Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 26
Текст из файла (страница 26)
равенство (5.32)) (Хг = О, е, = 1; Хз = О, е = 1; )с = — 1, ез = 2): .Г,=)~О(,,т,=(О(, 1 — ! Оз 11 11 Теперь легко строится нормальная форма Жордаиа для рассмат- риваемой матрицы: 140 ГЛ. У, УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СНСТКМ вЂ” 2 — Л 1 — 5 0 Элементарными преобраэовавиямн эта Л-матрица приводится к нормальной диагональной форме (читатель беэ труда выполнит самостоятельно иеобходимыс действия): Иэ нее находим инвариаптные множители: Е, = 1, Ет = 1, Еэ = 1, Е, = Лэ (Л+ 1)э. Следовательно, матрица А — ЛЕ в этом случае имеет только два элементарных делителя В данном примере кратность нулевого корня и вещественного отрицательного корня одинакова как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей.
Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32)): Теперь легко строится нормальная форма Жордана для рассматри- ваемой матрицы о о~ (5.40) — 1 0 1 — 1 причем незаполненные элементы равны нулю. Обратим внимание на следующие обстоятельства: характеристические уравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни: Л = Л = О, Лэ = Л! = — 1. Однако нормальяые формы Жордана равные.
Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примерв — только два. Н заключение приведем две теоремы линейной алгебры, которые нам понадобятся в дальней!пем (см., напри- меР, (9! 141), Составим характеристическую матрицу — 1 0 — 2 — Л 3 1 0 0 0 0 1 0 0 .4 — ЛЕ- О 1 О 0 0 1 О О О Ла(Л + 1)э ! Лэ, (Л + 1)э, которым отвечают корни л,=л =о, л =л — 1 0 — 2 3 — Л з 5 3 злкмкнтлгныв двлиткли Теорема $. Если матрица Л неособенная, пю элементарные делители матриц А — ХЕ и ЛАЛ ' — ХЕ одинаковы.
Обратно, если элелынтарные делители матриц А — ХЕ и  — ХЕ одинаковы, то всегда найдется такая неособенная матрица Л, что В = ЛАЛ'. (5.41) Некоторые авторы называгот зту теорему основной теоремой линейной алгебры. Теорема 2. Если квадратные матрицы А и С порядка г симметричны, причем матрица А гнакоопределенная, то: 1) все корни характеристического уравнения бе$(АХ+С) =0 вещественны; 2) всегда найдется такая неособенная матрица Л, что ЛАЛ=Е ЛСЛ=Сг (5А2) где Š— единичная, а С, — диагоналън я матрицы, О сг ... О (5.43) Сов причем с„с„..., с, равны корням характеристического уравнения.
Вторая часть теоремы равносильна, очевидно, следующему утвергкдению: если даны две квадратичные формы %1%1 Т= з Ахх — — -2 у > а„гх„хе, г 1,=1 в в 1 П = З Сзс ос= о р ~~ сн>хгхг Ь= — 1 1=1 причем первая из них определенно-положительна, то всегда найдется такое преобразование а=Ля с неособенной матрицей Л, что в новых переменных обе квадратичные формы будут равны суммам квадратов: Т -'= — я к =.. — (гх +... + г,), Сея'к = 2 (сггг + ° ° ° + с~гг) 142 гл. У. УстОЙчиВОсть линеиных АВтОЫОмных систем причем в первой из них (определенно-положительной) все коэффициенты равны единице.
Применим ко второму равенству (5.42) формулу (5.9): деТ С, = йеС Л' бе~ С бе$ Л. Учитывая, что бей Л' = Ое1 Л, получим без С, =- Л' сег С, где Л =- беФ Л вЂ” определитель матрицы преобразования. Так как матрица С, диагональная, то ие1 Сэ = = с,сэ ...с,. Следовательно, с,с,... с, = Л'бей С. Если матрица преобразования ортогональна, то Л = =- +-1 (см. (5А8)) и последнее равенство примет вид с,...
сь=йе$С. (5.44) Кроме того, легко докааывается, что при ортогональном преобразовании след произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы Л'ВЛ, т, е. Бр В = Яр Л'ВЛ. (5.45) $5.4. Устойчивость линейных автономных систем. Устойчивость резонанса. Примеры Пусть возмущенное движение определяется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что ати уравнения приведены к нормальной форме: м =Ах, (5.46) где ж — матрица-столбец (вектор), а А — квадратная матрица. С помощью линейного преобразования перейдем от вектора ж к вектору я (от переменных хм х„..., х„к переменным г„г„..., з„) я=Ля (5.47) с неособенной матрицей Л = з агт 'з.
