Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если квадратичная форма Р определенно-положительна, то диссипация назы- вается полной, в противном случае — неполной. Наконец, если функция Р может принимать отрицательные аначе- ния, то среди составляющих силы Ю =. — Вд имеются ускоряющие силы (силы отрицательноео сопротивления). Обычно диссипативные силы с положительным сопротив- лением воаникают естественным образом при движении тел в сопротивляющейся среде, в электрических цепях при наличии омического сопротивления и т. и.
Ускоряющие сизы(силы отрицательного сопротивления), как правило, создаются с помощью спецвальных устройств (см, при- мер 3 5 156). 158 д 6.2. клАссиФикАция сил Силы Г = — 6д, лиивйио зависящие от скоростей д в имеющие кососимметричпую матрицу коэффициентов 6 = — [[ дзд [[, называются, как уже говорилось в 5 3.3, гироскопическими. Чаще всего вти силы встречаются в системах, содержащих гироскопы, ио оии могут быть и в других системах (см.
пример 5 6.7). Силы Л = — Р«г, лииойио зависящие от координат 1[ с кососимметричиой матрицей козффициеитов Р = [[ р«1[[ называются нсконсервативными поги«[полными или просто яеконссрватидныдги силами '). Некоисервативиые позициоииые силы возииквют как естественным образом, так и с помощью специальных устройств [см. 8 6.9). Рассмотрим пример. Пусть силы С, и Сг имеют вид 1дг = — 51, + д« вЂ” 2дг, Сг = 21«+ дг — бдг — бдг. Составим матрицы С«п В;.
"=!! ' '!! ° И ° И Найдем травсповвроваииые матрицы С в В [в матрицах С, в В« переставляем строки в столбцы): с'„=-(! — ' б~, в',=)(5 Разложим матрицы Сд и В«ва симметричные и вососимметрвчвые части: р= [с,— с,') =~~~ 1 ° 10 — 21 2 «[2 0~' с [в,— в) в= ' [в,+в,')= ~~ 5,"!! «) Нековсервативиые поаициоввые силы пе имеют твердо устаповпвшегося вазвавия. Г.
Цвглер вааывает вти силы Еиркдлкиионними [59, 50), в теории гироскопических систем вх вазывают силами радиальной коррет«ии [88), з теории упругости вх называют просто неконеервативиили силами [11[, некоторые авторы вазывают их еабетееано илп еди«еетвенно неконеервативними силами, неевдогироеканичеекиии силами, силами ограничтигаго делн4ированиа [последипй термин распространен в американской паучиой литературе, посвященной космическим исследовавиям). Первые два вавваиия легко оправдать физическими соображевиями, ио, повидимому, термин «векопсерватвввые позвциоииые силыг является паиболее точимы: позициовиые, так как овв зависят от координат системы, иековсервативпые, так как работа их зависит от пути и для иих ве существует витеграла энергии.
Для простоты мы будем иногда вазывать иекоисерватввпые позициоииые силы просто иековсерватвввыми силами, 2 ЗЛ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ тождественно равна нулю в Г.д= Х Г„у„=О. к в (5.15) Иэ этого определения следует, что гироскопическая сила перпендикулярна скорости у изображающей точки М. Линейная сила Г = — к'д удовлетворяет атому условию, так как в силу косой симметрии матрицы С провэведение Г д = — вкд д тождественно равно нулю (см.
равенств о (5. 25)). Сила Х> ((), зависящая от скорости д изображающей точки М, яаэываетсв диссипагпивной силой с положительным или отрицательным сопротивлением, если ее мощность не равна нулю тождественно. Диссипативным силам положительного сопротивления отвечает отрицательная мощность Л~=-)~ у=- Х Вкук~~О ((ь(4) л.д — ~, в„д„=о. к=в (ОЛ5) Выше было показано, что произвольные силы, линейно зависящие от координат и скоростей системы, можно (энак равенства в этом соотношении не может быть тождественным), а силам отрицательного сопротивленяя— полоякительная мощность. Если мощность Л~ (й) является определенно-отрицательной функцией скоростей дк, то диссипацию назовем полной; если же мощность Л' (в))— просто отрицательная функция скоростей дк, то диссипацию назовем неполной или частичной (в дальнейшем будет показано, что иэ этих общих определений следукот соответствующие определения, введенные для линейных сил сопротивления).
Нам осталось дать общее определение неконсервативных позиционных сил. Иэ определения линейной неконсервативной силы следует, что она перпендикуллрна радиусу-вектору о иэображающей точки М (Л.д = — Рд о = — О, так как матрица Р— кососимметричная). Обобщая это свойство, будем называть любую силу вь (д), зависящую от координат системы дк, неконсервативной позиционной силой, если она ортозонольна радиусу-вектору д изображающей точки гл.
чг. влиянии стзуктувы сил 156 разложить на потенциальные .К, неконсервативные позиционные ав, гироскопические Г и диссипативные Х~ силы. Покажем, чго аналогичное разложение можно произвести для щнрокого класса нелинейных снл. Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка силу (г (д), зависящую люлько от положгггия системы, можно разложить на потенциальную и згеконсгрвативную позиционную составляющие (г (д) = — атаб П + Л (д), (6Л6) где иоле Л и погпгзщиальная знергия П подлежат определению ').
Докааательство. Умнопгнм обе части равенства (6Л6) скалярно на радиус-вектор изображающей точки йч (г.д = — (атас[ П) (7 + тс.д, (6.17) т) Этой теореме можно ирндать другой, более общий, вид, ве связывая ее с разложением сил [40). Действительно, назовем для краткости поле векторов Л (д), удовлетворяющее условию ортогональности (ОЯ5), циркуляциониым.
