Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рассмотрим одно из возможных положений равновесия. Будем считать, что в этом положении потенциальная энергия равна нулю. Это всегда можно сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной. Кроме того, не нарушая общности, можно считать, что в этом положении все обобщенные координа- 78 ГЛ. Пь УСТОИЧИВОСТЬ'КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ ты дд,..., д, равны нулю (для этого достаточно отсчет координат вести от этого положения). Будем рассматривать устойчивость равновесия относительно обобщенных координат д„..., д, и обобщенных скоростей ос. Тогда уравнения Лаграия1а второго рода д дТ дТ дП Ю д41 доз ддз ;3.3) ддв — =сз д1 (1с =-1,..., з), будут уравнениями возмущенного движения. Число уравнений и = 2з н они допускают интеграл энергии Т+П =й, (3.4) (3.5) определенно-положительную функцию обобщенных координат о,,..., д, и обобщенных скоростей (так как кинетическая энергия Т механической системы с голономными и стационарными связями является определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей (см., например, П2))).
Полная производная функции У по времени на основании интеграла (3.4) равна нулю. Следовательно, эта функ- 1) Строгое доказательство теоремы Лагранжа впервые дзл Дмрзхлз, поэтому зтз теорема часто называется теоремой Лагранжа— Двряхле, Здесь приводятся доказательство Ляпунова, вытекающее непосредственно из сто прямого метода, где Т вЂ” кинетическая энергия системы. Лаграннгу принадлежит следующая теорема 11788 г.), определяющая достаточные условия устойчивости равновестия консервативных систем ').
Теорема. Если в положении изолированного равновесия консервативной системы с голономными и ста11ионарными связями потенииальная энергия П имеет минимум, то в этом положении равновесие устойчиво. Доказательство. В рассматриваемом положении равновесия потенцнальнан знергкя равна нулю и имеет минимум. Поэтому по крайней мере в достаточно малой окрестности нуля значения функции П будут положительны.
Это означает, что в этой окрестности потенциальная энергия П представляет определенно-положительную функцию переменных дп а полная энергия системы г'= Т+П 9 зл. ТЕОРЕМА лАРРАнжА П=- — 'ХХс.дзд,+ ' (3.6) 1=1 т=г где постоянные коэффициенты дзП сы=сгг== ~ д З,,дзз )е Если коэффициенты сгг удовлетворяют критерию Сильвестра (2.9), то квадратичная часть равенства (3.6) будет определенно-положительной квадратичной формой переменных д„..., гг д„а вместе с ней будет определенно- положительна в окрестности нуля и ~ ~ лг д потенциальная энергия П. Это озна1Рг д чает, что потенциальная энергия П У имеет изолированный минимум и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, в рассиатриваемом положении равновесие устойчиво.
~ лг 7 Пример. Система представляет двойной Я~ 1 маятник; тела 1яз и гггз с маосами ют и тз рассматриваются как материальные точки; массой стержней, сопротивлением воздуха и трением в горизонтальных цилиндрических опорах пренебрегаем; спиральные пруяснны' с жесткостями к, и к, при верх- Рис. 3,1 ием вертикальном положении маятникоз находятся з естестзеннои недефориирозанном состоянии (рнс. 3.1). Считая массы тг н тз маятпнкоз и пх длины й и 7 задан- (3.7) ция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости, что и доказывает теорему Лагранжа. Теорема Лагранжа птироко используется в приложениях.
Как правило, при ее практическом применении удобнее всего разложить потенциальную энергию в ряд по степеням д„..., д„а затем воспользоваться критерием Сильвестра (2.9). В общем виде имеем П=П(0)+~~1~(дП) д + — ~~1~~~1~( дП 1 д „+..., 1=1 1-1 Г=г где точками обозначены члены, содержащие д„..., д, в степени выше второй. По условию П (О) = 0 (в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю); кроме того, в атом положении должны выполняться равенства (3.2). Поэтому 80 ГЛ. Нг. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ иыми, определим жесткости пружкя хг и х, так, чтобы з верхнем зертикальиом положении равновесие ыаятпйков было устойчивым.
