Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 24
Текст из файла (страница 24)
в общем случае АВ Ф ВА. Пользуясь определением сложения и умножения матриц, легко показать, что (А + В) С = АС + ВС. Кроме того, легко установить, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей ОеЬ (АВ) = оег А оеЬ В. (5.9) Сумма элементов, стоящих на главной диагоналиквадратной матрицы, называется следом матрицы. Плед матрицы обозначается символом Яр. По определению имеем Бр А = а„+ азз +... + а„а. (5.10) Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а остальные нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е: Непосредственным вычислением легко установить равенства (5.11) АЕ=ЕА =А. Квадратная матрица, имеющая вид а, О ...
0 0 а„ ... 0 0 О ... аа называется диагональной, д28 гл. т, хстоячиВОсть линейных АВтОнОмных систвм Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной, в противном случае— особенной. Матрица А ' называется обратной к А, если произведение АА ' или А 'А равно едяничнойматрице Е, то есть 4А "=Л'А =Е (5.12) Легко показать, что всякая неособенная матрица имеет обратную.
Если в матрице заменить строки, на столбцы и столбцы на строки, то получим новую матрицу, которая называется транспонированной по отношению к данной; обозначается транспонированная матрица той жо буквой, но ставится штрих наверху справа. Так, для исходной матрицы А =за„,)! транспонированной матрицей будет А' = л ад» 'з.
Операция транспонпрования применима к лдобым матрицам, в частности, если транспонировать матрицу- столбец то получим матрицу-строку х =лхд,...,х„'л. Непосредственно из определений произведения и транспонирования матриц следует формула (АВ)' = В'А'. (5.13) Аналогичная формула справедлива для обратных матриц: (АВ) ' = В 'Л д. (5 14) Так как определитель не меняется от замены его строк на столбцы и столбцов на строки, то определители транспоппрованной и исходной квадратных матриц равны бе1 Л ' = д) е1 А, Квадратная матрица называется симметричной, если ее злементы, располодкснные симметрично относительно 5 5.2.
МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 1йн главной диагонали, равны меяеду собой, иначе говоря, матрица называется симметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам вю — — ап. Тэк, например, матрица симметрична, Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна исходной А' =А. (5.15) Квадратная матрица называется кососи метричной, если ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю, а элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по модулю, но противоположны по знаку, иначе говоря, матрица А называется кососимметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам агз = — а;„.
Так, например, матрица кососимметричная. Из сделанных определений следует, что для кососимметричной матрицы справедливо равенство А' = — А. (5.16) В высшей алгебре доказывается, что кососимметричный определитель нечетного порядка тождественно равен нулю, а кососимметричиый определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной функции его элементов. Таким образом, кососиммстричный определитель с вещественными элементами не отрицателен.
Легко показать, что любую квадратную матрицу моя<- но представить как сумму симметричной и кососимметричной матриц. Действительно, пусть Л = зар~!~ 5 Д Р. Меркин 130 Гл. т. устоичизость линеЙных АВтОнОмных систвм — произвольная квадратная матрица. Составим нз нее две другие матрицы: А= г (Л+Л')' В= з (Л Л)' (5А7) 1 1 Очевидно, что матрица А симметрична, а матрица В косо- симметрична.
Равенство Л=А+В доказывает сделанное замечание. Квадратная матрица Л = лаз;~! называется ортогональной, если ее произведение на транспонированную матрицу Л' = й аз„(( равно единичной матрице ЛЛ' = Е. Из этого определения вытекают несколько следствий, которым удовлетворяют ортогональные матрицы Л: 1) транспонированная матрица Л' равна обратной матрице Л '. Л'=Л', 2) определитель ортогональной матрицы ранен 1-4: Л = де1 Л = -~1; (5А8) 3) сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице: Ч'„и~»1= Хйв = $; 1 з 4) сумма произведеннй элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю Ха„.,и;= ~хита» =О (йФт).
