Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ аз Кроме того, обобщенные силы <',1т, соответствующие циклическим координатам,, равны йулю Рч =О. ~/ Следовательно, уравнения Лагранжа (3.9) для циклических координат принимают вид — — =О (у.—.1,..., т). д дТ (ЗЛП) д< дф.
Эти уравнения допускают очевидные первые интегралы р;= —. =-с;=сопз$ (3'=1,..., т), (ЗЛ1) дТ дф показывающие, что обобщегм<ь<е импульсы, соответствующие циклическим координатам, осгааются настоянными во вес время движения. Первые интегралы (ЗЛ1) можно использовать для преобразования уравнений Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу и носит его имя.
Не останавливаясь на выводе (см., например, (38, 49)), приведем только результаты. Правые части первых интегралов (ЗЛ1) содержат циклические скорости фг линейно, так как Т вЂ” квадратичная функция скоростей. Найдем пэ т первых интегралов (3.11) все фн выразив их через д» и <'», 'внесем затем их з выражение для кинетической энергии н обозначим результат подстановки череа Т", после чего составим функцаю Рауса по следующей - формуле: Л=т' — Х с.ф .
»= — 1 В этом выражении циклические скорости ф» должны быть заменены нх аначениямн, полученными иа первых интегралов (3.11). Уравнения для позиционных координат дд примут вид (предполагается, что силы, действующие на систему, потенциальны; в противном случае в правой сти уравнений будут стоят обобщенные силы Дт) д дЛ дн дП вЂ” — — — — — (1=1,...,3). (ЗЛЗ) д< дд. дд< дд. Функция Рауса не содержит циклических координат <Р и скоростей ф, а зависит только от д» и < ».
Поэтому движение в позиционных координатах о< мол<но изучать 84 ГЛ. И1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ по уравнениям (3.13), как бы игнорируя циклические координаты (конечно, до тех пор, пока рассматриваются одни уравнения (3.13)). В связи с этим движение в циклических координатах называется скрытым движением, а движение в позиционных координатах — лдммм движением. Остановимся подробно на структуре функции Рауса.
В результате всех преобразований, связанных с построением по формуле (3.12), в функции Рауса Л можно выделить слагаемое Лг, содержащее позиционные скорости 1' во второй степени, слагаемое Л„содержащее позиционные скорости ф в первой степени, и слагаемое Лг, независящее от скоростей д: Л=.ЛА+ Л1+ Ла, (3.14) где 1 С-1 Лг= В р~ г а~111'.1 (3 15) Л,—. ~ а,г'г 1=.
' ' (3 16) Разбивая на отдельные слагаемые и учитывая, что Л„не дВА зависит от ф и, следовательно, — =- О, получим после группировки д дВ дВ дП дВ ( д дВ1 дВ1) (31у) дг дд, дчг дд доз ( Ф дд дд Пользуясь формулой (3.16) для Л„преобразуем выражение, стоящее в скобках. Имеем дВ1 д ' 1-1 В этих равенствах коэффициенты а~д —— аы, а,, а также Лг — функции позиционных координат д„..., д, и постоянных интегрирования с„..., с .
Не останавливаясь на доказательстве (см., например, (38]), отметим, что квадратичная форма Лг является определенно-полон1ительной. Внесем в уравнения (3.13) значение функции Рауса из формулы (3 14): д д(В1+ Вг+ Вг) д(В1+ Вг+ Во) дП дг д4. дд дд. 5 З.г. ЦИКЛИЧЕСКИК КООРДИНАТЫ Учитывая, что а; зависит от времени 1 сложным образом ~еРез 17„..., йм полУчим по пРавилам диффеРенЦиРоваиия сложной функции дп да. Ч-Л да.
А дйл й а~.г ддг Л.=л Заменим теперь в формуле (3.16) индекс суммирования у на лс и продифференцируем по д,: а а дВ~ д чт . Ъл даЛ вЂ” ' = — Р о,лг= Р— 4„. ддд дд. а~,л ' ~ Л дг 1=1 1=1 Следовательно, г Л длт дн ' ( даг дал 1 лр Л=1 1=1 где так называемые гироскопические коэффициенты йдл определены равенствами да. дат до д ддл. дд. (3.18) Теперь уравнения (3 17)' приводятся к следующему виду: д дна дна дЛУ дл дд,. дд,. дд. 1=1 где (у = 1,..., г), (3.19) (3.20) Уравнениям (3 19) можно отнести некоторую систему (она называется приееденлгой системой), в которой функции Вг и И' служат кинетической и потенциальной гнергиями; обобщенные силы втой системы определяются равен- ствами дн' Чэ 1=1 (3.21) (3.22) причем Хйыд„называются гироскопическими силами. Из определения гироскопических козффициентов ям видно, "то их матрица кососимметричноя, т.
