Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 20
Текст из файла (страница 20)
+ а„,Л + а„ = О, (4.19) причем, не нарушая общности, можно считать, что ае ) )О>). Согласно первой теореме 4 4.3, для определения устойчивости движения по уравнениям первого приближения нужно знать, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения будут отрицательны. Естественно, что наибольший интерес представляет решение этой задачи, не связанное с непосредственным вычислением корней характеристического уравнения. Впервые эту задачу в 1868 г.
поставил Д. Максвелл; он же привел решение для и =- 3. В общем виде в 1877 г. решил эту задачу Е. Раус !56]. Его решение носит алгоритмический характер; в явном виде оя дал условия для и =-- 4 и и †-- 5. В 1895 г. А. Гурвиц получил аналитическое решение. Алгоритм Рауса и критерий Гурвица эквивалентны, хотя опи и различны по форме. Полезно отметить, что работы Максвелла были связаны с его исследованиями регуляторов, а математик Гурвиц заннлся атой проблемой по просьбе проф. А. Стодолы, инженера-машиностроителя, одного из основоположников теории регулировании турбин.
Работы Д. Максвелла и А. Стодолы приведены в (13). Мы рассмотрим условие Гурвица — оно носит алгебраический характер, более удобно в прило>кениях и имеет наибольшее распространение. >) Если уравненкя порвого прнблнженян решены относнтельно прокэеодных ха, то коэффициент ае прн старшем члене в уравнении (4.19) равен ( — 1)"; прн п нечотноы умножением всего уравненнн на — 1 его можно сделать равным т 1. Е общем случае ае — -,.
1, и делить на этот коэффпцпент не всегда рацкональпо. 4О7 4 4.4. Кгитвгин ГУРВИЦА Построим из коэффициентов аа, а„..., а„уравнения (4.19) следующую матрицу: а а а ... О а а а ... О 0 а4 аа ... О (4.20) О О О ... а и Зта матрица строится следующим образом: в первой строке стоят коэффициенты уравнения (4.19) с нечетнгвми индексами, начиная с а,.
Элементы каждой последующей строки образуются из соответствующих элементов предшествующей строки уменьшением индекса на единицу. Коли в соответствии с этим правилом индекс коэффициента а,, т. е. число к, превосходит степень и уравнения (4 19) или должен быть отрицательным, то аа заменяется нулем. В результате такого построения на главной диагонали должны стоять коэффициенты а„..., а„, а в последнем столбце все элементы, кроме последнего, равны нулю. Составим из матрицы (4.20) главные диагональные ми- норы ~ а4 аа ~ Л4=ам Ла=~ ~,..., Л„.—.а„Л ~ аа а, ~ ' ' ' ' (4.21) Последнее равенство очевидно, если учесть, что в последнем столбце матрицы (4.20) все элементы, кроме а„, равны нулю.
Теорема Гурвица. Для того чтобы все корни алгебраического уравнения (4,19) с вещественными козффициентами и положительным коэффициентом при старшем члене имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры (4.21) были положительны: Л,)0, Л,)О,...,Л,,)0, Ль)0. (4.22) Пе останавливаясь на доказательстве этой чисто алгебраичоской теоремы (см., например, (49)), заметим, что из теоремы Гурвица и первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению можно сделать следующий вывод: если при а„) 0 все миноры Гурвица Л„... ..., Л„положительны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов вьпие первоео порядка малости. Заметим также, что если хотя бы одно из неравенств (4.22) имеет противоположный смысл, то среди корней 108 Гл.
1у. устойчивость по пкгвому пгивлижвпню ь„..., Х„уравнения (4.19) имеются такие, вещественные части которых положительны (это служит признаком неустойчивости системы — вторая теорема Ляпунова, $4.3). Прея<де чем перейти к рассмотрению частных случаев, остановимся па следствиях, вытекающих непосредственно из формул Виета: "= — (),„+).а+... +Х„), — "' = й 1.
