О или, интегрируя, й'й'= — 2 (21+ юг+... + 2)=-1>, (6.81) где Ь вЂ” постояияая интегрирования. Функция К =- — й . й удовлетворяет всем условиям тео- 2 ремы Ляпунова об устойчивости движения (оиа определенно-положительна и ее полиая производная по времеви в силу уравнений возмущенного движения тождествеиио равна нулю (см. з 2.2)), что доказывает теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