Найдем обратное преобразование вектора я в вектор е. Для этого умножим слева обе части равенства (5.47) на матрицу Л ' (обратная матрица для Л существует, так з з.а устойчивость линейных АВтОнОмных систем 143 как матрица Л неособенная) Л тз = Л 'Лзс или, учитывая, что Л 'Лл = (Л 1Л) х = Ею = ж (см. (5А 2)), ю=Л-'з (5,48) Продифференцнруем это равенство по времени Л "а== .с.
Заманим х, согласно уравнению (5.46), на Аис Л 'а=Ах; принимая во внимание обратное преобразование (5.48), найдем Л 'й=АЛ 'я- Умнов~ив обе части этого равенства слева иа матрицу пре- обрааозания Л н учтя, что ЛЛ 'й = Ей = я, получим (5.49) где матрица В определена равенством В= ЛАЛт. (5.50) Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение возмущенного движения (5.46) с искомым вектором е в матричное уравнение (5.49) с искомым вектором а. Очевидно, что если движение устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора а, то оно будет устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора ж, и наоборот.
Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — )Е и  — АЕ имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А— — )Е и  — ЛЕ.
За новое дифференциальное уравнение (5.49) возьмем такое, матрица коэффициентов которого является нормальной формой Жордана для матрицы А исходного 144 гл. ю гстоячивость линвиных автономных систвм уравнения (5.46): В1 Х! (5.54) где л, о ... о л„ ... о Ви = о о ... л„ (5.52) хе 1 х,, + Лгхсе Уравнения (5.52) интегрируются злемевтарно. Действительно, из первого уравнения сразу находим х1 = х01е мс где хм — начальное значение х,. Вносим полученное аначевне для х, во второе уравнение йх — Л,х, = х,пе лй Интегрируя его, получим х, = (х„+ хе1е) е~'. Переменный вектор я, входящий в преобразованное уравнение (5.49) с матрицей козффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его элементы хм хх, ..., х„— каноническими переменными.
Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только злементарные делители матрицы А — ЛЕ. Дифференциальные уравнения в канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, кюкдая из которых соответствует своему злементарному делителю или своей клетке Жордана Вю Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру): хг= Л1хь х„= хе+ Л~хз1 ха = Л~хэ~ $2А, УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 145 Продел«кая этот процесс, найдем решение уравнений (5.52): 21 = 20102'0 гг = (202 + 201Т) е»"1, 12 гг= (208+ г«20+ 201 ~~ ) е~~ 0 г,,=~ге,,+г«о»Т+...+г01,, е ) 1,1 Аналогичные решения получим для других групп.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения. Пусть Л« = У«+ 1»»1 ~ где т» и р» — вещественные числа. Тогда 1»1 0»1 в»и Учтем теперь, что ) в»11! — 1 при любых р» и 1. Следовательно, )'е«»1 ~ 0»1 Иэ этого равенства следует, что прн 1 — «оо ) е~»')-00, если т«(0, ) Е» ! — «оО, ЕСЛИ у«)0, 1 Ф ) е~»')=1, если т«=0. Так как показательная функция растет быстрее любого многочлена ~(1), то для произвольного Л = т + (»1 будем иметь 0 при т(0, 1пп)((1)е»1) = оо при т) О, оо при У=О, (5.54) причем в последнем случае предполагается, что 1 (1) ~ ~ сопз$.
Из общего решения (5.53) и предельных равенств (5.54) непосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости движения системы, воэмущенное движение которой описывается дифференциальными уравнениями (5.1) или в матричной форме (5.46). Ыс ГЛ У УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЖМ 1. Если вещественные части всех корней характеристическоео уравнения отрицательны, то невоэмущенное движение асимптотически устойчиво. 2.
Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невоэмущенное движение неустойчиво. 3. Если некоторые корни характеристического уравнения имеют пулевые вещественные части, а остальные корни имеют, отрицательные вещественные части, то: а) невоэмущенное движение будет устойчивым (не асимптотически), если корням с нулевой вещественной частью отвечают простые элементарные делители (то есть соответствующие ег = 1); б) невоэмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы один корень с нулевой вещественной частью является кратным корнем соответствующего элементарного делителя (ег ) 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