Связи системы идеальны, стациопариы и голопомпы, а активные силы, действующие па систему, консервативны. Поэтому здесь применима теорема Лагранжа. Положение маятников будем определять углами ~р, и ~рз. Потепциальиая энергия П системы складывается из потеициальиой энергии П, прй'жия и потенциальной энергии П сил тяжести П =- П, + и,. Имеем 1 П =- 2 хбр'+ 2 ~( — В)', П, = .— тпу)г (1 — соз ю,) — тзу (1г (1 — сое ю,) + (з (1 — соз грз)]. Следовательно, 1 П = 2 нгТг+ 2 хг(~раз — 2Т,<рз+Т~)— — (тг + те) Г1з (1 — соз Тг) — тег1, (1 — сое <рс).
Пользуясь разложением косипуса в.ряд Маклорена: зз соз х = 1 — — —,' 2 получим после группировки 1 П =. —, ((хг+ хг — (т1+ тз) у11] <рггу — 2 грср +(' — а()т1)+ где точками обозначены члены, содержащие иг и грз з степеии выше второй. Введем обозиачекия сы — — хг + хз — (тг + т,) у(О см = см — — — х„сзе =- хе — тес) Тогда П = 2 (сцТ';+ 2с1зрг(Рз Р стТ.) + Критерий Сильвестра (2.9) в данном примере имеет вид сп сгз ] Л,= п>О, Л,=~ ~ = спсез — с >О. см см~ зз Вместо атих неравенств можно ввести даа других, им эквивалентпых (опи могут быть получеиы, в частности, из критерия Сильвестра простой перестановкой иадексов): сзз > О, с1гс1з сгз > О.
Пользуясь значениями сгЬ получим хз — тзу1, > О, (хз — тзу(з) (хт + хт — (т, + тз)211] — хз > О. решая зти неравенства относительно х, и х„ легко найдем хз з х,>таурт х1> +(ли+те)г1,— х,. х, — теу1, 5 3 2 ОБРАТИМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАН)КА 31 Положим А = тзггм В = [т, + ~и,) ггг 'Тогда последние неравенства принимают зкд 3 х.)А, х,), А + — к' Преобразуем второе неравенство.
Имеем кз — Аз+ Аз Аз х1) А + — кз — — х,,+А+ А + — хз. язв Хз Теягрь условие устойчивости принимает звд Аз Х1) А +А+В, кз А. (3.8) Нз рис. 3.2 показана область уетойчияости равновесия вертикального положения. Рйь Зя Аз Граница области определяется уразнеяяем к, = х А + А + + В и неравенством хз ) А. 3 3.2. Обратимость теоремы Лагранжа Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы: если потенциальная знергии имеет в положении изолированного равновесии минимум, то равновесие устойчиво.
Ляпунов первый поставил вопрос об обратимоти теоремы Лагранжа, а именно: можно ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивымс Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. ~35)). 1. Если в положении изолированного равновесия потенциальная энергия не имеет минимума и его отсутствие определяется членами второго порядка малости бев необ- 82 гл. и>. устойчивость консвгвлтнвных систвм ходил>осп>и рассматривания членов высшего порядка, то равновесие неустойчиво.
2. Если в положении изолированного равновесия поте>сциольная энергия имеет максимум, определяемый по членам наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении атой функции, то равновесие неустойчиво. Н. Г. Четаев обобщил эти теоремы Ляпунова и доказал следующую теорему: если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия П, предполагаем я аналитической функцией д,..., д„не имеет минимума, то рав>ювесие неустойчиво (см, (46)), На основании приведенных теорем з 3.2 и 3.1 будем е дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии. Из этого следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изолировано. $3.3.
Циклические координаты. Преобразование Рауоа Существует обширный класс механических систем, для которых некоторые координаты не входят явным об- разом в кинетическую энергию системы, а обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю. Такие координаты называются циклическими, а осталь- ные координаты системы — позиционными или просто нециклическими. Так, например, для искусственного спутника Земли (см. пример 2 8 2.6) координата >р— циклическая, а коордннать> 6 и г — позиционные. Для конического маятника (пример 1 т 2.6) координата >(>— циклическая, а координата Π— позиционная.
Для волчка (пример з 3 з 2.6) координаты >х и ~) — позиционные, а координата ф — циклическая. Пусть оы .. „ о> — позиционные, а фы ...,>р циклические координаты системы. Запишем уравнения Ла- гранжа для циклических координат в дт 3> = Р, (1 =--1,..., „). (3.9) в> дф. зф Пинетическая энергия Т системы по определению цикли- ческих координат не зависит явным образом от ф>, поэтому — —.= О, дф. 5 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