+... + ).а,Л„, И,) (4.23' Ъ вЂ” (-1)" ),,), ) . 1. Для того чтобы при ае ) 0 все корни уравнения (4.19) имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все коэффициенты а„..., а, были положи- тельны (4.26) а, ) О, а, ) О,..., а„) О. (4.24) Заметим, что эти неравенства (конечно, они только необходимы, но пе достаточны) можно получить из критерия Гурвица. 2. Если при а, ) 0 хотя бы один из коэффициентов а„ ..., а„ отрицателен, то среди корней Х„ ..., Х„ уравнения (4.19) имеются такие, вещественные части которых положительны.
Перейдем к рассмотрению частных случаев. 1. Система первого порядка (а = 1). Характеристическое уравнение имеет вид а,Х. + а, =. О. (4.25) Условие асимптотической устойчивости (а, ) 0) а,)0. 2. Система второго порядка (и = 2): а,Х' + а,Л + а, =- О. (4.27) Матрица (4.20) и условие Гурвица имеют вид а1 О Л1 — аз)О, Л,=--а,а,)0. ае а2 ~11 Отсюда слодуот условие асимптотической устойчивости системы второго порядка (ае ) 0) а,)О,а,)0 (4.28) з 4.4. КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА 3. Система третьего порядка (и = 3): аоЛ~ + адХ' + а,Л + аз = О. (4.29) Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица: а о ио аз 0 11, дЛ вЂ”..-=ад)О, Ьз=-адаз — аоаз)0, О ад аз)) Лз= азйз) Х Пользуясь неравенствами (4.24), сразу получаем условие асимптотической устойчивости системы третьего порядка (а,) 0): а, ) О, ао ') О, ао > О, ддд = адат — а,а, > О.
(4.30) 4. Система четвертого порядка (и = 4), В етом случае аоЛ4 + адХо + азЛз + азЛ + ао = О. (4,31) Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица (4.22): ад аз 0 0 ао ао ао 0 О и, а О О а, из ао Лд = ад) О, йз = адно — а,аз) О, йз — — азйз — ада4) О, Л4 — аойз ) О. При выполнении неравенств (4.24) условие Л, ) 0 становится следствием условия Лз ) О. Поэтому условие асимптотической устойчивости системы четвертого поряд- ка имеет вид (а, ) 0) ад ) О, а, ) О, а, ) О, ао) О, Лз — — ада,а, — а,а,' — адао) 0 (4. 32) (в ддз внесено значение ддз), Приведем пример, показывающий, что прн в о 2 выполнение одних неравенств (4.24) недостаточно длн отрицательности вещест- венных частей всех корней характеристического уравнения.
Рас- смотрим уравнение третьей степени Ло + Ло + 4Л + 30 = О. Все его коэффициенты положительны, так что условие (4.24) выпол- нено. Однако два корня етого уравнения, Л,=1+Зд, Л,=1 — Зд, 110 Гл. Ьк устойчивость по пкгвому пгизлирьению имеют положительные вещественные части (Ве )т =- Ве зм =. 1), а корень )рз = — 3 отрицателен. Заметим, что последнее неравенство иа (4.30) имеет в атом случае противоположный знак: йр = агар — арар =- 1 4-б 30 = — 26 ( О. В заключение этого параграфа заметим, что в общем виде условие Гурвица очень удобно при п ~( 4.
В тех случаях, когда п велико и левая часть характеристического уравнения имеет форму определителя и не приведена к многочлену (раскрытие определителя большого порядка представляет трудоемкую задачу), целесообразно перейти к численным методам с испольаованием электронных вычислительных машин. Численные ыетоды с применением ЭВМ полезны и в тех случаях, когда характеристическое уравнение задано в форме многочлена. 3 4.5. Примеры ш Ь вЂ”, = и — ф(1), аи Š— и С вЂ” = — и (4. 33) В этих уравнениях Ь вЂ” самоиндукция, С вЂ” емкость конденсатора, Š— омическое сопротивление, Š— электродвижущая сила источника постоянного тока, ф (1) =- о — напряжение на дуге (графрик этой функции изображен на рнс. 216).
