Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближен44л отрицательны, то невовмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. Доказательство. Сформулированная теорема Ляпунова справедлива как для случая кратных, так и для случая простых корней характеристического уравнения (4.5). Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся рассмотрением случая простых корней (полное доказательство иожно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, И.
Г. Четаева, И. Г. Малкина (см. (35, 449, 37))). Итак, будем считать, что все корни характеристического уравнения простые. Так как вариации х„..., х„связаны с каноническими переменными з„..., з„линейным преобразованием (4.6) при постоянных аз,, то достаточно доказать, что в условиях теоремы невозмущенное движение асимптотически устойчиво относительно переменных г! ' ' ~ гз" Пусть часть корней характеристического уравнения комплексно-сопряженные, а часть вещественные.' Для определенности будем считать, что имеются две пары комплексно-сопряженных корней, Занумеруем все корни следующим образом: комплексно-сопряженные корни Х4 = тз + 4(4„Хз = Х4 = тз — 4)4„ (4.12) )'з = тз + 414ь )"4 = )'з = тз 4)444 вещественные корин )"4~ йз ° ° ~ )"и Комплексно-сопряженным корням Х„Хз и Х„Х4 будут отвечать комплексно-сопряженные канонические переменные з„зз и гз, зз З4 = И4 + 4О4, Зз = 34 = И4 — Й44, Хз Из + 4из~ Х4 = гз = Из — гизи 102 ГП.
ВУ. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПРРВОМУ ПР14БЛИВКВийВО где и„и„о„ов — вещественные функции времени 1. Вещественным корням Л„ЛЗ,..., Л„отвечают вещественные канонические переменные г„гз,..., г„. Составим функцию Ляпунова в следующем виде '): 1 в в в — — (гвгв + гзгв + гв + 2 + ° ° + гя). (4.14) Отметим прежде всего, что функция Р является определенно-положительной вещественной функцией переменных и„и„ив, о„г„..., г„.
Это следует из равенств гвг, ==- гвгв = (и + 1ов) (и, — 1ов) = ив + и,', 1 (4.15) гзгв = хзгз = (п2 + 1РЗ) (пв — во2) = ив + Рз. Вычислим производную Р функции У 1 (гвг2 + гвгв + 2224 + гзг4) + гвгв + ' ' + гп и' Внесем сюда значения гв из уравнений (4.8) 1 — — ((Лвгв + 22) гз + гв (Лвгв + 72) + ().222 1- 72) гв + + гз(Л4гв + л 4)) + гв (Л,гв + Хв) +... + 2„(Л„З„+ 7„) или, группируя члены, 1 ((Лв + ) 2) гвгв + (Лз+ Лв)гзг4) + -)- Лвгв +...
-)- Л„г'„-)- 2, где 2 — совокупность членов, содержащих г„..., г„в степени выше второй. Так как, согласно равенствам (4.12), Лч + Лв = 2тв Лз + Л4 2тв, то, учитывая выражения (4.15), получим Р = и, (ив + г1) + тв (ив + ив) + Лвг,' +... + Л„г'„+ 2. (4.16) 2) Если все корни комплексно-сопряженные, то У=- (и.,;-;;+...+в„,. ), я — л если все корки вещественные, то (4+ '2+ + 22) 1 2 2 з 4.3, основныв теОРемы тэз По условию теоремы вещественные части всех корней карактеристического уравнения отрицательны.
В принятых обозначениях будем иметь ч,(0, тз(0, Хз(0,...,)4„(0. Из этого следует, что квадратичная часть производной Р будет определенно-отрицательной функцией переменных и„о„и„оз, г„,..., гз, а вместе с ней при достаточно малых значениях ) г„1 определенно-отрицательной будет и производная Р независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (з 2.3), что доказывает сформулированную теорему. Теорема Ляпунова о неуетолчивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с ноложительной вещественной частью, то кевоамущенное движение неустойчиво независимо от членов выше червова нарядна малости. Доказательство.
По условию теоремы хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положи тельную вещественную часть. Пусть это будет Х„т. е. ч, =- Ве Хз.> О. Для упрощения доказательства сделаем следующие предположения: 1) вещественные части всех корней не равны нулю; 2) корни Х„..., Մ— простые (доказательство теоремы, свободное от этих ограничений, можно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И.
Г. Малкина (35, 49, 37)). Для определенности будем по-прежнему считать, что имеются две пары комплексно-сопряженных корней (Х„ Хз = ХГ, Х„Х4 = Хз), а остальные корни ) „..., Х„вещественные. Составим функцию Ляпуяова в следующей форме: У = — З чд (гзгз + 4згзгз + ьзг5 + ' ' ' + Х~г~).