Если элементы матрицы зависят от ока парного пар» метра, например от времени 1, то производной матрицы по параметру называется матрица, элементы которой равны производным по этому параметру. Таким образом, если х = ((х„1((, то или в других обозначениях х = 'З х»1!(. 1 В.Х МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕИСТВИЯ С НИМИ 131 До сих пор рассматривались матрицы, злементами которых служили числа. Можно представить себе матрицы, элементами которых являются не числа, а любые объекты. Нужно только, чтобы все действия с такими матрицами были определены и возможны.
В частности, можно рассматривать сложные матрицы, элементы которых сами являются матрицами. Например, матрицу ап агг агз аг аг азг ам агз г1п «1Н ьг Ь, Ь, Лзг Вм~ можно короче записать так где А = — ~ " " ~~г С=-'1сг сз'1, В=~Ь, Ь, 5.(1, .О=~,"" ""~. б) Матричная форма записи системыы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения (5Л) можно записать в простой и компактной форме с помощью матриц. Действительно, введем в рассмотрение две матрицы.
1. Матрицу коэффициентов правой части уравнений (5.1) ап ам ... а йя азз ... й пг па ' ' пп 2. Матрицу-столбец или вектор Составим матрицу из их произведения. Согласно формуле (5.8) будем иметь апаг + азгйг + ... + а пап азгаг + азззз + ' + ггзаап (5Л9) а аг+й аг+...+й г: 132 ГЛ. Ч. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ т. е. произведение квадратной матрицы А на матрицу- столбец х равно матрице столбцу, элементы которой равны правым частям уравнений (5.1).
Теперь очевидно, что эти уравнения могут быть записаны в следующей простой матричной форме: (5.19а) х= Ах. ах В этом уравнении х= — —, — производная по времени = ак матрицы-столбца х. Столь же просто можно записать в матричной форме и другие более сложные системы дифференциальных уравнений. В частности, уравнения второго порядка ;~~ (ак;г';+ Ьмх + ск;х;)=-Хк (а=-1>...
>г) (5.20) к=к в матричной форме запипкутся следующим образом: Ах+Вх+Сх=Л, (5,21) где А =-)) ак~)), В = 9 Ьк;)), С = )) скоб — квадратные матрицы, а х и Х вЂ” матркщы-столбцы с элементами хт и Х; соответственно. в) Матричная запись квадратичн ы х ф о р м. Рассмотрим квадратную матрицу А и матрицу-столбец х. Их произведение определяет матрицу- столбец (5.19). Ранее отмечалось, что матрица-столбец может рассматриваться как вектор. Воспользуемся этим обстоятельством и будем рассматривать элементы матрицы- столбца (5А9) и элементы матрицы-столбца х как составляющие векторов Ах и х. Тогда их скалярное произведение будет равно сумме произведений одноименных проекций (см.
сноску на с. Зб), т. е. Ах х = (апх, + аккхк + ... + а,„х„) х, + +(а„х,+а„х,+ ... +а,„х)х,+ + (а„,х, + а„,ха+ ... + а„„х„) х„. Раскрывая скобки и группируя члены, найдем Ах х =а„х, + а„хк+ ... + а„„х„+ (а„+ а„)х,х,+ + (акк + акк) х,хк + ° ° . + (а„д,„+ а„,„к) х„,х„(5.22) 9 5.», злйментАРные делители или короче Аш.ш= Х Х а,.;х„х;. »-» з=» (5.23) Если матрица А симметричная, то а»~ — — а;» и мы получаем обычную квадратичную форму: а Аш ш = аих, +...
+ аоьхй + 2аых»х» + ° ° ° ь и ... + 2а„, „х„гх„=:,~~~ ~ а»,х»х, (а,,=- а.»). (5.24) »=»»=» Аш х=О. (5.25) Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем. й 5.3. Элементарные делители Рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой )О (А) являются полнномами от некоторого параметра Х: )н (ь) гго (ь) г" (А) = (5.26) Такие матрицы называются Х-матрицаки. Обозначим через Р» (й) (й = 1,..., и) общий наибольший делитель всех миноров й-го порядка матрицы (5.26), причем коэффициент при старшем члене выбираем равным единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