Внося в уравнения 1 = 1 =- сопэ1 и и = (Г =- совет, получим уравнения для определения тока у и напряжения (Г, отвечающих установиввгкмся режимам: (7 — ф(У) = О, Š— () — ЕУ = О, (4.34) Пример 1. Условия устойчивости установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением, самоиндукцпей и з ашунтнрованной емкостью. Впрямере2427были рассмотрены услоэиа устойчивости установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением и самоицаукцией. РасИ смотрим усложненную схему (4), когда в цепь дополнительно включена зашунтнрованная емкость (рис. Рис. 4 1 4.1).
Предполагаем, как и раныпе, что ток, проходящий через дуговой промежуток, является функцией напряжения на дуге, т. е. снова будем пренебрегать инерцией ионных процессов в дуге. Пользуясь законами Кврхгофз, легко получим следующее дифференциальные уравнения процессов, протекающих в схеме: 9 4.5. ПупмпРЫ или, исключая напрял'ение С, Д1+ф(1) = Е. (4.35) Это уравнение совладаете уравнением (2.49), которое соответствует схеме без емкости. Из этого следует, что внесение емкости в схему вольтовой дуги не изменяет значения тока в возможных установившихся режимах, При анализе уравнении (2.49) было показано, что таках режимов принципиально малгет сугцествовать три, два, один; при отсутствии вещественных корней уравнения (2.49) или, что то же самое, (4.35), установившихсн режимов ле существует.
В том же примере были установлены условия асимптотической устойчивости установившихся режимов. Рассмотрим, какие изменения внесет эашунтированнаа емкость в полученные результаты. Примем установившийся режим аа вевоамущенлое движение. Обозначим значение тона 1 в воамупгенном движении череа 1 + х, а значение напряжения и в атом движении через сГ + у: 1=-1+х, к= 47+у. Внесем этн выражения в уравнении (4.33): Ах 5 — „=и.йу —,)(1+ ), АГ йу Š— П вЂ” у Аг Л вЂ” 1 — х.
Разложим функпиюер (1 + х) в ряд по степеням х и воспользуемся введенным ранее обозначением к.—. гр' (1). Ч(1+ )=ф(1)+ ° + где точнами обоаначены члены высшего порядка. Подставив это выражение для функции ф (1+ х) в последние уравнения, полу- чим дх Ь вЂ” —.= у — их+ à — ф (1) +..., Ау у е — (г СА,— — Š— + Е Будем искать решение в форме (4.3): х= — Ае, у =Ее (4.37) Продифференцируем эти выражения по времени, внесем найденные значения для производных и сами функции в уравнения (4.36) и сократим их на е' . Тогда после очевидных преобразований ж получим 1 ) (1),+к)А В=О, А )- СЛ+ — ) —...
О. л/ (4. 38) Учитыван, что значеяия тона 1 и напряжения (Г в установив шемся режиме должны удовлетворять равенствам (4.34), найдем дифференциальные уравненил первого приближения возмущенного движения: П.г ау у Ь вЂ” =- у — нх, С вЂ”, =- — — х. Аг ' о.' В (4.36) 112 гл гу устОйчиВОсть по пеРВОму пРиВлижепию Приравнивая нулю определитель этой системы, получим характеристическое уравнение сл+ д или !Е ' к СГЛа+ ~ — + кС) Л+ — + 1 = 0 ~л ) н (4.39) Согласно критерию Рурвица (4.28), для системы второго ворядка (4.27) установившееся движение 1 =- У, и = (1 будет асимптотически устойчиво, если коэффициенты а, и аа этого уравпевия иоложгпельяы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