Тогда будет справедлива следующая теорема: произвольное непрерывное вместе со своими производными первого порядка векторное поле Д (г) всегда можно разложить на нотевцнальное и циркуляциопное поля: ьг (г) = — ягаб и + к (д), где поле В (д) и потенциал — П подлежат определению. Заметим здесь же, что линейкое циркуляционное поле Л (г) = = Ра, где Р— кососимметричная матрица, будет одновременно и соленоидальным полом, т. е. полем, для которого дивергенция равна нулю: Тч зВ 4)тЛ= г — '=0 дд„ (так как в силу косой симметрии матрицы Р проекция Лз вектора В, не содержит координаты д» и, следовательно, все ЗЛз/Зтз —— 0). В общем нелинейном случае цпркуляционное поле не являежя соленондальным.
Так, если Л, = аггее, Л, = — д'д„ то дквергенцня вектора Л 4 т Л =. — '+ — ' = à — 2г'гав 0 т. е. циркуляционное поле Л, для которого Л. а = Лтд + В гз = = О, не является соленоидальным. Полезно отметать, что практичесии одновременно, независимо друг от друга н в соверщенно различных формах, аналогичные результаты были получены з разных странах при разборе термодннамическнх задач [44а, 53а). Автор настоящей книги ве уверен, что зта теорема не было доказана еще в прошлом веке. 2 2.2.
клАссиФикАция сил или, учитывая равенство (6.15), Д Ч = — (ягав(П) вг. 157 (6 18) Левая часть этого равенства представляет известную функцию координат Ч„..., Ч, (так как сила (д задана), Обозначим эту функцию через Н: в Н (Чь ° ° Ч..) == (в" Ч = Х В Чв. 2=1 Если функция 0 тождественно равна нулю, то, согласно равенству (6,15), сила (д будет неконсервативной позиционной силой н задача разложения силы (д будет полностью решена при Д = Л и П = О. Рассмотрим общий случай, когда Н и, следовательно, потенциальная энергия не равны нулю. Запишем равенство (6.18) в скалярной форме, учтя при атом равенство (6.19) дП дП Чв д, + +Ч.
— =- — Н. (6.20) В этом равенстве функция Н известна, а функция П неизвестна. Поэтому равенство (6.20) можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно потенциальной энергии П. Как известно, решение уравнения (6.20) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений: дд, дч. 2 дэ, дп Эв Э Ч, — Н Из первых 2 — 1 уравнений найдем Чв = СвЧв ° ° ~ Чв-в = Св-вЧв~ (6.21) где С„..., С,, — произвольные постоянные интегрирования. Последнее уравнение дП д — Н приводится к виду (6.22) Эв Заменим в функции Н переменные Ч„..., Ч,, на нх значения из (6.21). Тогда эта функция будет зависеть ГЛ.
УГ, ВЛИЯНИВ СТРУКТУРЫ СИЛ только от одной переменной д, и постоянных С„ °, С, м Интегрируя обе части равенства (6.22), найдем П=.— ~ ' ""'"' "'"") И +С Н(С ... С ч«+ «« Я где С, — новая постоянная интегрирования, Общее решение уравнения в частных производных (6.20) можно привести теперь к следующей форме: П ( ™«' ' ' ' « — «д«'««) «Ч«( д«««-«) н(с,...,с Ч«+ ч, где Ч" — произвольная функция. Учтем теперь, что при Н = 0 потенциальная энергия равна нулю (см.
примечание к формуле (6 19)). Поэтому, положив Ч" = О, получим окончательное выражение для потенциальной энергии « (конечно, после вычисления интеграла входящие в него постоянные интегрирования С,, ..., С,, куя~но заменить на их значения из (6.21)). После того как будет найдена потенциальная энергия П неконсерзативная позиционная сила Л определится из равенства (6Л6) Л=Д+дгаб П. (6.24) Составляющие потенциальной силы .К =- — дгайП определятся равенствами (6.11) дП дП Кг=- — — ...
К = — —. д «' '« « д В д« (6.25) Составляющие неконсервативной позиционной силы Л определяются иа равенства (6.24) дП дП Л.=Е.+ — „,.",Н,=-Е.+ — „. (6. 6) Заметим, что первые формулы (6.5) для линейной позиционной силы (д = — Сгд можно, конечно, получить иэ равенств (6.25) и (6.26), но это значительно более сложный и трудоемкий путь, к которому следует прибегать только для нелинейных систем. 159 в в.г. классификация сил Пример. Даны обобщенные поэициавиые силы (7~ =. «+ «г«ы 41 = ~Я + 2«ь.
(6.27) Требуется раэложить эти силы ва потеицпальиые и иекопсервативиые поэициоииые составляющие. Составим по формуле (6Л9) функцию Н = (,«, + /,«, =.в+ 2г«э+ 24. Интеграл (6.21) в пашем случае будет «,= с«,. Виесем это эиачеяие для «г в функцию Н: Н бч«в ( 2Ст«ь ( 2«е Вычислим теперь по формуле (6.23) потеицвачьвую эиергию Имеем 'С~«4 ) 2Сэ в ) 2 в П=— э т т 3 «т или Замеиив постоянную С иа ее эяачеиие «„/«ю получим окоичательное выражеиие для потенциальной энергий 71 в 2 э 1 в1 П= — ( «,+ «,«л+ «,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