е. 86 ГЛ. П1. УСТОИ'1ИВОСТЬ 1ЬОКСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ В этом легко убедиться, поменяв в формуле (3.18) местами индексы к и 7', Заметим, что при отсутствии гироскопических сил (это, как правило, бывает при Л, ==- О) система называется зироскопически несвязанной. Основное свойство гироскопических сил состоит в том, что сумма их работ на действительном перемещении равна нулю. Зто свойство лежит в основе их определения, данного Томсоном и Тетом (см.
[58]). Гироскопические силы встречаются не только в системах с циклическими координатами (частный случай их — системы, содержащие гироскопы), но и в различных других физических системах (см. примеры 8 6.7). Из дифференциальных уравнений (3.19) приведенной системы легко получить интеграл энергии Лз + И' = Лз + П вЂ” Лв = сопок (3.23) Этот интеграл может быть получен формальными методами, но физически он очевиден — гироскопические силы, действующие на приведенную систему, не производят работы и, следовательно, они не могут изменить общий баланс энергии.
$ 3.4. Стационарное движение и условия его устойчивости При некоторых условиях материальная система, имеющая т циклических и з позиционных координат, моньет совершать стационар>ьое движение, которое состоит в том, что все позиционные коорди оты и циклические скорости сохраняют постоянные знаке>ьия, равные начальным. Условия, при которых осуществляется стационарное дни>кение, легко получаются из следующих очевидных соображений.
Согласно определению в стационарном движении, все позиционные координаты сохраняют постоянное значение: цз (Т) = дз, = сопз1 (к = 1,...,,). Это означает, что приведенная система находится в покое. Но для этого, согласно равенствам (3.1), необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы (3.21) этой системы равнялись нулю, т. е. 87 г гл. стациоиАРНОГ движении или, учитывая, что в стационарном двнл!ения (равновеспн приведенной системы) все 4г = 0: (3.24) Принимая во внимание выражение (3.20) для потенциальной энергии И' приведенной системы, этим условиям можно придать и другой вид, а именно: ( — ) = ( — ') (1=1,..., г).
(3.25) Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат д! удовлетворяли г равенствам (3.24) и все начальные вначения позиционных скоростей о! равнялись нулю (при о = сопзФ и о = 0 все циклические скорости ф будут сохранять постоянные значения).
Отметим, что в функцию Лг входят постоянные с! циклических интегралов (3.11), поэтому значения д ! в стационарном движении зависят от циклических скоростей ф, содержащихся в ср Перейдем теперь к определению условий устойчивости стационарного движения, которое будем считать за не- возмущенное движение. Не нарушая общности, можно считать, что в стационарном движении все позиционные координаты д равны нулю. Тогда уравнения движения (3.19) приведенной системы будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения относительно позиционных координат о! и скоростей д!.
Раусу принадлежат несколько теорем об устойчивости стационарного движения. Здесь приводится одна из них, получившая наибольшее распространение. Теорема Рауса. Если ц стационарном движении потенциальная энергия И' = П вЂ” Вг приведенной системы имеет минимум, то зто движение устойчиво относительно погиционнм с координат д! и скоростей ем по крайней мере для возмущений, не нару!иающит значения циклических интегралов (3.11). Доказательство.
Прн стационарном движении исходной системы приведенная система находится в покое, Кроме того, для этой системы имеет место интеграл энергии (3.23). Поэтому для доказательства теоремы Рауса достаточно повторить доказательство теоремы Лагранжа, 03 ГЛ. »Н. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ Теорема Рауса в данной формулировке справедлива, конечно, для возмущений, прн которых не нарушаются циклические интегралы (3.11) (так как последние входят в потенциальную энергию приведенной системы через функцию г>о). Ляпунову принадлежит существенное дополнение к этой теореме, устраняющее этот недостаток. Ниже приводится без доказательства дополнение Ляпунова в форме следующей теоремы '). Теорема. Если потенциальная энергия ИГ приведенной системы имеет минимум как при данных р; =- с>, отвечающих рассматриваемому стационарному движению, так и при всяких достаточно близких к данным значениях р> = = с> + цр где Ч> малы по модулю, причем значения переменных дю обращающие ее в минимум, суть непрерывные функции величин рп то стационарное движение устойчиво относительно ц» и д».
Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные д и циклические ф скорости линейно. Поэтому иэ устойчивости стационарного движения относительно величин д» и д» следует устойчивость иотносительно циклических скоростей ф (но не координат >р). Необходиио отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четаева об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя.
Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. Теорема. Если для изолированного стационарного движения гироскопически несвязанной системы при фиксированных циклических интегралах (3,11) функция >т>, предполагаемая ан литической функцией переменных д, >се имеет мини ума, то стационарное движение неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