(4з7) Отметим, что эта вещественная функция может принимать положительные значения, например, при гз — — г4 — — гз = =... = гз = 0 и гз Ф О, гз ~ О. Вычислим производную р функции у, Г 1 )' = У44 — (гзгз + гзгз+ чз(гзгз+ гзг4)) + + Хзгзгз + . °, + Хчг„г„~, 101 гл !ч. устоичивость по плгвому ««Р««вли«кв««и«0 Внесем сюда значения производных ',.
нз уравнений (4.8) и сгруппнруем члены, как это было сделано при доказательстве первой теоремы: 11 е =:- тт(( —. ((«з + )~з) з«аз + ч («з+ )«) ззз«) + '(2 + ).'з з+ ... + ).'й.,',~+ 2, где У вЂ” совокупность членов, содержащих з«,..., з„в степени выше второй. Пользуясь равенствами (4. «2) и (4 «5), получим )Г = —. ч«(ч«(и« -г г,) + ч«(и., + оз) + ХА« +... ... + ).'-„'з'-„) + г. (4.(8) В сделанных предположениях ч«) О и чз, ).„..., '«.„ не равны нулю. Поэтому квадратичная часть производной Р будет определенно-положительной, а вместе с нвй при достаточно малых значениях ~ гз ) определенно-положительной будет и производная )г независимо от членов высшего порядка.
Таким образом, выполнены все условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. движения (см. $2.4) (функция г' может принимать положительные значения, а ее производная Р, вычисленная в силу уравнений возмущенного движении, определенно-положительная), что доказывает сформулированную теорему. Доказанные две теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению реша«от аадачу в двух случаях: «) вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны; 2) вещественная часть хотя бы одного корня положительна. В обоих случаях уравнения первого приближения полностью рептают задачу об устойчивости двия«ения без необходимости привлечения к анализу нелинейных членов. Конечно, структура корней характеристического уравнения может быть и другой, а именно: вещественные части некоторых или всех корней характеристического уравнения могут равняться нулю (в частности, среди корней могут быть и нулевые), а вещественные части остальных корней отрицательны.
В этих случанх (опи называются особыми или критическими случаями) для определения характера устойчивости движвп««я одних уравнений первого приближения недостаточно — необходимо рассмотреть влияние нелинейных членов, $4.3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 105 Исследование особых случаев требует, как правило, применения весьма тонких мотодов анализа, а также боль- ших и трудоемких преобразований. Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся разбором двух примеров, пока зывавощих, что в особых случаях уравнения первого приближении не могут решить задачу об устойчи- вости движения (подробный разбор особых случаев см. в книгах А. М.
Ляпунова, И. Г. Четаева, И. Г. Малкина, А. П. Марксова в35, 49, 37, 37а)). Пример 1. Рассвютркм уравнения воамувценного движения, которые были приведены па с. 20: Ф1 =- — ахв+ ахв 'т х1 + хз, хв = ахв + ахв в' хв + хв, где а = — сопв$.
Составим уравнения первого приблпясения: хв = — ахв, в'в = ахв. Характеристическое уравнение (Рйв+а =..0 имеет два корня (Хв в =. + ) а ) в), вещественные части которых равны нулю (Ве Хв = Пе с = О). Следовательно, для рассматриваемых уравнений теоремы Ляйунова об устончпвостн по первому приближению неприменимы. В $1.2 было показано, что рещение полных уравнений ничего общего не имеет с рещенввем уравнений первого приближения (см. с. 2!).
Пример 2. Рассмотрим устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы, находящейся под действием нелинейной потенциальной силы и силы сопротивления, пропорциональное первой степени скорости (см. пример 4 "т 2,7). Уравнения возмущенного движения в сделанных предположениях имеют вид (см. (2,63)) ов Мхв = — )вхв — тх =- хв (ж ~ 2, р ) О). Составим уравнения первого приближения Мх, =- — рх„ хв =- хв. Характеристическое уравнение 1- х ! 3 й(а)х+р) =0 М2+р 0 имеет один отрицательный вещественныи корень (2, = — р/в)7) и один нулевой корень (ьв = О).
Согласно теореме 3, приведенной 106 гл. >ч, устойчивость по пегвому пР>гвлижвиию на с. 100, неяозыушенное дввжгвне х, = х> =. О, соответствующее уравнениям первого првблв>ьенвя, устойчиво, но не аснмвтотячески. Так как один корень характеркстнческого уравненвя равен нулю (Л, =- О), то этот вывод может окаэатьсн ошнбочным.
Действнтельно, апалкэ нелянепных уравнений (см. пример 4 1 2.7) показывает, что пря я ) 0 в т нечетном двн>кенве асвмятоткческя устойчиво в целом, а во всех остальных случаях движение неустойчкво. б 4.4. Критерий Гурвица Раскроем характеристический определитель, сгруппируем члены по степеням Л и приведем уравнение (4.5) к виду аеЛ" + а,Ле ' + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
